第07讲 圆与圆的位置关系（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第07讲 圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1 了解圆与圆的五种位置关系； 2 能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系； 3 能够用圆与圆的位置关系，解决其他问题． 1. 掌握圆与圆的位置关系的判断方法； 2. 掌握圆的公共弦、公切线问题； 3. 通过圆与圆位置关系及判定方法学习，达成直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养． 知识点一、圆与圆的位置关系的判定 几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点二、圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 题型01 圆与圆的位置关系 1.已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 2.若圆与圆外切，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 4.（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 5.圆与圆外切，则实数 . 6．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 题型02 圆的公共弦 1.已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（    ） A．0 B．±1 C．±2 D． 2.（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 3.（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 4.（多选）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 5．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 题型03 圆的公切线 1.若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 4.曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 6．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 题型04 圆与圆的位置关系综合 1．已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 2．已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.已知圆C：与曲线有交点，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线的方程为 B．圆和圆共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10 D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为 7．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 8.已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标． 1．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 2.两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 5.（多选）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 6．（多选）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 7．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 8．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则 9.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 10．已知圆满足：①；②与圆外切；③被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，求直线的方程. 11.已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4）. (1)若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程； (2)若圆O2过点C（4，0），圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1 了解圆与圆的五种位置关系； 2 能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系； 3 能够用圆与圆的位置关系，解决其他问题． 1. 掌握圆与圆的位置关系的判断方法； 2. 掌握圆的公共弦、公切线问题； 3. 通过圆与圆位置关系及判定方法学习，达成直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养． 知识点一、圆与圆的位置关系的判定 几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点二、圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 题型01 圆与圆的位置关系 1.已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 2.若圆与圆外切，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由圆与圆知， 圆心分别为，半径为1，， 因为两圆外切， 所以，解得. 故选：C 3.已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切. 故选：D 4.（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 5.圆与圆外切，则实数 . 【答案】±4 【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 6．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 【答案】或 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 题型02 圆的公共弦 1.已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（    ） A．0 B．±1 C．±2 D． 【答案】C 【详解】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为， ，因为，所以， 所以，解得. 故选：C 2.（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 3.（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【详解】对于A，圆的标准方程为，所以半径，故A正确； 对于B，将点代入圆的标准方程中得， 所以点在圆的外部，故B错误； 对于C，由两圆方程相减得， 则公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以两圆与的圆心距为，小于两圆半径之和且大于两圆半径只差，即，故两圆相交，故D正确. 故选：ACD. 4.（多选）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 【答案】BD 【详解】由题意可得弦所在的直线方程为， 因为圆，圆心， 圆，圆心， 设圆心与圆心到直线的距离分别为， 因为，即， 所以，又， 即，化简可得， 即，解得或. 故选：BD 5．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】AD 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 可得，即，可知两圆相交. 对于选项A：两圆的公共弦所在的直线方程为：，即，故A正确； 对于选项B：因为圆心到直线的距离， 且圆半径为2，可知圆与直线相交，而垂直且到距离为， 由知轴与圆相切，故是圆被所截劣弧上唯一到距离为1的点； 过作直线的平行线，则和轴是平面上到距离为1的所有点的集合， 而和圆相交于点和点；如下图示， 所以共3点符合题意，故B错误； 对于选项C：直线与轴交于点，交两圆于S，T， 在中，则，可得，即， 可得弓形TOS的周长为，故所求公共部分周长为，故C错误； 对于选项D：由圆的性质可知：当M，N和两圆圆心共线，且在两圆心的两侧时，最大， 所以最大值为圆心距和两个半径的和，故D正确． 故选：AD． 题型03 圆的公切线 1.若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 2．已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 3．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切， 所以，即，所以点的轨迹为圆， 对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合； 对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合； 对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合； 对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合； 故选：D. 4.曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 5．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【详解】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 6．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 因为有3条公切线，则两圆外切，则， 即 根据基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 题型04 圆与圆的位置关系综合 1．已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】设，，，若， 则， 即，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 由条件可知，圆与圆有交点， 则，解得：， 所以的最大值为. 故选：B 2．已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 3.已知圆C：与曲线有交点，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由，整理得到， 圆C可化为标准方程C：， 由题意可得圆与圆C：有交点， 又因为的圆心为，半径为，圆C的圆心为，半径为， 所以， 解得，所以a得最小值为1． 故选：A． 4．若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 5．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的圆心为， 圆的圆心为， 因为直线为圆的切线，所以，， 又因为，所以， 可得，又， 所以，且平分， 所以， 则， 则最小值即的最小值， 即圆心到的距离， 所以， 所以的最小值为， 故选：B. 6.（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线的方程为 B．圆和圆共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10 D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为 【答案】ACD 【详解】由题意得，圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 对于A，直线的方程为，即，所以A正确； 对于B，因为且，可得， 所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误； 对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确； 对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小， 此时圆的面积为，所以D正确． 故选：ACD. 7．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 【答案】2 【详解】由题意设， 易知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于，小于， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故答案为：2 8.已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标． 【答案】(1). (2)直线是否恒过定点，定点坐标为. 【详解】（1）由圆的方程可得圆心的坐标为，则 ，即，即过点的圆的切线方程为，即. （2）设，则过两点且以为圆心的圆的方程为，又圆， 两式作差可得：， 此方程变形可得 ，令 ，可得， 即直线恒过定点. 1．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 2.两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 4.（多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 【答案】BD 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，过点的圆的切线长， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD    5.（多选）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 【答案】BC 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B，圆与圆交于两点， 因为圆和圆相交，将两圆相减可得：， 即公共弦所在直线的方程为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确； 对于D，直线经过圆的圆心， 所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误. 故选：BC. 6．（多选）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 7．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】AD 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 8．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则 【答案】AD 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，故A正确； 当时，圆，则， 此时，即两圆相交， 则公共弦方程为，整理可得，故B错误； 若圆与圆无公共点，则或， 即可得或，解得或，故C错误； 若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆相内切，则，即，解得，故D正确. 故选：AD 9.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上， 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直， 由、可得：的中点，即， 由，得，故的方程为即； （2）因为与圆M：相切，故圆心，， 圆的圆心坐标为，半径， 则要想圆M与圆有公共点，则两圆外切、相交或内切， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值， 即，故，解得． 10．已知圆满足：①；②与圆外切；③被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）如图所示，与圆交于，过作垂直于于点． 由于，配方得， 则圆心为，半径．，圆心为，半径． 由于圆与圆外切，则（∗）． 圆被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. 则， 则（∗∗），与（∗）联立方程，解得（）. 因此，则圆的方程为：． （2） 直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，则，. 则，则直线设为：，即. 四边形为平行四边形,则． 过作于 点，由垂径定理得， 则， 运用点到直线的距离公式得到，则，解得， 则直线的方程为：，即或. 11.已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4）. (1)若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程； (2)若圆O2过点C（4，0），圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程． 【答案】(1)x2＋y2＝16 (2) 【详解】 解：（1） 由已知得圆O1的圆心坐标为（4，4），∵ 圆O2与圆O1相切于点（2，2），∴ 圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设其圆心为（a，a）.∵ 圆O2过点（2，2），（0，－4），∴ a2＋（a＋4）2＝2（a－2）2，∴ a＝0，∴ a2＋（a＋4）2＝16，∴ 圆O2的方程为x2＋y2＝16. （2） ∵ 圆O2过点（0，－4），（4，0），∴ 圆O2的圆心所在的直线为y＝－x，不妨设圆心坐标为O2（m，－m）.∵ 两圆在交点处的切线相互垂直，且圆O1的圆心坐标为（4，4），半径为4，∴ （m－4）2＋（－m－4）2＝42＋m2＋（－m＋4）2，∴ m＝－4，∴ 圆O2的方程为（x＋4）2＋（y－4）2＝80，圆O1与圆O2的方程相减，整理得直线MN的方程为x＋（3－2）y－12（－1）＝0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$