04 求函数值域的10种方法-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

b)-ab.求fx). 【母题解析】 解：因为f(a)+f(b)=f(a+b)-ab,a,b∈N, 所以令a=x,b=1,得fx)+f1)=f(x+1)-x, 又f(1)=1, 所以f(x+1)-f(x)=x+1, 所以f(2)-f(1)=2, f3)-f(2)=3, Ning sir f4)-f3)=4, f(n)-f(n-1)=n, 把上面等式相加，得f(m)=1+2+3+…+n=m四 所以f)=x2+x,x∈N, 求函数值域的10种方法 求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点，在具 体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的 方法。 一、二次型： 【使用条件】适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型，型如Fx)= af(x)+bf(x)+c的函数的值域问题， 【方法总结】利用二次函数的图像和性质。 【对应真题】2014年全国卷；2010年江西卷 【母题探究】 函数y=v7+6x-x2的值域为， 【母题解析】 解：7+6x-x2≥0，解得xe【-1,7]. t=-(x-3)2+16,t∈[0,16]. y=vFe0,4]. 二、反函数法： 【使用条件】分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出 自变量的函数类型，比如指数型函数和对数型函数。 【方法总结】求反函数，反函数的定义域就是原函数的值域， 【对应真题】2016北京卷；2007浙江卷 【母题探究】 求函数y=的值域。 【母题解析】 2 解：y=兰解得2=号 因为2*>0，所以号>0， 所以-1<y<1,即函数=的值域为yE(-1,). 三、 分离常数法： 【使用条件】 (1)分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一毅也可以利用反函数 法. (2）分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为y=k士f(x)(为k常数) 的形式. 【对应真题】2016北京卷 【母题探究】 ()函数了()=品的值短是二 (2】图数=的值域为一 x2+1 【母题解析】 解： (1)fx)= 52x-5生=-专+2财45， 2x+3 2x+5 因为函数的定义城为xx*,所以写0， 所以☒*- 故答案为(-，-U(,+). (2)x=0时，y=2, 当x>0时，=22=2+年=2+ x2+1 x+≥2 x y(么. 当x<0时，=22=2+六=2+年 x2+1 x+s-2, ∴ye0,2. 综上，函数的值域0,41 故答案为：[0,4]. 四、换元法： 【使用条件】对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数用换元法。 【方法总结】函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元； 当根式里是二次式时，用三角换元 【对应真题】2011年上海卷；2008年重庆卷 【母题探究】 求函数f(x)=cosx sinx+2(cosx+sinx)(xeR)的值域，： 【母题解析】 解：由题意.令t=cosx+sinx,te【-V2,v②， 那么函数f)=性，t巨，回， 则炉≤f0)≤+ 2 2 所以原适数的值域为空，学 五、对勾飘带函数法： 【使用条件】求形如y=49(a4,a,不同时为0)的函数的值域。 a2x2+2x+c2 【方法总结】如果是一次函数和二次函数的比，第一步：将一次函数看成整体；第二步：将 二次函数配凑成关于t的二次函数；第三步：分子分母同时除以：转化为对钩或森带函数的值域 问题，如果是二次函数与二次函数的此，第一步：将分母看成整体；第二步：将分子配凑成分 母的倍数与一次函数的和；第三步：分离常数得到一次比二次型 【对应真题】2007浙江卷；2005年全国卷 【母题探究】 西数=(x>-1)的值域为」 x2-x+1 【母题解析】 解：由=配麦成y= x2-x+1 分离常数得y=2+ t=x+1(t>0),y=2+ 分子分母同时除以褐y=2+京 根据对勾函数的性质得1+∈2V3。+), 所以)=的值城为收3+ x2-41 六、判别式法： 【使用条件1求形如y=(a,a,不同时为0)的函数的值城 2x2+02x+62 【方法总结】把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0;通过方程有实数根，判别式△20， 从而求得原函数的值域.判别式法了解即可。 【对应真题】2007浙江卷；2005年全国卷 【母题探究】 函数)的值滋为一 【母题解析】 解：由产变形得0-12-0-1r+y-3=0, 当y=1时，此方程无解； 当y≠1时，x∈R,△=y-1)2-40y-1)y-3)20, 解得1≤y≤号，又：y*1, 所以=二的值域为1，引 七、单调性法： 【使用条件】确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域. 【对应真题】2015年山东卷；2008年全国卷；2005全国卷 【母题探究】 函数f)=x+x∈目，4小的值域为一 【母题解析】 解：“f幻=x+在目，上单调递减，在(2，利上单调递增，且1⑨=号，f②)= 4,f(4)=5, f(x)在到非，上的最大值为号， 最小值为4， 26 x)的值域为4，引 故答案为：【，引 八、利用函数有界性： 【使用条件】一般用于三角函数型，即利用sinxE[-1,1],cosx∈[-1,1等. {对应真题】2007浙江卷；2003年北京卷 【母题探究】 函数fx)=cs的值域 sinx 【母题解析】 解：“y=f)=1o生 sinx .'.ysinx 1-cosx, +1sin6+)=1,其中an4=y*0), 六snx+创=高>0y*0), 1sin(x+)≤1， 0<高≤10*0， y>0或y<0, f(x)的值域为：(-o,0)U(0,+∞)： 故答案为：(-∞，0)U(0,+). 九、图像法： 【使用条件】当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等） 或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域， 【母题探究】 函数y=1x+1川+x-2的值域为一. 【母题解析】 [-2x+1,x<-1 解：y=x+1+1x-2引= 3,-1≤x≤2 2x-1,x>2 图象如图所示， 所以值域为[3，+∞. 故答案为：[3，+o) 4 2H 4-3-2-10 1 34 -】 十、不等式法： 【使用条件】当解析式的和或积是定值. 【方法总结】利用基本不等式求函数最值. 【对应真题】2008年重庆卷；2005年全国卷 【母题探究】 函数)=r+点的值域为一· 【母题解析】 解：x>0时，mx+品之2，当且仅当nx=点即x=e时取等号： x<0时，r+是=-[(-b)+点≤-2，当且仅当-r=点即x=时取等号， ∴fx)的值域为：(-∞，-2U2,+o). 故答案为：(-o0,-21U[2,+∞). 判断函数单调性的5种方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用.利用单调性解决其他问题的 前提是要学会怎么判断函数的单调性，判断函数单调性作为独立考点也是高考高 频考点之一，在高考中判断函数单调性最常用的方法是导数法和性质法， 本篇除了介绍导数法，考虑到高一同学没有学导数，还会介绍其他四种判断函数 单调性的方法，