06 奇偶性4种题型6种方法-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

【母题探究】 函数f(x)=3x-x3的单调增区间为一。 【母题解析】 解：函数f(x)=3x-x3的导数为f(x)=3-3x2, 令f'(x)>0,即有x2<1, 解得，-1<x<1. 则增区间为(-1,1). 奇偶性4种题型6种方法 奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的，所 以奇偶性是一个“整体性质，单调性是一个“局部性质.值得注意的是，奇偶性 的本质是对称，奇函数图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴对称， 一、判断函数奇偶性一定义法： 【方法总结】首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是 奇函数，也不是偏函数，若关于原点对称，则可根据f(x)与f(-x)之间的关系，判断函数f(x) 的奇偶性，其实只要判断函数奇偶性都用定义法即可， 【对应真题】2022年乙卷；2019年全国卷；2018年上海卷；2015年福建卷；2015年广东卷： 2015年北京卷；2014年重庆卷；2013年广东卷；2012年广东卷；2010年天津卷；2009年上 海卷；2007年全国卷 【母题探究】 下列函数中，是偶函数的函数是0. Ay=x+柱 B.y=x-1 C.y= D.y=京 1母题解析】 解：A:函数定义域为k本0关于原点对称，f代-)=(-刘+动=-f因，则为奇函数， B:函数定义域为R关于原点对称，f(-x)二-x-1-x-1=f(x),则f(x)为偶函数，符 合题意， C:f(x)=x定义域为{xx之0)不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意， D:f)=为R关于原点对称，f代-x)=,,为非奇非偶函数，不符合题意. 二、判断函数奇偶性 性质法： 【方法总结】 (1)当函数的形式为f(x)=g(x)+(x)型时，奇±奇=奇，偶士偶=偶. (2)当函数的形式为fx)=g(x)·(x)型时，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇， 【对应真题】2015年广东文科；2014年新课标卷；2014年广东卷：2014年湖南卷：2011年 广东卷；2010年广东卷；2006年辽宁卷 【母题探究】 函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数，则m=一， 【母题解析】 解：根据题意，f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数，因为 函数y=x和函数y=x都为奇函数， 则有y=(m2-1)x2为奇函数， 则有m2-1=0,解可得m=士1， 故答案为：士1. 三、判断复合函数奇偶性： 【方法总结】复合函数fg(x)引的满足内偶则偶，内奇同外”，若g(x)为偶函数，则f9(x]为 偶函数；若g(x)为奇函数，则f[9(x】的奇偶性与f(x)相同. 【对应真题】2003年北京 【母题探究」 若函数y=f(x),y=g(x)的定义域均为R,且都不恒为要，则()， A.若y=f(g(x)为函数，则y=g(x)为偶函数 B.若y=f(g(x)》为周期函数，则y=g(x)为周期函数 C.若y=fx),y=g(x)均为单调递减函数，则y=fx)·g(x)为单调递减函数 D.若y=fx),y兰g(x)均为奇函数，则y=f(g()为奇函数 【母题解析】 解：根据题意，依次分析选项： 对于A,若y=f(g(x)》为偶函数，则可能g(x)为奇函数，而f(x)为偶函数，如f(x)= cosx,g(x)=sinx,A错误； 对于B,若y=f(g(x)为周期函数，可能f(x)为周期函数，如f(x)=snx,g(x)=2x,B错 误 对于C,当f(x)=-2x,g(x)=-3x,均为单调递减函数，而y=f(x)·g(x)=6x2,不是减 36 函数，C错误： 对于D,若y=f(x),y=g(x)均为奇函数，对于y=fg(x),有f(g(-x)=f(-9(x)= -f(g(x),为奇函数，D正确； 故选：D 四、判断抽象函数的奇偶性—赋值法： 【方法总结】遇到求多变量抽象函数奇偶性的问题时，在定义法的基础上合理采用鞋值法， 1对应真题】2008年重庆卷： 【母题探究】 已知fx)是定义在R上的函数，对任意的x,yeR都有f(x+y)+fx-y)=2f(x)f0y). 且f(0)≠0.判断函数的奇偶性. 【母题解析】 解：函数f(x)为偶函数，证明如下， 令x=0,则f0y)+f(-y)=2f(0)f0y), ,f0)=1, ∴fy)+f-y=2fy),即fy=f(-y),故函数x)为偶函数. 五、已知奇偶性求参定义法： 【方法总结】已知函数的奇偶性求参数问题，可直接根据奇函数和偶函数中f(x)与f(-x)之间 的关系求参数值. 【对应真题】2020年上海卷；2019年上海；2008年辽宁卷；2007年湖南卷：2010年上海卷； 2011年浙江卷；2015年新课标卷；2014年淘南卷；2012年重庆卷；2012年上海卷：2011年 辽宁卷；2011年湖北卷：2010年江苏卷：2007年海南卷；2004年全国卷；2002年全国卷； 2002年广东卷 【母题探究】 已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b的值是（）. A B.月 c.- D. 【母题解析】 解：，偶函数的定义域关于原点对称， a-1=-2a,g= 对于函数fx)=ax2+bx,f(-x)=fx), b=0 所以a+b=号 故选：B 六、已知奇偶性求参— 特殊点法： 【使用条件】若函数定义域包含原点，则奇函数：f(0)=0,偶函数（原点处可导）："(0)= 1对应真题】2019年北京卷：2014年上海卷：2010年全国卷：2006年江苏卷；2009年重庆： 2009年上海卷理科；2006年全国卷；2005年江西卷 38 【母题探究】 若函数f(x)=x3+a为奇函数，则实数a=一 【母题解析】 解：~f(x)是R上的奇函数： ·f(0)=a=0. 故答案为：0， 七、 奇+常型函数： 【使用条件】已知函数f(x)=g(x)+c(c为常数)，g(x)为奇函数，求f(a)+f(-a)或求M+ m(函数最大值+最小值)， 【方法总结】f(a)+f(-a)=M+m=2c. 【特别提醒】如果题目求M+m,则函数有可能关于其他点中心对称，此时不要无脑用M+ m=2c. 【对应真题】2018年新课标卷；2013年重庆卷：2012年上海卷；2011年湖南卷；2011年广 东卷；2008年福建卷；2004年山东卷；2012年新课表卷 【母题探究】 已知y=f(x)是奇函数，若g(x)=fx)+2且g(1)=1,则g(-1)=· 【母题解析】 解：由题意y=f(x)是奇函数，9(x)=f(x)+2, .g(x)+g(-x)=2×2=4, 又g1)=1, 39 .1+g(-1)=4, 解得g(-1)-3. 故答案为：3. 判断周期性和对称性的2种方法和8个常见结论 周期性和对称性是在三角函数篇章主要学习的内容，在三角函数部分，函数的周 期性和对称性是基于具体函数研究.在高考中，周期性和对称性往往也会放在抽 象函数种考察，这也成了抽象函数中两类易混淆的问题. 一、判断抽象函数的周期性和对称性—同周异称： 【使用条件】题目中出现∫(a士x)=f(b士x)时. 【方法总结】若x前的符号同为正或者同为负，考察周期性；若x前的符号一正一负，则考察 对称性。 【对应真题】2022新高考；2021甲卷；2021新高考；2018新课标；2017山东 【母题探究」 (1)已知偶函数f(x)满足f(x+5)=f(x-5),且0≤x≤5时，f(x)=x-4,则 f2016)=1. A,-1 B.0 C.1 p月 (2)已知属函数f(x)满足f(+5)=f(5-x),且0≤x≤5时，f(x)=x-4,则 40