03 求函数解析式的8种方法-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

三、抽象复合函数定义域的求法： 【使用条件】已知函数f(x)的定义域，求抽象复合函数f儿9(x)的定义域：或者已知抽象复合 函数f引g(x)】的定义域，求函数f(x)的定义域. 【方法总结】1.定义域是x的范围；2，括号里面的取值范围相同. 【对应真题】2013年全国：2008江西；1985全国 【母题探究】 知函数∫(x+1)的定义域为[-3,3引，则函数f(2x-1)的定义域为(). A.[-2,3) B.【克 C,[-4,2] D.[0,2] {母题解析】 解：：函数f(x+1)的定义域为-3,3引， .-2≤X+1≤4， .-2≤2x-1≤4， 解得：-≤×≤ 故函数f(2x-1)的定义域为，引， 故选：B. 求函数解析式的8种方法 函数的解析式表示函数值与自变量之间的一种对应关系，是函数值与自变量建立 联系的一座桥梁，求函数解析式在高考中出现的频率较低，但解析式是我们研究 函数的基础，在平常考试中考察频率极高. 一、待定系数法： 【使用条件】已知函数解析式的形式时，可用待定系数法， 【方法总结】设出函数的解析式，求参数。 【对应真题】2005年江西卷；2006年福建卷；2007年辽宁卷；2008年上海卷 【母题探究】 已知二次函数f(x),f(0)=6,且f(3)=f(2)=0,那么这个函数的解析式是(). A.f(x)=x2+x+6 B.f(x)=x2-x+6 C.f(x)=x2-5x+6 D.f(x)=x2+5x-6 【母题解析】 解：二次函数f(x),f(3)=f(2)=0, 设解析式f（x)=a(x-3)(x-2), f(0)=6, .a(0-3)(0-2)=6, 解得a=1, f(x)=(x-3)x-2)=x2-5x+6, 故选：C 二、配凑法： 【使用条件】已知复合图数f[g(x)的表达式，求fx)的解析式，f[g(x月的表达式容易配成gx) 的运算形式时， 16 【方法总结】将含x的部分全配凑成9(x),整体换元.但要注意所求函数fx)的定义域不是原 复合函数的定义域，市是gx)的值域. 【母题探究】 已知f(+)=x2+是，求f). 【母题解析】 解：f(x+)=x2+是=x+-2, 所以fx)=x2-2x≥2或x≤-2) 三、换元法： 【使用条件】已知复合函数f19(x)】的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式.与配凑法 一样，要注意所换元的定义域的变化 {对应真题】2004年湖北卷 【母题探究】 已知f目)=点，求f女)的解析式. 【母题解析】 解：设t=主则x=t≠0)，代入f白= 得到间=高六 所以f=名x*0且x≠士). 17 四、代入法： 【使用条件】求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法」 【方法总结】求谁设谁，然后将已知点用未知点表示，代入解析式。 【对应真题】2013年北京卷；2013年安徽 【母题探究】 已知函数y=f(x)的图象与y=x2+x的图象关于点(-2,3)对称.求f(x)的解析式 1母题解析】 解：设函数y=f(x)的图象的任意-点为(x,),设y=x2+x的图象的任意一点为(x,y） 由盟意可得：-2=空，3=学 2 解得x=一4-x,y=6-y. 代入y=(x)2+x,可得：6-y=(-4-x)2-4-x, 化为：y=-x2-7x-6. fx)=-x2-7x-6. 五、构造方程组法： 【使用条件】已知的是较为抽象的函数关系 【方法总结】可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式. 【母题探究】 已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求fx)的解析式. 18 【母题解析】 解：由f(x)+2f(-x)=x2+2x, 可得f(-x)+2f(x)=x2-2x, 联立0②可得f(x)=x2-2x. 六、知一半求一半： 【使用条件】已知函数在（α，b)的解析式，求(-b,一Q)的解析式，这种题一般和奇偶性联系 在一起考 【方法总结】先设-b<x<一口，然后通过题目条件将x转化到(a,b)内代入已知的解析式求 解。 【对应真题】2020年江苏卷；2019年新课标卷；2017年新课标卷；2014年湖北卷；2013年 山东卷；2011年安徽；2008年全国卷：2007年福建卷；2006年上海卷；2002年上海卷 【母题探究】 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-1,则当x<0时，f(x)÷(】. A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1 【母题解析】 解：设x<0,则-x>0, f(-x)=e-1, :f(x)为奇函数， .-f(x)=e-x-1, 即f(x)=-e*+1. 19 故选：D. 七、赋值法： 【使用条件】当题中所给关系式变量较多，且含有任意“等条件时. 【方法总结】可以对具有“任意性"的变童进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式 【母题探究】 已知：f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，求f(x) 的解析式 【母题解析】 解：对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，且f(0)=1, .不妨令x=0, 则有f(-y)=f0)-y(-y+1)=1+yy-1)=y2-y+1 再令-y=x得函签解析式为：f(x)=x2+x+1. 八、递推法： 【使用条件】题中所给条件含有某种递进关系。 【方法总结】可以递推得出系列关系式，然后通过迭加，迭乘等运算求得函数解析式」 【母题探究】 设f(x)是定义在N上的函数，且f(1)=1.对于任意的自然数a,b都有f(a)+f(b)=f(a+ 20 b)-ab.求fx). 【母题解析】 解：因为f(a)+f(b)=f(a+b)-ab,a,b∈N, 所以令a=x,b=1,得fx)+f1)=f(x+1)-x, 又f(1)=1, 所以f(x+1)-f(x)=x+1, 所以f(2)-f(1)=2, f3)-f(2)=3, Ning sir f4)-f3)=4, f(n)-f(n-1)=n, 把上面等式相加，得f(m)=1+2+3+…+n=m四 所以f)=x2+x,x∈N, 求函数值域的10种方法 求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点，在具 体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的 方法。