重难点16 数列通项公式的求法（6大题型+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

数列通项公式的求法 结合等差数列、等比数列的定义以及公式，能求特殊数列的通项公式。 归纳法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 例1（2024年山东模拟） 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则此数列的第20项为  A. 220 B. 200 C. 180 D. 162 【类题演练1】黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第7个图案中有白色地面砖　　块． 【类题演练2】 数列,,,,…的通项公式可能是( ) A. B. C. D. 根据和的关系求通项公式 已知求通项 已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式． 例2（2024高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和，求的通项公式 ． 【类题演练1】（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【类题演练2】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【类题演练3】（2024高三下·全国·专题练习）数列满足，则 ． 已知求通项 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 例3（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. 求数列的通项公式； 例4设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1（n≥2），则Sn＝　　　　.  【类题演练1】（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【类题演练2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则 . 【类题演练3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 根据递推公式求通项 累加法 累加法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 例5 （2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【类题演练1】（2024·江苏盐城·模拟预测）凸五边形有5条对角线，那么凸边形有（    ）条对角线． A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·重庆·三模）已知数列的前项和为（    ） A．276 B．272 C．268 D．266 【类题演练3】（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（    ） A．2290 B．2540 C．2650 D．2870 累乘法 累乘法适用于或型，通常利用an＝··…··a1，求出通项an. 例6 （23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【类题演练1】已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an＝________. 【类题演练2】（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练3】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【类题演练4】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 构造法 形式1 形如an＋1＝pan＋q型 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列． 例7已知数列中，，则等于（ ） A． B． C． D． 【类题演练1】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________. 形式2形如型 例8（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【类题演练1】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【类题演练2】（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．是递增数列 C． D． 【类题演练3】（多选）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 形式3 形如型 设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 例9（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【类题演练】已知数列满足，则（ ） A． B． C． D． 形式4 形如an＋1＝(p，q，r是常数)型 这类问题可以对递推公式取倒数，然后构造等差或等比数列求解. 例10（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【类题演练1】已知数列满足：，，则( ) A． B． C． D． 【类题演练2】已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ． 一、单选题 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 3．（2024·四川内江·模拟预测）在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，则（    ） A．190 B．210 C．380 D．420 5．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 6．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 7.（2024高三下·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 8．（2024·宁夏固原·一模）已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2、 多选题 9．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（    ） A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列” C．若且，则 D．若且，则是等比数列的前项和 10．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知数列满足，则（    ） A．是等差数列 B．的前项和为 C．是单调递增数列 D．数列的最小项为4 11．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 13．（23-24高二下·江西景德镇·期中）若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 14．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则 ； ． 3、 解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求数列的通项公式； 16．（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 17.（23-24高三上·广东广州·阶段练习）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列通项公式的求法 结合等差数列、等比数列的定义以及公式，能求特殊数列的通项公式。 归纳法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 例1（2024年山东模拟） 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则此数列的第20项为  A. 220 B. 200 C. 180 D. 162 【答案】B 【解析】设数列为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则偶数项的通项公式为，所以． 【类题演练1】黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第7个图案中有白色地面砖　　块． 【解析】根据图像发现白色地面砖依次增加4块，故构成以6为首项，4为公差的等差数列. 【答案】30 【类题演练2】 数列,,,,…的通项公式可能是( ) A. B. C. D. 【分析】利用调整符号变化，在根据分母成等差数列写出通项公式。 【答案】D 根据和的关系求通项公式 已知求通项 已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式． 例2（2024高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和，求的通项公式 ． 【答案】 【分析】根据求出数列的通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 验证当时，也符合，所以. 故答案为： 【类题演练1】（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据与关系求解即可. 【详解】. 故选：C. 【类题演练2】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式即得. 【详解】数列中，，， 当时，，显然满足上式， 数列的通项公式为. 故答案为： 【类题演练3】（2024高三下·全国·专题练习）数列满足，则 ． 【答案】 【分析】 令，得到，结合与的关系，求得，进而求得，得到答案. 【详解】 令，的前项和为， 因为，可得， 当时， ； 当时，， 将代入上式可得， 综上可得，即，所以. 故答案为：. 已知求通项 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 例3（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. 求数列的通项公式； 【答案】 【分析】运用公式，已知求即可； 【详解】①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. 例4设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1（n≥2），则Sn＝　　　　.  【答案】 【解析】依题意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn（n≥2），整理得－＝1，又＝＝1，则数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，因此＝1＋（n－1）×1＝n，即Sn＝. 【类题演练1】（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【类题演练2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】-4 【分析】由题意首先得，其次当时，可以通过的关系得数列是首项为-2，公比为-1的等比数列，由此即可进一步求解. 【详解】当时，，解得. 当时，，两式相减得， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为-2，公比为-1的等比数列， 所以，即数列是， 故，所以. 故答案为： 【类题演练3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的关系可得是以1为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解． 【详解】因为，所以，时，， 两式相减得，，即，， 因为，即， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列， 则． 故选：B． 根据递推公式求通项 累加法 累加法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 例5 （2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【答案】C 【分析】由递推公式用累加法公式求出，再求即可. 【详解】法一：由题得， 所以. 法二：由题，， 所以. 故选：C. 【类题演练1】（2024·江苏盐城·模拟预测）凸五边形有5条对角线，那么凸边形有（    ）条对角线． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分析得到，再利用累加法和等差数列前项和公式即可. 【详解】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线， 则得到在凸的基础上，多一个顶点，则多条对角线， 设凸边形有条对角线， 所以， 则，， 累加得， 则， 故选：D. 【类题演练2】（2024·重庆·三模）已知数列的前项和为（    ） A．276 B．272 C．268 D．266 【答案】A 【分析】令得，当时，结合题干作差得，从而利用累加法求解即可. 【详解】，又， 当时，，解得； 当时，，作差得， . 故选：A 【类题演练3】（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（    ） A．2290 B．2540 C．2650 D．2870 【答案】D 【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得. 【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n， 记第n层球的个数为，则， 得， 其中也适合上式，则， 在第n堆中， ， 当时，，解得. 故选：D. 累乘法 累乘法适用于或型，通常利用an＝··…··a1，求出通项an. 例6 （23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案. 【详解】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 【类题演练1】已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an＝________. 【答案】　 【解析】　由题意知，a1＝1，＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)， 所以an＝××…××a1＝2n－1×2n－2×…×1＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1适合此式， 所以log2an＝. 【类题演练2】（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解. 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 【类题演练3】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【答案】B 【分析】依题意对化简，采用累乘法得到，从而得到 【详解】因为，所以，即，得. 所以. 因为，所以. 故选：B. 【类题演练4】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 构造法 形式1 形如an＋1＝pan＋q型 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列． 例7已知数列中，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以.故选：C 【类题演练1】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________. 【答案】　an＝2n－1，n∈N* 【解析】　因为Sn＋1－2Sn＝1， 所以Sn＋1＝2Sn＋1. 因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式， 所以an＝2n－1，n∈N*. 形式2形如型 例8（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】构造得，从而得到，则，再利用等比数列求和公式代入计算即可. 【详解】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 【类题演练1】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【类题演练2】（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】BD 【解析】由，可得，则， 又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 由，所以A不正确； 由，即，所以是递增数列，所以B正确； 由，所以C错误； 由，，所以，所以D正确.故选：BD. 【类题演练3】（多选）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，可得： 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则， 故. 所以，，，. 则，所以选项A错误，选项B、D正确. 因为所以正确． 故选：BCD． 形式3 形如型 设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 例9（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【答案】 【分析】构造法得到新数列为等比数列，求出通项公式，再得到原数列通项公式. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. 【类题演练】已知数列满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，即， 所以数列以首项为，公比为4的等比数列， 所以，，，，， 累加得：， 所以， 所以，故选：A. 形式4 形如an＋1＝(p，q，r是常数)型 这类问题可以对递推公式取倒数，然后构造等差或等比数列求解. 例10（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 【类题演练1】已知数列满足：，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，即，故， 又因为，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 从而，解得.故选：C. 【类题演练2】已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ． 【答案】15 【解析】因为，所以，即，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 可求得， 所以， 即且单调递增,. 则n的最大值为15. 一、单选题 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该数列为，. 选项A，，不满足题意，故A错误； 选项B，，不满足题意，故B错误； 选项C，，不满足题意，故C错误； 选项D，，均满足题意.故选：D. 2．（2024·贵州遵义·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用求出，即可计算即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：D 3．（2024·四川内江·模拟预测）在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． 【详解】解：由， 可得， 所以当时，， 又， 所以， 所以． 故选：D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，则（    ） A．190 B．210 C．380 D．420 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，结合变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【详解】数列中，，，当时，， 两式相减得，即， 因此，显然数列是常数列， 而，解得，于是，因此， 所以. 故选：B 5．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 【答案】D 【分析】利用的关系，结合条件构造，利用等比数列的定义及通项公式计算即可. 【详解】由， 且， 显然，所以是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 故选：D 6．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可. 【详解】数列中，，因此， 则数列是常数列，于是，， 所以. 故选：B 7.（2024高三下·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列递推式，得，两式相减，可得，利用累乘法，即可得到结论 【详解】由于数列中，，前项和， ∴当时，， 两式相减可得： ∴， 所以， 因此， 故选：A. 8．（2024·宁夏固原·一模）已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据的关系式判断得是等比数列，从而利用等比数列的求和公式求得，再解不等式即可得解. 【详解】因为， 当时，，得， 当时， ， 所以，则， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故由，得，即， 因为，又，所以，即， 则正整数的最小值是. 故选：B. 2、 多选题 9．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（    ） A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列” C．若且，则 D．若且，则是等比数列的前项和 【答案】AB 【分析】对A，B根据“线性数列”的定义进行判断；由构造法，根据数列递推公式求出通项公式可判断C; 设且，可判断D错误. 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故A正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故B正确； 设，则，解出， 则，因此，故错误； 若且，则， 数列的前项和为0，显然D错误. 故选：. 10．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知数列满足，则（    ） A．是等差数列 B．的前项和为 C．是单调递增数列 D．数列的最小项为4 【答案】BC 【分析】利用等比数列的定义求出可得，再由等比数列求和公式计算可判断AB；根据的通项公式可判断C；根据的单调性可判断D. 【详解】由，得，因为， 所以，从而， 所以是首项为1，公比为的等比数列，所以， 即，所以， 所以，所以A错误，B正确； 由，易知是单调递增数列，C正确； 当时，， 当时，，D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【详解】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】利用数列的前项和与的关系求出数列的通项； 【详解】 当时，， 当时，也满足， 所以数列的通项公式为． 故答案为：. 13．（23-24高二下·江西景德镇·期中）若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由条件取，可求，结合关系，求，由此可得结论. 【详解】当时，, 又，所以； 当时，， 因为，也满足关系， 所以. 故答案为：. 14．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则 ； ． 【答案】 2 2025 【分析】由数列的前项积，利用赋值法令可求得，将表达式化简可得数列是等差数列，即可求得. 【详解】根据题意令，可知，又数列的各项均为正，即； 解得； 由可得， 即，可得； 所以数列是以为首项，公差为的等差数列； 因此， 所以. 故答案为：2；2025. 3、 解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】将变形构造成，利用等比数列的定义进行证明，求出的通项公式，移项即可求解． 【详解】由已知， 所以， 又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以， 即． 16．（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解； （2）对进行不等式放缩，即可证明不等式. 【详解】（1），，， ，两式相除，得， 当，时，，，即； 当，时，，，即， 综上所述，数列的通项公式为； （2）， ， 又， . 17.（23-24高三上·广东广州·阶段练习）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式，利用可得，利用累乘法，结合验证首项，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法可求得，即可证明结论. 【详解】（1）由题意对任意正整数n，有， 则时，，即； 当时，，则， 即，即， 故时，， 也适合上式，故； （2）证明：由（1）可得， 故， 则， 故 ， 故，由于，故， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$