10 基本初等函数函数-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

基本初等函数函数 高中阶段会学习四大基本初等函数,所有与函数相关的问题也都是基本初等函数 的拓展,所以掌握好基本初等函数对于学好函数非常重要,前面已经介绍了函数 三要素和性质,本节内容只是对除三角函数之外的其他三大函数做一整理,本节 涉及到的指数和对数的运算也是高考考察的重点 一、指数运算: (1)零指数霉:a*=1(a:0) (2)负整数指数:a-”-(a+0,ne N) (3)正分数指数露:a="Va”(a>0,m,nEN) (4)同底数相乘:a'a=a* (5)霉的乘方:(a”)=ar (6)积的乘方:(ab)严=a’h' { 二、对数运算: (1)负数和0没有对数 ($2) log1=0(a0且a=1 (3) loga=1(a0且a 1 (4) logax=x(a0且a1 ($)logay-N(a 0且a1.N 0 (6)积的对数:log.(M·M)=log.M+log.N(a 0且a1.M.N>0 (7)商的对数:loga=log.M-log.N(a 0 且a*1,M.N>0) (8)的对数:log。M”=nlog。M(a>0且a=1. M>0 (9)换底公式:logb-og(a0且a*1,b>0,c>0且c+1) (0)换底公式推论1:log.b:loga=1(a 0且a+1,b 0且b1 (11)换底公式推论2:logmb”=-logb(a0且a=1,b>0,m 0) ($2)换底公式推论3:logm:logn=logn:logm(a>0且a=1,b→0目b 1,m,n>0) (13)换底公式推论4:alnBc=bloa(a 0且a 1.b>0且b1.c>0c=1) 三、指数函数: (1)指数函数v=a*(a>0目a:1)的图像与性质 a的范围 a>! o<a<1 图象 (0.1) 1 定义域 值域 (0.+o) 性 过定点 (0.1) 质 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a与y=a-的图象关于y轴对称 (2)同一坐标系中,多个指数函数底数的变化规律 如圈是指数函数①y=a.②y=b.③y=c,④y=dx的图象,则0<b<a<1<d 。. 四、对数函数: (1)指数函数y=log。x(a>0且a:1)的图像与性质 a的范围 0<a<1 a>1 ,1 1三1 ,=1 ..0) _ng,al 图象 # 、 ,-eacl; 定义域 (0.+) 值域 R 性 定点 (1,0) 质 单性 在(0,+co)上是减函数 在(0.+co)上是增函数 (2)同一坐标系中,多个对数函数底数的变化规律 如图,曲线C C.CC.分别对应y=logx.y=logx.y=logcx.y=logx的圈象 则d>c>1>b>a>0. )_=1 Nnsi (3)反函数 指数函数y=a*(a>0旦a*1)与对数函数y=logax(a 0且a1)互为反函数 五、嚣函数: (1)在同-平面直角坐标系中,画出寡函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x的图 象如图所示: . ,-2 ,-1 Ningsir (2)寡函数y三x“的性度 =x =x2 y=x) =x-1 , , 定义域 [0.+) (xx;0] 值域 B [o.+) [o.+) (yly+0) 偶 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 苟 xeo.+) x(o.+) 时,增函数 时,减函数 增函数 单调性 增函数 增函数 xe(-□o] xE(-o) 时,减函数 时,减函数 比较大小 一、比较大小-控制变量法 【使用条件】可以转化为同底或同指