05 判断函数单调性的5种方法-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

十、不等式法： 【使用条件】当解析式的和或积是定值. 【方法总结】利用基本不等式求函数最值. 【对应真题】2008年重庆卷；2005年全国卷 【母题探究】 函数)=r+点的值域为一· 【母题解析】 解：x>0时，mx+品之2，当且仅当nx=点即x=e时取等号 x<0时，r+是=-[-+点≤-2，当且仅当-hr=品 即x=时取等号， ∴fx)的值域为：(-o,-2U2,+o). 故答案为：(-o0,-21U[2,+∞). 判断函数单调性的5种方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用.利用单调性解决其他问题的 前提是要学会怎么判断函数的单调性，判断函数单调性作为独立考点也是高考高 频考点之一，在高考中判断函数单调性最常用的方法是导数法和性质法， 本篇除了介绍导数法，考虑到高一同学没有学导数，还会介绍其他四种判断函数 单调性的方法， 一、直接法： 【使用条件】常见函数的单调性。 【方法总结】一次函数、二次函数、反比例函数和基本初等函数的单调可直接判断， 【对应真题】2019年北京卷；2014年上海卷；2014年北京卷；2009年福建卷 【母题探究】 函数「(x)=-x2+2x的单调递增区间为 【母题解析】 解：根据题意，f(x)=-x2+2x, 开口向下的二次函数，其对称轴为x=1, 故f(x)的单调递增区间为(-0,1： 故答案为：(-∞，1刂， 二、定义法： 【使用条件】证明函数单调性的题型， 【方法总结】定义法判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断， 【对应真题】2013年福建卷；2001年北京：1991年全国 【母题探究】 证明：当1≤x时，f(x)=x2-2x是增函数. 【母题解析】 解：取1≤1<x2.则f(x1)-f(x2)=为2-x22-2x州1+2x2 0 整理得fx1)-f(x2)=(K1-x2)x1+x2-2), 由1≤<2得，x1-2<0,为1+x2-2>0, 所以f(x)-f(2)<0, 当1≤x时，f(x)=x2-2x是增函数. 三、图像法： 【使用条件】适用于可以直观画出函数图像的函数判断单调性 【方法总结】可以画出函数的图像，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性， 【对应真题】2010年安徽卷；2002年广东卷 【母题探究】 函数f(x)=x2-1的单调增区间为一： 【母题解析】 [x2-1,x≥1或x≤-1 解：图数f(x)=x2-1= 1-x2,-1<x<1 如愿所示： 故它的单调增区间(-1,0)和[1，+∞)， 故答案为：(-1,0)和[1，+∞). 31 四、性质法： 1使用条件】 (1)当函数的形式为f(x)=9(x)+h(x)型时，增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增 =减. (2)y=f(x)与y=kf(x),当k>0有相同的单调性，当k<0有相反的单调性 (3)y=f倒0>0)与y=0 恒为正或恒为负时，当k>0有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 【对应真题】2017年山东卷：2001年全国卷 【母题探究】 已知函数f(x),9(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，9(x)是减函数.且g(x)不等于0，那 么在这个区间上() A.f(x)+g(x)为减盈数 B.f(x)-g(x)为增函数 C.f(x)×g(x)为减函数 D得为增函数 【母题解析】 解：根据题意，依次分析选项： 增+减无法判断单调性，增-减为增，增×减无法确定单调性，增÷减无法确定单调性】 故选：B. 五、复合函数判断单调性： 【使用条件】复合函数f儿g(x]的单调性. 【方法总结】“同增异减”（应注意内层函数的值域）· 【对应真题】2018年全国卷；2017年新课标卷；2016年北京卷：2014年天津卷；2007年辽 宁卷；2010年北京卷：2006年天津卷；2005年上海卷；1989年全国卷 【母题探究】 函数f(x)=Vx2+x-6的增区间是· 【母题解析】 解：函数f(x)=√x2+x-6的定义域为{xx2+x-6≥0)， 化简，得x≤-3或x≥2， t(x)=x2+x-6图象是开口向上的抛物线， t(x)区间(2，+∞)上是增函数， ,函数=V是(2，+∞)上的增函数， ∴函数f(x)=Vx2+x-6的增区间是(2，+∞)， 故答案为：(2，+∞) 六、导数法： 【使用条件】利用函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果f(x)≥0，那么 函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果f"(x)≤0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减。 33 【母题探究】 函数f(x)=3x-x3的单调增区间为一。 【母题解析】 解：函数f(x)=3x-x3的导数为f(x)=3-3x2, 令f'(x)>0,即有x2<1, 解得，-1<x<1. 则增区间为(-1,1). 奇偶性4种题型6种方法 奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的，所 以奇偶性是一个“整体性质，单调性是一个“局部性质.值得注意的是，奇偶性 的本质是对称，奇函数图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴对称， 一、判断函数奇偶性一定义法： 【方法总结】首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是 奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则可根据f(x)与f(-x)之间的关系，判断函数f(x) 的奇偶性，其实只要判断函数奇偶性都用定义法即可， 【对应真题】2022年乙卷；2019年全国卷；2018年上海卷；2015年福建卷；2015年广东卷： 2015年北京卷；2014年重庆卷；2013年广东卷；2012年广东卷；2010年天津卷；2009年上 海卷；2007年全国卷