11 比较大小-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

五、幂函数： (1)在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y=x,y=x2,y=x,y=x立，y=x1的图 象如图所示： -3-2 1 2 (2)幂函数y=x的性质 y=x y=x2 y=x3 yx y=x-1 定义域 R R R 0,+m {xx≠0) 值域 中 [0,+ R [0,+ yy≠0) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 xE 0,+oo) x∈(0，+∞） 时，增函数 时，减函数 单调性 增函数 增函数 增函数 xe(-o0,0] xE(-o,0) 时，减函数 时，减函数 比较大小 一、比较大小—控制变量法： 【使用条件】可以转化为同底或同指， 【方法总结】比较幂的大小当底数或指数相同时，构造指数函数根据函数性质比大小；比较 对数的大小当底数或真数相同时，构造对数函数根据函数性质比大小 【母题探究】 (2016新课标I)若a>b>0,0<c<1,则() A.loga c<logb c B.logca<logc b C.a<b D.ca>cb 【母题解析】 解：a>b>0,0<c<1, .1Dgcx是减函数， l0gca<1ogcb,故B正确； 当a>b>1时，0>10gac>1ogC,故A错误； a>be,故C错误： ca<c”,故D错误 故选：B. 二、 比较大小一01比较法： 【方法总结】 (1】比较幂的大小当底数和指数都不相同时借助中间值（通常借助0和1）比较，底数是含 字母时要分类讨论： (2)比较对数的大小当底数和真数都不相同时借助中间值（通常借助0和1）比较，底数是 含字母时要分类讨论。 57 【母题探究】 设a=2,b=log:6,c=log6;则a,b,c的大小关系是() A.a<c<b B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c 【母题解析】 解：解：因为ln<0,所以a=2e(0,1),因为b=logs6>1,c=log6<0, 从而c<a<b, 故选：C. 三、比较大小—放缩法： 【使用条件】参与比较的数将其中的某部分看成变量能够构造出常见的放缩不等式时 【方法总结】利用放缩比较大小（常见的放缩见导数-证明不等式）， 【母题探究】 (2022新高考1)设a=0.1e1,b=,c=-1h0.9,则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【母题解析】 解：因为lnx≥1-所以n0.9>1-9=-片所以-hn0.9<即c<b, 因为e*2x+1,所以0.1e1>0.1×(0.1+1)=0.11, 因为nx≤x-,所以c=-ln09=h号9<（得-品）=品<011，所以c<a, 从而c<a<b, 故选：C. 四、比较大小—构造函数（详见导数构造函数部分）： 五、比较大小—估值法： 【使用条件】参与比较的数型如e、ln(x+1)、sinx、cosx、(1+x)°、二当x接近0 时，可以用以下公式估值（一般估到二次项）， 【方法总结】公式源于泰勒展开式： )e1+x+号+ 3 (2)nc+0=x-号+ Ning sir 3】smxx-+品 osx1-营+片 (5)(1+x)≈1+ax+a-1江 6)品1+x+x2+2 【母题探究】 (2022:新高考)设a-=0.1e1,b=c=-n0.9,则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【母题解析】 解：根据泰勒展开式，a=01e01≈01×（1+0.1+)=0,1105， c=-h0.9=(1+9≈0.1-9=0.1005， b=。=0.111 所以c<a<b, 故选：C.