重难点18 数列中的奇偶性、分段问题（5大题型+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

数列中奇偶项、分段问题 掌握数列中关于奇偶项讨论、分段型数列的通项以及求和问题的基本解法与基本思想. 通项分段型 例1(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题) 已知为等差数列，，记，分别为数列，前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据，将用表示，再结合，，列方程组求出，进而求出通项公式； （2）写出，然后根据n的奇偶性讨论求出，再分别作差比较大小. 【类题演练1】（2021·新高考1卷T17）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【类题演练2】（2024年重庆第一中学月考试题）已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)若，求. 【类题演练3】（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 通项绝对值型 通项公式含有绝对值时，往往可以分类讨论去掉绝对值，化为分段问题处理. 例2 （23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【类题演练1】（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 通项含有型 若通项公式中含有，往往需要讨论n的奇偶数，进而求解. 例3 （2024广东惠州质监）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【类题演练1】（2024湖南高三月考）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【类题演练2】已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)令，求数列的前项和． 【类题演练3】（2024·全国专题训练）已知数列和满足，，. (1)求与； (2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值. 递推关系间隔型 当递推式为型时，往往再构造的关系，两式作差（商）转化为的关系，进而求出奇数项、偶数项的递推关系。 例4（2024全国联考信息卷））设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ． 【类题演练1】已知数列满足：，当时，， （1）求，数列的通项公式； （2）记，求证． 通项三角函数型 当数列的通项公式含有三角函数时，我们可以先判断三角函数部分的最小正周期，然后以此为依据对n的不同取值分类讨论。 例5已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【类题演练1】已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 【类题演练2】（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．（多选）（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（       ） A．的最大值为1 B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D． 3．（多选）（2024甘肃省临洮中学上学期第三次质量检测）已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 4．（2024上海复旦大学附中检测）数学试题）数列满足，则数列的第2023项为 . 5.已知数列满足，，，则数列的前20项和为 . 6．（2024河南二十校调研）已知为数列的前项和，，则 ；令，数列的前项和为，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 7．（2024届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 8.（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 9.（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值． 10．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (1)Sn及Sn的最小值； (2)数列{|an|}的前n项和Tn. 11（2024年广东省广州实验中学校考）已知数列满足，且的前100项和 (1)求的首项； (2)记，数列的前项和为，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列中奇偶项、分段问题 掌握数列中关于奇偶项讨论、分段型数列的通项以及求和问题的基本解法与基本思想. 通项分段型 例1(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题) 已知为等差数列，，记，分别为数列，前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据，将用表示，再结合，，列方程组求出，进而求出通项公式； （2）写出，然后根据n的奇偶性讨论求出，再分别作差比较大小. 【解答】(1)设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是． (2)方法1：由(1)知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，． 方法2：由(1)知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，． 【类题演练1】（2021·新高考1卷T17）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【分析】(1)由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)因为n为奇偶数时的递推关系不同，故可分别求出奇偶项的通项公式，分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】（1）显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． （2）由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【类题演练2】（2024年重庆第一中学月考试题）已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可知结合可得进而可证为等比数列； （2）由（1）结论可先求出的通项公式，进而求出的通项公式，再根据求出的通项公式，则可求. 【详解】（1）证明：且 ， 又 ， 为以4为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知：， ， 又， ， 所以 . 【类题演练3】（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据退一相减法，结合等差数列定义可证； （2）根据等差数列可得与，再利用分组求和的方程求得. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则 . 通项绝对值型 通项公式含有绝对值时，往往可以分类讨论去掉绝对值，化为分段问题处理. 例2 （23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出； （2）由的通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，. （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ， . 【类题演练1】（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 通项含有型 若通项公式中含有，往往需要讨论n的奇偶数，进而求解. 例3 （2024广东惠州质监）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【分析】（1）利用等比数列定义以及等差数列性质可求得数列的公比，再由数列满足的等式可得，即可求出和的通项公式. （2）写出数列的表达式，利用分组求和法，再按奇偶分别求和即得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，， 又，则，即， 而，解得，因此； 数列中，当时，，由， 得当时，， 两式相减得，即，显然满足上式，因此， 所以数列和的通项公式分别为. （2）由（1）知，，， 因此当为偶数时， ， 当为奇数时，， 所以数列的前n项和. 【类题演练1】（2024湖南高三月考）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由已知可得， 则， 上述等式累加可得， 所以，，故当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：因为，故数列为等差数列， 则，所以，， 对任意的，则， 当为偶数时，设，则， 则； 当为奇数时，设，则， 则， 综上所述，. 【类题演练2】已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)令，求数列的前项和． 【分析】（1）根据成等比数列列方程求出，进而求出通项公式；（2）写出，然后裂项化为，然后发现可以前后项相消，因为不能确定最后一项的符号，故对n的奇偶性进行讨论。 【解答】(1)因为，，， 由题意得，解得，所以． (2)． 当为偶数时，． 当为奇数时，． 所以(或) 【类题演练3】（2024·全国专题训练）已知数列和满足，，. (1)求与； (2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值. 【分析】(1)根据给定条件利用累加法，结合等比数列前n项和公式计算得，再根据求得，两式做差求出；(2)根据错位相减法求出，再对n分奇偶讨论计算作答. 【详解】(1)依题意，当时，，则 ， 而满足上式，故有； ，，当时，， 两式相减得：，则，而，满足上式，即有， 所以，. (2) 由(1)知，， 两边同乘-2得：， 两式相减得：， ，由得：， 依题意，对一切，都成立， 当n为正奇数时，，而数列是递增数列，当时，，则， 当n为正偶数时，，解得，因此，， 所以实数的最小值. 递推关系间隔型 当递推式为型时，往往再构造的关系，两式作差（商）转化为的关系，进而求出奇数项、偶数项的递推关系。 例4（2024全国联考信息卷））设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由与的关系，可求得，进而求出与的值，当时，可得两个等差数列的通项公式，由相邻两项间的大小关系，即可求得的取值范围. 【详解】法一：因为，当时，，两式相减得，则，两式相减得． 当时，，则；当时，，则． 则． 要使对恒成立，则即解得， 所以的取值范围为. 法二：，当时，， 两式相减得，则， 两式相减得，所以数列都是以2为公差的递增数列， 要使对恒成立，只需而， 则解得, 所以的取值范围为. 故答案为： 【类题演练1】已知数列满足：，当时，， （1）求，数列的通项公式； （2）记，求证． 【解答】（1）解：当时，，， 当时，，， ， ． 当时，， 当时上式也成立， ． ． 综上可得：； （2）证明：， 当为偶数时，， 当为奇数时，， ， ． ． 通项三角函数型 当数列的通项公式含有三角函数时，我们可以先判断三角函数部分的最小正周期，然后以此为依据对n的不同取值分类讨论。 例5已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （2） 根据（1）求得，注意到的最小正周期是4，故按分类讨论，进而求得答案。 【解答】（1）当时，，整理得，又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则 （2）当时， 当时，， 当时，， 当时，， 则 【类题演练1】已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，， 累加得， 所以. （2）因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以数列是以3为周期的数列. 故. 【类题演练2】（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据裂项相消法，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】， 前项和为 ， 可得为递增数列，且有取得最小值；且， 当为偶数时，对任意正整数恒成立，即为对任意正整数恒成立， 由，可得① 当为奇数时，对任意正整数恒成立， 即为对任意正整数恒成立， 由， 可得，即② 由①②解得．故选：A 2．（多选）（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（       ） A．的最大值为1 B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D． 【答案】ABD 【详解】对于A：当n=2时，有，若时，由基本不等式可得：（时取等号），所以；若中有一个为0或负值时，；若时，不可能成立；故的最大值为1.故A正确； 对于B：数列中，， 当n为奇数时，有，所以数列是等差数列，故B正确； 对于C：当n为偶数时，有，只有时，数列是等差数列，否则数列不是等差数列，故C不正确； 对于D：. 故D正确. 故选：ABD 3．（多选）（2024甘肃省临洮中学上学期第三次质量检测）已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 【答案】BD 【分析】根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误. 【详解】由题设可得， 因为，，故， 所以，所以， 所以，因为，故， 所以，所以为等比数列， 所以即，故，故A错，C错. 又，故， 所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确. ， ， 故的最小正整数n的值为15，故D正确. 故选：BD. 4．（2024上海复旦大学附中检测）数学试题）数列满足，则数列的第2023项为 . 【答案】/ 【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解. 【详解】由已知可得， 所以数列为周期数列，且， 所以， 故答案为： 5.已知数列满足，，，则数列的前20项和为 . 【答案】330 【分析】分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可. 【详解】由题意，当为奇数时，， 所以数列是公差为，首项为的等差数列， 所以， 当为偶数时，， 所以数列是公差为，首项为的等差数列， 所以， =330 6．（2024河南二十校调研）已知为数列的前项和，，则 ；令，数列的前项和为，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】（1）由与的关系求出，注意验证； （2）由求出，再分n为奇数和偶数用裂项相消分别求出，根据存在，使得，求出m即可. 【详解】由得，当时，，所以； 当时，， 所以，又， 所以， 又， 所以. 所以当时，，当时，，当为偶数时，，显然，（为偶数）单调递减， 所以； 当为奇数时，若，则，若，则， 显然（为奇数）单调递增， 所以. 综上所述. 故答案为：； 7．（2024届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式； （2）利用分组求和法求数列的前10项和. 【详解】（1）当时，，，， 等比数列的公比为，则有， 由，可得． 当时，． 经检验，当时，满足上式， 所以． （2）， 设的前10项和为， ． 8.（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见解析，． (2)100. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，再求出通项公式. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和法计算即得. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得， 而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列， 通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 ． 9.（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值． 【答案】(1)； (2)40或37． 【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答. （2）由（1）的结论求出，再分奇偶求和作答. 【详解】（1）设的公比为q，由，得，解得， 由，，成等差数列，得，即，解得， 所以数列的通项公式是． （2）由（1）知，，， 当k为偶数时，，令，得； 当k为奇数时，，令，得， 所以或37. 10．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (1)Sn及Sn的最小值； (2)数列{|an|}的前n项和Tn. 【答案】(1)Sn＝（n－4）2－16，最小值为－16 (2) 【详解】解： （1） 设等差数列{an}的公差为d. 由题意，得S3＝3a1＋3d＝－15.由a1＝－7，得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－9， 所以Sn＝n2－8n＝（n－4）2－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. （2） 当1≤n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0， 所以当1≤n≤4时，Tn＝＝－n2＋8n； 当n≥5时，Tn＝16＋＝n2－8n＋32. 综上，Tn＝ 11（2024年广东省广州实验中学校考）已知数列满足，且的前100项和 (1)求的首项； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）分为奇数和为偶数两种情况进而讨论即可求解； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）当为奇数时，； 则偶数项构成以为公差的等差数列， 所以当为偶数时，； 当为偶数时，， 则奇数项构成以1为公差的等差数列， 所以当为奇数时，， 则，又， 所以， 解得，. （2）由（1）得，，，， 当时，， ∴， 综上，知. 学科网（北京）股份有限公司 $$