第二章 轴对称图形（单元检测卷，提优）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第二章 轴对称图形章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：BCD选项中的图形都能找到一条直线，使沿直线折叠之后的两部分互相重合，A选项中的图形找不到这样的直线，能够使折叠之后的两部分互相重合， 故A选项中的图形不是轴对称图形， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称图形的定义，熟知一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 2．如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠DEF＝65°，则∠C′FB是（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 【分析】由折叠的性质得到D′E∥C'F，由平行线的性质得到∠BFE＝∠DEF＝65°，∠FED′+∠EFC′＝180°，求出∠EFC′＝115°，即可得到∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝50°． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝65°， 由折叠的性质得到：D′E∥C'F， ∴∠FED′+∠EFC′＝180°， ∴∠EFC′＝115°， ∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到4×74×AC＝24，然后解一次方程即可． 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴4×74×AC＝24， ∴AC＝5， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，在锐角△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝3，，P为BC上一动点，将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】作AF⊥BC于点F，由S△ABC3AF，求得AF，由AP，求得AP的最小值为，由翻折得AD＝AE＝AP，∠DAB＝∠PAB，∠EAC＝∠PAC，则∠DAE＝2∠BAC＝90°，所以S△ADEAD•AEAP2，当AP取最小值时，S△ADE最小，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AF⊥BC于点F， ∵S△ABCBC•AF，且BC＝3， ∴3AF， ∴AF， ∵AP≥AF， ∴AP， ∴AP的最小值为， 由翻折得AD＝AE＝AP，∠DAB＝∠PAB，∠EAC＝∠PAC， ∴∠PAD＝2∠PAB，∠PAE＝2∠PAC， ∴∠DAE＝∠PAD+∠PAE＝2（∠PAB+∠PAC）＝2∠BAC＝2×45°＝90°， ∴S△ADEAD•AEAP2， ∴当AP取最小值时，S△ADE最小， 故选：C． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、三角形的面积公式、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在AB、AC上，点A沿MN折叠后与点O重合，则∠ONC是（　　） A．12° B．14° C．16° D．18° 【分析】连接OA、OC，由AB＝BC，BO是∠ABC的平分线，得∠OBA＝∠OBC∠ABC＝42°，BO垂直平分AC，则OA＝OC，由OD垂直平分BC，得OB＝OC，则∠OCB＝∠OBC＝42°，可求得∠ACB＝∠CAB＝48°，则∠OAC＝∠OCA＝6°，所以∠AON＝∠OAC＝6°，则∠ONC＝12°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA、OC， ∵AB＝BC，∠ABC＝84°，BO是∠ABC的平分线， ∴∠OBA＝∠OBC∠ABC84°＝42°，直线BO垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∵OD垂直平分BC， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝42°， ∵∠ACB＝∠CAB（180°﹣84°）＝48°， ∴∠OAC＝∠OCA＝48°﹣42°＝6°， 由折叠得ON＝AN， ∴∠AON＝∠OAC＝6°， ∴∠ONC＝∠AON+∠OAC＝6°+6°＝12°， 故选：A． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 6．在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠2＝20°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【分析】连接CC′，由折叠知，∠ECF＝∠EC′F，可证∠1+∠2＝∠EC′F+∠ECF＝2∠ECF，求得∠ECF＝180°﹣65°﹣75°＝40°，进而求得∠1＝60°． 【解答】解：如图，连接CC′，由折叠知，∠ECF＝∠EC′F， ∵∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠2＝∠ECC′+∠EC′C， ∴∠1+∠2＝∠FC′C+∠FCC′+∠EC′C+∠ECC′＝∠EC′F+∠ECF＝2∠ECF． ∵∠A＝65°，∠B＝75°． ∴∠ECF＝180°﹣65°﹣75°＝40°． ∴∠1+∠2＝80°． ∴∠1＝80°﹣20°＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查折叠的性质、三角形外角的性质、内角和定理；由折叠得到角相等是解题的关键． 7．如图在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E'，BE′与AC边相交于D点，恰好BE′是∠ABC的角平分线，若CE＝1，则BD的长为（　　） A．1.5 B． C．2 D． 【分析】如图，延长CE′和BA相交于点F，根据翻折的性质可以证明△BE′C≌△BE′F，可得CF＝2，再证明△FCA≌△DBA，可得BD＝CF＝2． 【解答】解：如图，延长CE′和BA相交于点F， 由翻折可知： ∠BE′C＝∠E＝90°，CE′＝CE＝1， ∵BE′是∠ABC的角平分线， ∴∠CBE′＝∠FBE′， ∵BE′＝BE′， ∴△BE′C≌△BE′F（ASA）， ∴E′F＝CE′＝1， ∴CF＝2， ∵∠FCA+∠F＝90°， ∠DBA+∠F＝90°， ∴∠FCA＝∠DBA， ∵∠FAC＝∠DAB＝90°， AB＝AC， ∴△FCA≌△DBA（ASA）， ∴BD＝CF＝2． 故选：C． 【点评】此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE＝∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB． 【解答】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∵∠AED＝∠MEF， ∴∠DAE＝∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC∠BAC， ∠DAE＝90°﹣∠AED ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ＝90°﹣（∠ACE∠BAC）， （180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）， （∠ABD﹣∠ACE）， 即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE， 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D′，C′，线段D′C′交线段BC于点G，若∠DEF＝53°，则∠FGC′的度数是 　16°　． 【分析】由折叠性质可知：∠DEF＝∠D′EF＝53°，∠EFC＝∠EFC′，再根据AD∥BC得∠DEF＝∠GFE＝53°，再根据角度和差即可求解． 【解答】解：由折叠性质可知：∠DEF＝∠D′EF＝53°，∠EFC＝∠EFC′， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE＝53°， ∴∠EFC＝∠EFC′＝180°﹣∠GFE＝180°﹣53°＝127°， ∴∠GFC′＝∠EFC′﹣∠GFE＝127°﹣53°＝74°， ∴∠FGC′＝90°﹣∠GFC′＝90°﹣74°＝16°， 故答案为：16°． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠和平行线的性质． 10．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　3cm　． 【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm． 【解答】解：过P作PN⊥OB于N， 由题意得：PM＝PN， ∵PM⊥OA， ∴PO平分∠AOB， ∴∠COP＝∠NOP， ∵PC∥OB， ∴∠CPO＝∠NOP， ∴∠COP＝∠CPO， ∴OC＝PC， ∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴PC＝5﹣2＝3（cm）， ∴OC的长度是3cm． 故答案为：3cm． 【点评】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明PO平分∠AOB． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF是直角三角形，则∠ACD＝　25°或5°　． 【分析】先求出∠A＝40°，∠B＝50°，再根据折叠的性质可得∠E＝∠A＝40°，∠ACD＝∠ECD，然后分两种情况讨论：当∠DFE＝90°时，当∠EDF＝90°时，结合三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°， ∴∠A＝40°，∠B＝50°， 由折叠的性质得：∠E＝∠A＝40°，∠ACD＝∠ECD， 当∠DFE＝90°时，则∠CFB＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣∠B＝40°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCF＝50°， ∴； 当∠EDF＝90°时， ∵∠E＝40°， ∴∠CFB＝∠DFE＝50°， ∴∠BCF＝180°﹣∠CFB﹣∠B＝80°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCF＝10°， ∴； 综上所述，∠ACD度数为25°或5°． 故答案为：25°或5°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，将△ADE沿着DE折叠，得到△A′DE，若A′D∥BC，则∠AED的度数是 　33或123　°． 【分析】分两种情况讨论，一是A′D∥BC，且点A′在直线AB的上方，设A′E交AB于点F，由∠C＝90°，∠A′＝∠A＝24°，∠A′DB＝∠B，得∠AFE＝∠A′+∠A′DB＝∠A+∠B＝90°，求得∠AEF＝66°，则∠AED∠AEF＝33°；二是A′D∥BC，且点A′在直线AB的下方，求得∠ADA′＝∠B＝90°﹣∠A＝66°，则∠ADE∠ADA′＝33°，所以∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝123°，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，A′D∥BC，且点A′在直线AB的上方，设A′E交AB于点F， ∵∠C＝90°，∠A′＝∠A＝24°，∠A′DB＝∠B， ∴∠AFE＝∠A′+∠A′DB＝∠A+∠B＝90°， ∴∠AEF＝90°﹣∠A＝66°， 由折叠得∠AED＝∠A′ED， ∴∠AED∠AEF＝33°； 如图2，A′D∥BC，且点A′在直线AB的下方， ∵∠ADA′＝∠B＝90°﹣∠A＝66°，∠ADE＝∠A′DE， ∴∠ADE∠ADA′＝33°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣24°﹣33°＝123°， 综上所述，∠AED的度数是33°或123°， 故答案为：33或123． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、平行线的性质、轴对称的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 13．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 　52　度． 【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，判定AD为∠EAC的平分线，CD为∠ACF的平分线，即可得出∠DAC的度数． 【解答】解：如图，延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点， 又∵BD是∠ABC的平分线， ∴DE＝DF， 又∵∠BAD+∠CAD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠CAD＝∠EAD， ∴AD为∠EAC的平分线， ∴DE＝DG， ∴DG＝DF． ∴CD为∠ACF的平分线， ∵∠DCB＝117°， ∴∠DCF＝63°， ∴∠ACF＝126°， ∴∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝126°﹣50°＝76°， ∴∠CAE＝104°， ∴∠CAD104°＝52°， 故答案为：52． 【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等． 14．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，∠DBC＝45°，把△CBD沿BD折叠得到△EBD，使DE∥AB．若∠FAB为△ABC的外角，且∠FAB＝7∠EBA，则∠C＝　18　°． 【分析】由折叠得∠DBE＝∠DBC＝45°，∠E＝∠C，由DE∥AB，得∠E＝∠EBA，则∠C＝∠EBA，所以∠FAB＝7∠EBA＝7∠C，则7∠C＝∠C+45°+45°+∠C，求得∠C＝18°，于是得到问题的答案． 【解答】解：由折叠得∠DBE＝∠DBC＝45°，∠E＝∠C， ∵DE∥AB， ∴∠E＝∠EBA， ∴∠C＝∠EBA， ∵∠FAB＝∠ABC+∠C＝∠EBA+∠DBE+∠DBC+∠C，且∠FAB＝7∠EBA＝7∠C， ∴7∠C＝∠C+45°+45°+∠C， ∴∠C＝18°， 故答案为：18． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠C＝∠EBA是解题的关键． 15．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2＝　90　°，△OP1P2的面积最小值为 　8　． 【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小． 【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H． ∵S△OMN•MN•OH＝12，MN＝6， ∴OH＝4， ∵点P关于OA的对称点为P1，点P关于OB的对称点为P2， ∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2 ∵∠AOB＝45°， ∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°， ∴△OP1P2是等腰直角三角形， ∴OP＝OH最小时，△OP1P2的面积最小， 根据垂线段最短可知，OP的最小值为4， ∴△OP1P2的面积的最小值4×4＝8． 故答案为：90；8． 【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型． 16．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 　96°　． 【分析】由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【解答】解：设∠C′＝α，∠B′＝β， ∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'， ∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′， ∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′＝β，∠BAE＝∠B′AE＝42°， ∴∠C′DB＝∠BAC′+AC′D＝42°+α，∠CEB′＝42°+β． ∵C′D∥BC，EB′∥BC， ∴∠ABC＝∠C′DB＝42°+α，∠ACB＝∠CEB′＝42°+β， ∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，即126°+α+β＝180°． 则α+β＝54°． ∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE， ∴∠BFC＝42°+α+β＝42°+54°＝96°． 故答案为：96°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 17．如图1，将一张直角三角形纸片ABC（已知∠ACB＝90°，AC＞BC）折叠，使得点A落在点B处，折痕为DE．将纸片展平后，再沿着CD将纸片按着如图2方式折叠，BD边交AC于点F．若△ADF是等腰三角形，则∠A的度数可能是 　或36°　． 【分析】由翻折可得AD＝BD＝B′D，∠BDC＝∠B′DC，所以∠BDB′＝4∠A，所以∠ADF＝180°﹣4∠A，∠AFD＝∠DCF+∠CDF＝3∠A，若∠ADF是等腰三角形，有三种情况：①当AD＝AF时，∠ADF＝∠AFD，②当AD＝DF时，∠AFD＝∠A，③当DF＝AF时，∠ADF＝∠A，然后分别列式计算即可解决问题． 【解答】解：由翻折可知：AD＝BD＝B′D，∠BDC＝∠B′DC， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝B′D， ∴∠DCA＝∠A， ∴∠B′DC＝∠BDC＝2∠A， ∴∠BDB′＝4∠A， ∴∠ADF＝180°﹣4∠A，∠AFD＝∠DCF+∠CDF＝3∠A， 若∠ADF是等腰三角形，有三种情况： ①当AD＝AF时，∠ADF＝∠AFD， ∴180°﹣4∠A＝3∠A， 解得∠A； ②当AD＝DF时，∠AFD＝∠A， ∴3∠A＝∠A， ∴∠A＝0°（不符合题意舍去）； ③当DF＝AF时，∠ADF＝∠A， ∴180°﹣4∠A＝∠A， 解得∠A＝36°． 综上所述：∠A的度数可能是或36°． 故答案为：或36°． 【点评】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 18．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是　6　． 【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E共线时，DE的值最大． 【解答】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE． 由题意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2， ∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC， ∵∠DCE＝120°， ∴∠ACD+∠BCE＝60°， ∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN， ∴∠ACM+∠BCN＝120°， ∴∠MCN＝60°， ∵CM＝CN＝2， ∴△CMN是等边三角形， ∴MN＝2， ∵DE≤DM+MN+EN， ∴DE≤6， ∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）已知等腰三角形的两边a，b，满足|a﹣b﹣2|+（2a﹣3b﹣1）2＝0，求此等腰三角形的周长． 【分析】根据绝对值、平方数等非负数的性质列二元一次方程求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论． 【解答】解：根据题意，， 解得， （1）当5为腰长时，三角形三边长为5、5、3，能组成三角形， 周长为：5+5+3＝13； （2）当5为底边时，三角形三边长为5、3、3，能组成三角形， 周长为：5+3+3＝11． 故等腰三角形的周长是13或11． 【点评】本题主要考查非负数的性质，等腰三角形的性质，解二元一次方程组，三角形三边关系等知识，要注意分情况讨论是正确解答本题的关键． 20．（6分）已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答； （3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算． 【解答】解：（1）所作图形如图所示； （2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）； （3）S△ABC＝3×42×34×12×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5． 【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法． 21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形； （3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值． 【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 22．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°． （1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF； （2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数． 【分析】（1）证明△BCD≌△CBE（SAS），得出∠FBC＝∠FCB，根据等腰三角形判定即可得出答案； （2）先求出，由（1）得出∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135﹣2x，分三种情况：①当BD＝BF时，②当BD＝DF时，③当BF＝DF时，求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△BCD与△CBE中 ， ∴△BCD≌△CBE（SAS）， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴BF＝CF； （2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴， 由（1）知，∠FBC＝∠FCB， ∴∠DBF＝∠ECF， 设∠FBD＝∠ECF＝x， 则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°， ∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x， ∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论： ①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB， ∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°， 即∠FBD＝30°； ②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB， ∴x＝135°﹣2x，得x＝45°， 即∠FBD＝45°； ③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB， ∴x＝x+45°，不符题意，舍去； 综上所述，∠FBD＝30°或45°． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． 23．（8分）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC∠ABC∠ABC∠BAC，即可得到结论． 【解答】解：（1）①∵AD∥BE， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD； ②∵AD∥BE， ∴∠ADC＝∠DCE， 由①知AB＝AD， 又∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴CD平分∠ACE； （2）∠BDC∠BAC， ∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE， ∴∠BDC∠ABC∠ACE， ∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE， ∴∠BDC∠ABC∠ABC∠BAC， ∴∠BDC∠BAC． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（8分）如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：∠CAD＝∠ACD； （2）延长AD，与BC交于点F，若AC＝AB， ①求证：F是BC的中点； ②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是 　EFBC　． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； （2）①证明△ACD≌△ABD（SAS），得∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形三线合一性质即可解决问题； ②证明△ABE是等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵l是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵DB＝DC， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠ACD； （2）①证明：延长AD，与BC交于点F， ∵AC＝AB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠ABD， 在△ACD和△ABD中， ， ∴△ACD≌△ABD（SAS）， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AC＝AB， ∴F是BC的中点； ②解：EFBC，理由如下： 如图，连接EF， ∵BD＝CD，BD⊥CD， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵BD＝CD，BF＝CF， ∴DF⊥BC， ∴△DFC是等腰直角三角形， ∴∠CDF＝∠DCB＝45°， ∴∠CAD+∠ACD＝∠CDF＝45°， ∵∠CAD＝∠ACD＝∠BAD＝∠DBA， ∴∠CAD+∠BAD＝45°， ∴∠EAB＝45°， ∵EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA＝45°， ∴∠AEB＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点， ∴EFBC． 故答案为：EFBC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握垂直平分线的性质． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）cm　（用t的代数式表示） （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，出发 　11秒或12　秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP； （2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）cm； （2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 26．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE． （1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数； （2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数； （3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论； （3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°， ∴∠BAC＝110°， ∵∠BAD＝80°， ∴∠DAE＝30°， ∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°； （2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°， ∴∠E＝75°﹣18°＝57°， ∴∠ADE＝∠AED＝57°， ∴∠ADC＝39°， ∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°， ∴∠BAD＝36°； （3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β ①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α， ∴， （1）﹣（2）得2α﹣β＝0， ∴2α＝β； ②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α， ∴， （2）﹣（1）得α＝β﹣α， ∴2α＝β； ③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α， ∴， （2）﹣（1）得2α﹣β＝0， ∴2α＝β． 综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 轴对称图形章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠DEF＝65°，则∠C′FB是（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 4．如图，在锐角△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝3，，P为BC上一动点，将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 5．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在AB、AC上，点A沿MN折叠后与点O重合，则∠ONC是（　　） A．12° B．14° C．16° D．18° 6．在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠2＝20°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 7．如图在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E'，BE′与AC边相交于D点，恰好BE′是∠ABC的角平分线，若CE＝1，则BD的长为（　　） A．1.5 B． C．2 D． 8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D′，C′，线段D′C′交线段BC于点G，若∠DEF＝53°，则∠FGC′的度数是 　 　． 10．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　 　． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF是直角三角形，则∠ACD＝　 　． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，将△ADE沿着DE折叠，得到△A′DE，若A′D∥BC，则∠AED的度数是 　 　°． 13．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 　 　度． 14．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，∠DBC＝45°，把△CBD沿BD折叠得到△EBD，使DE∥AB．若∠FAB为△ABC的外角，且∠FAB＝7∠EBA，则∠C＝　 　°． 15．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2＝　 　°，△OP1P2的面积最小值为 　 　． 16．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 　 　． 17．如图1，将一张直角三角形纸片ABC（已知∠ACB＝90°，AC＞BC）折叠，使得点A落在点B处，折痕为DE．将纸片展平后，再沿着CD将纸片按着如图2方式折叠，BD边交AC于点F．若△ADF是等腰三角形，则∠A的度数可能是 　 　． 18．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）已知等腰三角形的两边a，b，满足|a﹣b﹣2|+（2a﹣3b﹣1）2＝0，求此等腰三角形的周长． 20．（6分）已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 22．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°． （1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF； （2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数． 23．（8分）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 24．（8分）如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：∠CAD＝∠ACD； （2）延长AD，与BC交于点F，若AC＝AB， ①求证：F是BC的中点； ②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是 　 　． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　 　（用t的代数式表示） （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，出发 　 　秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 26．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE． （1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数； （2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数； （3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$