01 不等式-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

不等式 均值不等式: [使用条件]简单题直接套用公式 I方法总结】直接套用以下公式,以下公式都由均值不等式串推导而来,理解记忆,注意取得 等号的条件. 平均数): (2) a2+b?→2ab,a, beB: (3)a+b>2vab,a>0.b>0(墓本不等式); (4) (a+b)2>ab,a.beR; (5) a2+b2>(a+b)②z2ab; (6) a+ocVabc. 【母题探究】 (1)(2015·重庆)设a,b>0.a+b=5,则va+1+Vb+3的最大值为__ (2)(2013-福建)若2x+2=1,则x+y的取值范围是() A. [0,2] B.(0.21 C.(-2) D.(-*,-2 【母题解析] 解: ($1)(V+1++3){-9+2va+1+3<9+a+1+b+3=18. 当且仅当a+1=b+3即a=.b==时等号成立,所以va+1++3的最大值为3v② □ (2)解::1=2+22v2x*y 变形为2x+y<,即x+y<-2,当且仅当x=y时取等号 则x+y的取值范围是(-xo,-2]. 故选:D. 二、柯西不等式: 【使用条件】当题目出现积的和,或出现平方和时 【方法总结】方和积>积和方: (1)(a}+b)(c2+d)>(ac+bd)?(当且仅当=时等号成立): (2)三维形式:(a{2+a{}+a2)(b,{②+b2+b)>(a,b,+ab-+ab)”}(当且仅当= -时等号成立) 【母题探究] (2018江苏)若x,y.z为实数,且x+2v+2z三6.求x+v+z*的最小 【母题解析】 解:由柯西不等式得(x2+y+2)(1^+2+2)>(x+2y+2)} .x+2y+22=6. .x2+y2+z2>4. 是当且仅当-={时,不等式取等号,此时x-=}y=,= '.x?+y2+z的最小值为4. { 三、1的妙用: 【使用条件】当题目已知和为常数求最值时 【方法总结】利用乘1凑出可以使用基本不等式的形式 【母题探究】 (1) (2012·浙江)若正数x,v满足x+3v=5xy.则3x+4v的最小值是( A.2 B.2 C.5 D.6 (2)(2008-湖南)设0<x<1,则y=+-的最小值为() B.25 C.26 A.24 D. 1 【母题解析】 解:(1):x43y=5xy _-. $3+4y=(3x+4)(+)=(13++)=(13+2\×36)=5 当且仅当-2时取得等号. (2):x+(1-x)=1 +=G+-)(x+1-)=(13+1+)=(13+2v36)=25 当且仅当“1-)--时即x=取得等号. 四、x+y+xy的处理方法: 【使用条件】当题目已知x+y土xy(x,v>0)为定值时 求二次函数的最值. 其他方法: (1)提公因式:比如求x+y的最值,x+y+xy=x(1+y)+y=(1+y)(x+1)-1.此时 凑出了积(1+y)(x+1)的定值,然后利用均值不等式 (2)判别式法:比如求x+y的最值,令x+y=t,则x+y+xy=t+t-x+x(t-x= -x+(t-1)x+2t,然后根据A>0求解 说明:轮换对称也能高效的解决部分问题,但并不万能,其他两种方法在求xv的最值时也有 局限性,所以只需要掌握求谁留谁即可 [母题探究] (2010·浙江)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是__. 【母题解析】 解:xy=2x+y+6>2/2xy+6,令t=xy,则t-2v2t-6>0.t>0 t的最小值为2v2+32-3v2.则xy=t*的最小值为18. 五、x2+y2+xy的处理方法: [使用条件】当题目已知x2+y2+xy为定值时 【方法总结】 (1)判别式法(万能k法):x、v均为实数时使用.令所求的整体为k.然后消除一个变量 将x?+y2+xy转化为一元二次方程,根据A>0求解 (2)三角换元:将x2+y2+xy转化为两个数的平方和,利用三角换元; {_。 (3)祠西不等式:将x2+y②+xy转化为两个数的平方和,利用柯西不等式; (4)配方法:将x{}土v2}+xy转化为(x+v)与xy的等式,再用均值不等式 [母题探究] (2011·浙江)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是__ 【母题解析] 解:法-:令x+y=k,x2+y+xy=k2-x(k-x=1 看成关于x的-元二次方程x2-kx+k2-1=0 A=k2-4(k2-1)>0,解得k23. 法二:2+y2+xy--2+(+)})1. 令sine-x,cosθ=y+{ 法三:x2+y2+xy-+(y+){}=1,根据祠西不等式(x+)(2+(y+) )G+ 1-}.所以x+y最大值为,- 法四:x+y+xy=(x+y)-xy=1 所以(x+y)2=1+xy. 因为xy_ 所以(x+y)21(xc)} {