07 判断周期性和对称性的2种方法和8个常见结论-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

.1+g(-1)=4, 解得g(-1)-3. 故答案为：3. 判断周期性和对称性的2种方法和8个常见结论 周期性和对称性是在三角函数篇章主要学习的内容，在三角函数部分，函数的周 期性和对称性是基于具体函数研究.在高考中，周期性和对称性往往也会放在抽 象函数种考察，这也成了抽象函数中两类易混淆的问题. 一、判断抽象函数的周期性和对称性—同周异称： 【使用条件】题目中出现∫(a士x)=f(b士x)时. 【方法总结】若x前的符号同为正或者同为负，考察周期性；若x前的符号一正一负，则考察 对称性。 【对应真题】2022新高考；2021甲卷；2021新高考；2018新课标；2017山东 【母题探究」 (1)已知偶函数f(x)满足f(x+5)=f(x-5),且0≤x≤5时，f(x)=x-4,则 f2016)=1. A,-1 B.0 C.1 p月 (2)已知属函数f(x)满足f(+5)=f(5-x),且0≤x≤5时，f(x)=x-4,则 40 f7)=(1. A.-1 +B.0 C.1 0. 【母题解析】 解： (1)函数f(x)满足f(x+5)=f(x-5),根据同周异称“可判断考察函数周期性，计算得函 数的周期为：10， 0≤x≤5时，f(x)=x-4,则f(2016)=f(-4)=f(4)=4-4=0 故选：B (2)函数f(x)满足f(x+5)=f(5-x),根据“同周异称可判断考察函数对称性，计算得函 数图像关于直线x=5对称. 0≤x≤5时，fx)=x-4,则f(7)=f(3)=3-4=-1. 故选：A. 二、 判断轴对称和中心对称的方法—同轴异点： 【使用条件】题目中出现f(a+x)=±f(b-x)时. 【方法总结】若形如f(a+x)=f(b一x),即f前的系数符号相同时，则函数f(x)关于轴x= 兰对称：若形如-f和+习=f仍-刘，即f前的符号相反时，函数f)关于点学2,0对 称 【母题探究】 (1)若f(x)满足fx+2)=-f(2-x),那么函数y=f(x)的图象关于对称. (2)函数f(x)对一切实数x都满足f(x+5)=f(9-x),则f(x)的图象关于_对称. 41 【母题解析】 解： (I)fx+2)=-f(2-x) ∴函数f(x)关于点(2,0)对称 故答案为(2,0)： (2)fx+5)=f9-x) ∴函数f(x)的图象关于x=7对称， 故答案为：x=7 三、常见的周期性： 【结论1】若对f(x)定义域内的任意x都有f(x+a)=f(x+b),则周期了=b-al. 【结论2】若对f(x)定义域内的任意x都有f(x+a)=-f(x),则周期r=2a. 【结论】若对f)定义域内的任意x都有f+0)=±高 则周期T=2a. 【结论4】若对fx)定义域内的任意x都有fx+a)=, 1+fx) 则周期T=2a. 【结论5】若对f)定义域内的任意x都有fx+a)=侣 则周期T=4a. 【结论6】若对f(x)定义域内的任意x都有f(x+a)+f(x-)=f(x),则周期T=6a. 周期性的结论了解即可，无需死记腰背，记住“换元代换四个字可以快速推出所有结论， 四、常见的对称性： 【结论]】若对f(x)定义域内的任意x都有f(a+x)-f（b-x)=0,则f(x)的图象关于直线 x=对称（当a=b=0时，f)为偶函数） 42 【结论2】若对f(x)定义域内的任意x都有f(a+x)+f(b-x)=0,则f(x)的图象关于点 (偿，0j对称（当a=力=0时，f)为奇函数）. 【结论3】若对f(x)定义域内的任意x都有f(a+x)+f(b-x)=c,到f(x)的图象关于点 告，引对称。 函数四大性质综合 函数的单调性和奇偶性，周期性，对称性合称为函数的四大性质.考察函数其实 就是考察函数的性质，在高考数学中，除了简单的考察函数的单一性质外，更多 时候会考察函数性质的综合，甚至会在压轴题出现 一、奇偶性与单调性—奇同偶反： 【使用条件】 (1)若函数f(x)为奇函数，当f(x)在[a,b】上单调函数时，则f(x)在其对称区间[-b,-a叫 上也是单调的，且单调性相同： (2)若函数f(x)为偶函数，当f(x)在a,b】上单调菌数时，则f(x)在其对称区间-b,一a叫 上也是单调的，且单调性相反。 【方法总结】 (}解奇函数相关不等式问题时， 第1步：先确定函数的单酒性（注意定义域是否包含0）； 第2步：然后将不等式转化为f0<f0这种形式：