专题02 一元二次方程（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的解的估算 【解惑】根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： →→→→ 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 2．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 3．探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 类型二、变形求值 【解惑】若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【融会贯通】 1．若是方程的一个解，则的值是（    ） A．2023 B． C．2022 D． 2．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 3．已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 类型三、整体换根 【解惑】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【融会贯通】 1．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．或 B．或1 C．1或3 D．或 2．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 3．已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 类型四、降次求值 【解惑】若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【融会贯通】 1．已知m是方程的根，则式子 的值为（    ） A．2015 B．2014 C．2013 D．2012 2．已知a是方程的一个根，则 ． 3．若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 类型五、根据一元二次方程根的情况求参 【解惑】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 2．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值和另一根． 类型六、一元二次方程的根与系数关系 【解惑】若m，n为方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 2．（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 类型七、解一元二次方程——十字相乘法 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 2．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 3．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 类型八、解一元二次方程——换元法 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解方程 2．若实数，满足，求的值． 3．如果，请你求出的值． 【一览众山小】 1．已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．方程的解为（   ） A． B．或 C． D．或 4．已知是方程的根，则代数式的值为 . 5．设是方程的两个实根，则代数式的值为 ． 6．若方程的两根为，则方程的两根为 ． 7．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 8．阅读下列材料，完成相应任务． 材料一  十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二  若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的解的估算 【解惑】根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出的解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 【融会贯通】 1．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： →→→→ 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格得，当时，，即，从而可以判断时的大致范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据表格得，当时，， 即， ∴方程的正数解的大致范围为， 故选：． 2．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 3．探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 类型二、变形求值 【解惑】若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．若是方程的一个解，则的值是（    ） A．2023 B． C．2022 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值． 先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ ． 故选：B． 2．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算即可 【详解】解：把代入方程，得， ∴， ∴ 故答案为：26 3．已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的概念、代数式的变形、整体代入的数学思想方法等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键. 由m是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以m得：， ∴，， ∴. 故答案为：. 类型三、整体换根 【解惑】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 【融会贯通】 1．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．或 B．或1 C．1或3 D．或 【答案】D 【分析】本题考查方程的解． 把方程中的看成整体，根据关于x的方程的解可得或，求解即可． 【详解】∵关于x的方程的解是，， ∴方程变形为， 此方程的中或， 解得，， ∴方程的解为：，． 故选：D 2．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为； 令， 关于的一元二次方程化为， 的解为， 的解为，即或， ， 关于的一元二次方程的解是， 故答案为：． 3．已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【详解】∵关于的方程的解是 ，， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键． 类型四、降次求值 【解惑】若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知m是方程的根，则式子 的值为（    ） A．2015 B．2014 C．2013 D．2012 【答案】A 【分析】由题意，得到，然后整理化简，进行降次，然后计算，即可求出答案． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ； 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入法进行解题． 2．已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，由题意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， 把代入得，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 3．若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 类型五、根据一元二次方程根的情况求参 【解惑】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得：，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，则：， ∴； 故选B． 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，则，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知： ∴，且． 故选：D． 2．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 整理，得， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值和另一根． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可； （2）将代入求出m的值，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ． ． （2）是这个方程的一个根， ． ． 原方程为． 解得，， 即方程的另一根是． 类型六、一元二次方程的根与系数关系 【解惑】若m，n为方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：m为方程的实数根， ∴， 即， ∴， ∵m，n为方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 2042 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用． （1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论． （2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴． 故答案为：． （2）∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2042． 3．设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； （）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式； （2）∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式． 类型七、解一元二次方程——十字相乘法 【解惑】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． 对方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：， 对方程左边进行因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 【融会贯通】 1．已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； （2）解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 2．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 3．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 类型八、解一元二次方程——换元法 【解惑】解方程：． 【答案】x1=x2=2 【分析】利用换元法解方程的方法可以解答本题． 【详解】解：， ， 设 于是原方程可变形为， 解得：； ∴， ∴． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确题意，会用换元法解方程． 【融会贯通】 1．解方程 【答案】或 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 2．若实数，满足，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将看成一个整体，转换成一个关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：令，则， 原方程变为，， 即，， 解得：，； 又， ∴． 3．如果，请你求出的值． 【答案】的值为3 【分析】设，然后用因式分解法求解即可，求解时注意. 【详解】设， ∴． 整理得：， ∴． ∴． ∵， ∴ (不合题意，舍去) ∴． 即的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【一览众山小】 1．已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根． 【详解】解：， ∴方程的两根之和， ∴方程的另一根． 故选：D． 2．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．方程的解为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ， ， 或， 解得：． 故选：D． 4．已知是方程的根，则代数式的值为 . 【答案】4046 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：4046． 5．设是方程的两个实根，则代数式的值为 ． 【答案】74 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：74． 6．若方程的两根为，则方程的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． 利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ，即， 方程的两根为， ， ，． 故答案为：，． 7．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 8．阅读下列材料，完成相应任务． 材料一  十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二  若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 由①知， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$