第05讲 有理数的乘除（5个知识点+4种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第05讲 有理数的乘除（5个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重难点） 1.两个有理数的乘法法则 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 2.多个有理数相乘的法则 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （2）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点2.倒数的概念（重点） （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律（重点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.有理数除法法则（难点） （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点5.有理数的乘除混合运算（难点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型一：运用运算律简化运算 1.（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 2.计算：． 3.（23-24七年级上·河南信阳·）计算：； 4.（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 5.（24-25七年级上·全国·假期作业）简便运算 6.（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 7.计算：． 8.计算： 9.（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 10.（23-24七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算，能简算的要简算． ． 题型二：有理数的四则混合运算 1．（22-23七年级上·青海西宁·期末）计算： 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算：． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算：． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 5．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）已知，，根据下列条件，求代数式的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 7．（23-24七年级上·安徽池州·期中）我们规定“”是一种新的数学运算符号，即．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 题型三：利用有理数的乘法解决实际问题 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 二、填空题 2．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知长为300米的秋游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在队尾处的甲有一物品要送到队头，送到后立即返回队尾．若甲的往返速度均为4米/秒，则甲往返共用的时间为 秒． 三、解答题 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）某公司去年1～3月份平均每月亏损1.6万元，4～6月份平均每月盈利2万元，7～10月份平均每月盈利1.7万元，11～12月份平均每月亏损2.2万元（假设盈利为正，亏损为负） (1)试说明去年该公司是盈利的还是亏损的． (2)求去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元， 5．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）体育课上，对七（1）班的学生进行了跳绳的测试，以能跳180个为标准，超过次数用正数来表示，不足的次数用负数来表示，其中10名男同学成绩如下： 5，，，8，0，10，0，12，，． (1)课上规定不低于180个算达标，则这10名同学的达标率为多少？ (2)求它们共跳绳多少个？ 6．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）某自行车厂计划每天生产200辆自行车，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 7．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）中秋节我们连云港特产螃蟹大量上市现在有筐螃蟹，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： 第一筐 第二筐 第三筐 第四筐 第五筐 第六筐 第七筐 第八筐 回答下列问题： (1)这筐螃蟹中，最接近标准重量的这筐螃蟹重______千克； (2)这筐螃蟹中，有两筐螃蟹的重量相差最大，这两筐螃蟹的重量相差______千克； (3)若这批螃蟹以元千克全部售出，可售得多少元？ 8．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）杭州第十九届亚运会期间，为全面做好赛事保障，确保赛事顺利进行，某检修小组从O地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下：，，，，，，（单位：） (1)求收工时距O 地多远？ (2)若每千米耗油0.2升，那么该检修小组本次检修共耗油多少升？ 9．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：． (1)请你帮忙确定地相对于地的方位？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 10．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表所示（运进用正数表示，运出用负数表示），表中有个数据不小心被覆盖．已知被覆盖的数是运进的吨数，且比其中一次运出吨数的最大值多1吨． 进出食品的质量（单位：吨） 3 2 进出次数 3 1 3 2 2 (1)被覆盖的数为________； (2)求冷库该天的冷冻食品的质量相比原来增加或减少了多少吨？ (3)若运进每吨冷冻食品费用为500元，运出每吨冷冻食品费用为800元．求冷库该天的运送总费用． 题型四: 有理数的四则运算阅读题 1.（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 3.（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 4.．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 5.（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•杜尔伯特县二模）计算的结果是　　 A．6 B． C．8 D． 2．（2024•二道区校级模拟）若与互为倒数，则的相反数是　　 A． B． C． D．2 3．（2023秋•沙市区期末）计算的结果为　　 A． B．1 C．9 D． 4．（2024•建平县一模），，为非零有理数，它们的积一定为正数的是　　 A．，，同号 B．，与同号 C．，与同号 D． 5．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是　　 A．3 B．2 C． D． 6．（2024•红桥区一模）计算：的结果是　　 A． B． C．1 D．4 7．（2024•城西区校级开学）计算时，除法变为乘法正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，已知，是数轴上的两个数，下列不正确的式子是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2024•松山区一模）下列说法正确的是　　 A．如果，则有 B．若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数 C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数 D．若，则、互为相反数 二．填空题（共4小题） 11．（2024春•松江区期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是　 　． 12．（2024春•闵行区期中）　　． 13．（2023秋•射阳县期末）已知有理数1，，，，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 　　． 14．（2023秋•渝北区期末）已知，，，则　　． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•济南期末）计算：． 16．（2023秋•顺义区期末）计算：． 17．（2023秋•方城县校级期末）已知：有理数所表示的点与表示的点距离4个单位，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数． 求：的值． 18．（2023秋•潜江月考）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则　　； （2）计算：； （3）根据以上信息可知　　． 19．（2023春•浦东新区校级期中） 20．（2023秋•埇桥区期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明，原式； 小军：原式； （1）根据上面的解法对你的启发，请你再写一种解法； （2）用你认为最合适的方法计算：． 21．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 22．（2023秋•射阳县期末）已知：，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 23．（2023秋•淮北期末）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘除（5个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重难点） 1.两个有理数的乘法法则 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 2.多个有理数相乘的法则 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （2）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点2.倒数的概念（重点） （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律（重点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.有理数除法法则（难点） （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点5.有理数的乘除混合运算（难点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型一：运用运算律简化运算 1.（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2.计算：． 【答案】-3300 【分析】先将除法变为乘法，再运用乘法交换律进行计算即可. 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除运算，根据有理数的乘除法运算法则，运用乘法交换律简便计算是解题的关键 3.（23-24七年级上·河南信阳·）计算：； 【答案】71 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据分配律计算即可． 【详解】 ． 4.（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则，准确计算，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 5.（24-25七年级上·全国·假期作业）简便运算 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 6.（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律的逆运算可先把提出，可得再计算括号里面的减法，后计算乘法即可． 【详解】解： 7.计算：． 【分析】根据有理数混合运算的法则计算即可； 【解答】解：- ． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；另外，注意乘法运算定律的应用． 8.计算： 【分析】根据互为倒数的两个数相乘，乘积为1，进行简便计算，从而得出结果． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，运用乘法运算律可以简化计算． 9.（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； （2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10.（23-24七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算，能简算的要简算． ． 【答案】． 【分析】利用拆项法进行计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型二：有理数的四则混合运算 1．（22-23七年级上·青海西宁·期末）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算：． 【答案】2 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【详解】解： ． 5．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘法与除法运算，再计算加减运算即可； （2）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 【点睛】本题考查的是有理数的乘法分配律的应用，有理数四则混合运算，掌握有理数的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）已知，，根据下列条件，求代数式的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)14或 (3)的值为或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加减法等知识，根据“，”得出，，再根据不同的条件求出、的值，然后代入求值即可，求出、的值是解题的关键． （1）利用“，”求出、的值，从而得解； （2）利用“”，即a与b异号，求出、的值，从而得解； （3）利用“”得出，求出、的值，从而得解； 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∴； （2）∵， ∴a与b异号． 当，时，， 当，时，． ∴的值为14或． （3）∵， ∴， ∴，． 当，时，， 当，时，． ∴的值为或． 7．（23-24七年级上·安徽池州·期中）我们规定“”是一种新的数学运算符号，即．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据,可以求得所求式子的值； （2）根据,可以求得所求式子的值． 【详解】（1）因为， 所以 ． （2） ． 题型三：利用有理数的乘法解决实际问题 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：C． 二、填空题 2．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【详解】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知长为300米的秋游队伍，以2米/秒的速度向东行进，在队尾处的甲有一物品要送到队头，送到后立即返回队尾．若甲的往返速度均为4米/秒，则甲往返共用的时间为 秒． 【答案】200 【分析】本题考查有理数除法的实际应用．分成两次从队尾到队头是追击问题，用路程除以速度差求出时间，从队头到队尾为相遇问题，用路程除以速度和求出时间，即可． 【详解】解：由题意，得：甲从队尾到队头所用时间为：秒； 再从队头到队尾所需时间为：秒； ∴共有时间为：秒； 故答案为：200． 三、解答题 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）某公司去年1～3月份平均每月亏损1.6万元，4～6月份平均每月盈利2万元，7～10月份平均每月盈利1.7万元，11～12月份平均每月亏损2.2万元（假设盈利为正，亏损为负） (1)试说明去年该公司是盈利的还是亏损的． (2)求去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元， 【答案】(1)盈利的 (2)盈利0.3万元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用． （1）用平均数的定义求出去年的经营总额，根据和的情况进行判断即可； （2）用（1）中的结果除以12即可得出结果． 读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：万元； ∴去年该公司是盈利的； （2）万元； 答：去年该公司平均每月盈利0.3万元． 5．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）体育课上，对七（1）班的学生进行了跳绳的测试，以能跳180个为标准，超过次数用正数来表示，不足的次数用负数来表示，其中10名男同学成绩如下： 5，，，8，0，10，0，12，，． (1)课上规定不低于180个算达标，则这10名同学的达标率为多少？ (2)求它们共跳绳多少个？ 【答案】(1) (2)他们共跳绳1819个 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的算式求解是解题的关键． （1）跳绳次数不低于180的算达标，则记录中为非负数的位达标，据此求出达标人数，然后用达标人数除以总人数即可求出达标率； （2）把10名同学的跳绳记录相加，再加上即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，达标的人数有6人， ∴达标率为：； （2）（个）， 答：他们共跳绳1819个． 6．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）某自行车厂计划每天生产200辆自行车，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)212 (2)26 (3)42500元 【分析】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数的混合运算的应用，关键是理解正负数的实际意义以及有理数混合运算法则． （1）根据题意和表格可以求得该厂星期四生产多少辆； （2）根据题意和表格可以求得该厂产量最多的一天的产量和产量最少一天的产量，从而可以解答本题； （3）根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：辆， 故答案为：； （2）解：产量最多的是星期六，最少的是星期五， ∴多生产自行车的辆数为辆， 故答案为：； （3）解：辆， 元， 答：该厂工人这一周的工资总额是42500元． 7．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）中秋节我们连云港特产螃蟹大量上市现在有筐螃蟹，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： 第一筐 第二筐 第三筐 第四筐 第五筐 第六筐 第七筐 第八筐 回答下列问题： (1)这筐螃蟹中，最接近标准重量的这筐螃蟹重______千克； (2)这筐螃蟹中，有两筐螃蟹的重量相差最大，这两筐螃蟹的重量相差______千克； (3)若这批螃蟹以元千克全部售出，可售得多少元？ 【答案】(1) (2) (3)这批螃蟹以元千克全部售出，可售得元 【分析】（1）根据与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量即可求解． （2）最重的与最轻的相减即可求解． （3）先求出筐螃蟹的总质量，再根据“总价单价数量”计算即可． 【详解】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准，是第筐， 这筐螃蟹重（千克）， 故答案为：． （2）最重的一筐是第筐，重量是（千克）， 最轻的一筐是第筐，重量是（千克）， 最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 故答案为：． （3）（千克）， （元）． 答：这批螃蟹以元千克全部售出，可售得元． 【点睛】本题考查了有理数的运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． 8．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）杭州第十九届亚运会期间，为全面做好赛事保障，确保赛事顺利进行，某检修小组从O地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下：，，，，，，（单位：） (1)求收工时距O 地多远？ (2)若每千米耗油0.2升，那么该检修小组本次检修共耗油多少升？ 【答案】(1) (2)8升 【分析】本题主要考查有理数加法、乘法应用和绝对值运用． 解题关键点：理解正负数和绝对值的意义． （1）按照规定，将各数相加，由结果判断收工时距A地多远； （2）先由绝对值之和求出总路程，再算总的耗油量． 【详解】（1）解： 答：收工时距O地． （2）    （升） 答：该检修小组本次检修共耗油8升． 9．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：． (1)请你帮忙确定地相对于地的方位？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地的东边20千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将所给的路程记录相加，如果结果为正则B地在A地的东边，如果结果为负则B地在A地的西边，如果结果为0则B地与A地重合； （2）分别算出每次航行后离出发点的位置即可得到答案； （3）先求出总路程，再求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解： （千米）， ∴B地在A地的东边20千米； （2）解：第一次航行后距离A地千米； 第二次航行后距离A地（千米）； 第三次航行后距离A地（千米）； 第四次航行后距离A地（千米）； 第五次航行后距离A地（千米）； 第六次航行后距离A地（千米）； 第七次航行后距离A地（千米）； 第八次航行后距离A地（千米）； ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米； （3）解： （升）， （升）． ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油． 10．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表所示（运进用正数表示，运出用负数表示），表中有个数据不小心被覆盖．已知被覆盖的数是运进的吨数，且比其中一次运出吨数的最大值多1吨． 进出食品的质量（单位：吨） 3 2 进出次数 3 1 3 2 2 (1)被覆盖的数为________； (2)求冷库该天的冷冻食品的质量相比原来增加或减少了多少吨？ (3)若运进每吨冷冻食品费用为500元，运出每吨冷冻食品费用为800元．求冷库该天的运送总费用． 【答案】(1) (2)增加了2吨 (3)元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，解题的关键是： （1）根据运进为正，且比运出的吨数最大值多1吨可得结果； （2）将表格中的所有数据，结合次数相加即可； （3）用运进的总吨数乘以500，加上运出的吨数乘以800即可． 【详解】（1）解：∵被覆盖的数是运进的吨数，且比其中一次运出吨数的最大值多1吨， ∴被覆盖的数是， 故答案为：； （2） ； ∴相比原来增加了2吨； （3） ∴冷库该天的运送总费用为16600元． 题型四: 有理数的四则运算阅读题 1.（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 3.（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③； 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误； （2）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可． 【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 4.．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) 【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． （1） 解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2） 解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3） 解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4） 解： ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等． 5.（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•杜尔伯特县二模）计算的结果是　　 A．6 B． C．8 D． 【分析】根据两数相乘同号得正异号得负，再把绝对值相乘，可得答案． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值的乘法运算． 2．（2024•二道区校级模拟）若与互为倒数，则的相反数是　　 A． B． C． D．2 【分析】根据倒数的定义得出的值，根据相反数的定义得出答案． 【解答】解：根据倒数的定义得：， 解得． 根据相反数的定义， 的相反数， 故选：． 【点评】本题主要考查了倒数和相反数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键． 3．（2023秋•沙市区期末）计算的结果为　　 A． B．1 C．9 D． 【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（2024•建平县一模），，为非零有理数，它们的积一定为正数的是　　 A．，，同号 B．，与同号 C．，与同号 D． 【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可． 【解答】解：，，为非零有理数，它们的积一定为正数的是，与同号， 故选：． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是　　 A．3 B．2 C． D． 【分析】根据题意先计算出的值，再将结果代入得出本题答案． 【解答】解：计算时，误将“”看成“”而算得结果是， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查有理数的除法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（2024•红桥区一模）计算：的结果是　　 A． B． C．1 D．4 【分析】根据有理数的除法运算即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：． 【点评】本题考查有理数的除法运算，解题的关键是熟练运用有理数的除法运算，本题属于基础题型． 7．（2024•城西区校级开学）计算时，除法变为乘法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先将带分数化为假分数，然后再依据除法法则进行变形即可． 【解答】解：原式． 故选：． 【点评】本题主要考查的是有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 8．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，已知，是数轴上的两个数，下列不正确的式子是　　 A． B． C． D． 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出、的符号及绝对值的大小，再对各选项进行分析即可． 【解答】解：由数轴图可知，，，， ，，，， 选项正确，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查的是数轴，熟知上右边的数总比左边的数大是解答此题的关键． 9．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：、，故计算错误； 、，故计算错误； 、，故计算正确； 、，故计算错误； 故选：． 【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 10．（2024•松山区一模）下列说法正确的是　　 A．如果，则有 B．若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数 C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数 D．若，则、互为相反数 【分析】根据绝对值的性质、有理数的乘法、相反数的定义即可求出答案． 【解答】解：、当，时，，不符合题意，故不符合题意． 、若有一个数为零时，此时乘积为0，故不符合题意． 、一个有理数的绝对值是它本身，则这个是非负数，故不符合题意． 、若，则、互为相反数，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查绝对值的性质、有理数的乘法、相反数的定义，本题属于基础题型． 二．填空题（共4小题） 11．（2024春•松江区期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是　　． 【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数可得倒数是它本身的数是． 【解答】解：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义． 12．（2024春•闵行区期中）　　． 【分析】先根据有理数的除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数把除法变乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 13．（2023秋•射阳县期末）已知有理数1，，，，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 　16　． 【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，要想运算结果最大，应是同号两数相乘，由此解答即可． 【解答】解：，， ， 运算结果最大是16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，熟知有理数的乘法法则是解题的关键． 14．（2023秋•渝北区期末）已知，，，则　2　． 【分析】判断出的值，可得结论． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查有理数的乘法，绝对值，有理数的加法等知识，解题的关键是判断出的值． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•济南期末）计算：． 【分析】根据有理数除法法则把有理数除法转化成乘法，然后根据有理数乘法法则计算便可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数乘法，有理数除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 16．（2023秋•顺义区期末）计算：． 【分析】首先确定符号，除法转化为乘法计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数的除法，有理数的乘法等知识，解题的关键是掌握有理数的乘除法则． 17．（2023秋•方城县校级期末）已知：有理数所表示的点与表示的点距离4个单位，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数． 求：的值． 【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，进而分类讨论得出答案． 【解答】解：有理数所表示的点与表示的点距离4个单位， 或3， ，互为相反数，且都不为零，，互为倒数， ，， 当时， ， 当时， 综上所述：原式或． 【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键． 18．（2023秋•潜江月考）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则　　； （2）计算：； （3）根据以上信息可知　　． 【分析】（1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配律进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【解答】解：（1）根据倒数的定义，若，则． 故答案为：； （2） ； （3）因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配律进行有理数的运算等知识，乘积是1的两数互为倒数． 19．（2023春•浦东新区校级期中） 【分析】首先计算括号内的式子，按首先正负数分别计算，然后把结果相加即可计算括号内的式子，最后进行除法计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确确定运算的顺序是关键． 20．（2023秋•埇桥区期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明，原式； 小军：原式； （1）根据上面的解法对你的启发，请你再写一种解法； （2）用你认为最合适的方法计算：． 【分析】（1）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键． 21．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】分别根据运算“”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 22．（2023秋•射阳县期末）已知：，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据绝对值的性质求出、的值，然后确定出、的对应情况，再相乘即可得解； （2）根据绝对值的性质求出、的值，然后根据异号得负确定出、的对应情况，再代入解答即可． 【解答】解：（1），， ，， ， 时，，， 时，，， 综上所述，的值是； （2），， ，， ， 时，，， 时，，， 综上所述，的值为． 【点评】本题主要考查有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，有理数的减法，解答的关键是理解清楚题意，找到符合题意的相应的，的值． 23．（2023秋•淮北期末）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 【分析】（1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【解答】解：（1）设为，为， 原式； （2）设为，为， 原式． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． 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