08 函数四大性质综合-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

【结论2】若对f(x)定义域内的任意x都有f(a+x)+f(b一x)=0,则f(x)的图象关于点 (},0)对称(当a=b=o时,f(x)为奇函数). 【结论3】若对f(x)定义域内的任意:都有f(a+x)+f(b一x)三C.则f(x)的图象关于点 (2_,)对称. 函数四大性质综合 函数的单调性和奇偶性,周期性,对称性合称为函数的四大性质,考察函数其实 就是考察函数的性质,在高考数学中,除了简单的考察函数的单一性质外,更多 时候会考察函数性质的综合,甚至会在压轴题出现 一、奇偶性与单调性-奇同偶反: [使用条件! (1)若函数f(x)为奇函数,当f(x)在[a,b]上单调函数时,则f(x)在其对称区间[一b,一a 上也是单调的,且单调性相同: (2)若函数f(x)为偶函数,当f(x)在[a,b]上单调函数时,则f(x)在具对称区间[一b,-a 上也是单调的,且单调性相反. 【方法总结】 (1)解奇函数相关不等式问题时。 第1步:先确定函数的单调性(注意定义域是否包含0) 第2步:然后将不等式转化为f0<f0这种形式 第3步:根据函数单调性去括号解不等式 (2)解偶函数相关不等式问题时 第1步:先确定定义域大于0部分函数的单调性 第2步:将不等式转化为f0<fO这种形式: 第3步:利用偶函数具有的性质f(x)一f(xD给含未知数的部分加绝对值,然后根据单 调性去括号解含绝对值的不等式 【对应真题】2021新高考II:2020山东卷:2019新课标IIl:2019北京:2017新课标1:2017 天津:2016天津:2015新课标1;2015天津;2015福建 【母题探究】 (1)设f(x)为R上的奇函数,且f(x)在(0,+2o)上单调递增,f(2)=0,则不等式f(x)< 的解集是 (2)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且它在[0,+o)上单调递增,那么使得/(-2) f(a)成立的实数a的取值范围是 【母题解析】 (3)解:f(x)为R上的奇函数,且f(x)在(0+o)上单调递增,f(2)=0 '当x>0时,f(x)<0相当于f(x)<f(2).解得x<2 .当x<0时,解不等式得x<-2 取并集得/(x)<0的解集(-0o,-2)U(0.2). 故答案为:(-,-2)U(0,2). (4)解:,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+o)上单调递增 :.不等式f(-2)<f(a)等价为f(2)<f(la) { 即2<lal, '.-2或a>2 故答案为:a<-2或a>2. 二、奇偶性和周期性: 【使用条件】已知函数的奇偶性和周期性 【方法总结】 (1)若函数f(x)在R上为奇函数且为周期函数,当f(tx)周期为T时,f(x)关于点(0)对 称,f(x)满足/)=f(0)=0; (2)若函数f(x)在R上为偶函数目为周期函数,当f(x)周期为T时,f(x)关于直线x=对 称,f(x)满足f(-x)一f(x+7). 【对应喜题】2017山东:2016四1 【母题探究】 (1)设/(x)为R上周期为2的奇函数,则/(1)+f(2)+f(3)=__. (2)已知y-f(x)是定义在R上周期为8的偶函数,且在[0,1上f(x)=x,则 f(-25)= 【母题解析] (1)解:.f(x)为R上的奇函数,且周期为2 -f()=f(1)=f(0)=0.f(o)=f(2),f(1)=f(3) 则f(1)+f(2)+f(3)=0 (2)解:.函数f(x)是在R上的偶函数,且周期为8. 2 '.ff-25)=f(-25+3$x8)=fi-1)=f(1)=1 故答案为:1. 三、二次对称-同二异四: 【使用条件】当函数同时出现两次对称时 【方法总结】 (1)若函数f(x)同时关于点(a,0)和点(b,0)对称,则/(x)为周期函数且周期T=2la- hl: (2)若函数f(x)同时关于轴x=a和轴x=b对称,则f(x)为周期函数且周期T=2la-b; (3)若函数f(x)同时关于点(a.0)和轴x=b对称,则f(x)为周期函数且周期T=4a-b 【对应真题12022新高考;2022乙卷:2021新高考II;2021甲卷;2018新课标II;2019北 京;2017全国 【母题探究】 (1)设/(x)为R上的奇函数,且f(x)关于点(1,0)对称,则/(B)=_. (2)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2) f(3)+f(4)+/(5)=_ 【母题解析】 (1)解:.f(x)为R上的奇函数,且关于点(1.0)对称 '.f(x)为周期函数且周期T=2la-b-2 则/(8)-f(0)=0. (2)解:.f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称 ..f(x)为周期函数且周期T-4la-b=2 $$ )=f(1)=f0)=0.f(0)=f(2) =f(4)=0,f1)=$f(3)=f$ =$ 故答案为:0. 四、不同函数具有相同对称性-同对称累加: 【使用条件】不同函数有相同的对称轴或对称中心. 【方法总结】 (1)若函数f(x)与函数g(x)关于同一点(a.b)对称,f(x)与g(x)图象的交点为(x,y). (x. y).(x,ym),则x=am,2y=bm,2(x.+y)=m(+b): (2)若函数/(x)与函数g(x)关于同一直线x=a对称,f(x)与g(x)图象的交点为(x1,) (x. y)..,(xm,yn),则Zx=am. 【对应真题】2016全国 【母题探究】 已知函数f(x)(xER)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x y)(2y).(x:ym).则(x+y) ) A.0 B.m C.2m D.4m 【母题解析】 解:.函数f(x)(xER)满足f(-x)=2一f(x),即为f(-x)+f(x)=2,可得f(x)关于点 (0. 1)对称,函数y=,即y三1+的图象关于点(0,1)对称. '.2.(x.+y)=m(a+b)=m 故答案为:B.