精品解析：湖北省部分普通高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023—2024学年度下学期湖北省部分普通高中联盟期中考试 高二数学试题 考试时间：2024年4月19日下午14：30—16：30 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导公式分别求出各个选项的导数，即可得出答案． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，是常数，导数为0，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：C． 2. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知本题需要分步计数， 2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）． 故选：C． 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义求解 【详解】，则 故选：D 4. 有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先分析甲，由于同学甲只能在周一值日，那么甲有1种安排方法，进而将剩余的4名同学全排列，安排在其他4天，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有种. 故选：B 5. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D． 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间． 6. 安排4名志愿者完成三项工作，其中项工作需2人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】先选两人去参加A项工作，余下两人分配给B，C即可. 【详解】依题意，计算不同的安排方式需两步，先从4人中选两人去参加A项工作有种，再分配余下两人去参加B，C工作有种， 由分步乘法计数原理得， 所以不同的安排方式共有12种. 故选：B 7. 已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出． 【详解】令，可得展开式所有项的系数之和，得， 所以， 其通项，令，得，所以展开式中常数项为． 故选：A． 8. 若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围； 法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围； 【详解】法一：由题意，，对于， 当，即时，，在上单调递增， 所以，即，因此； 当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，， 不妨设，则上，上，上， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由此，，. 由，则，同理可得， 所以，，则，解得，与矛盾. 综上，. 法二：由题意得：，. 当时，，即， 所以； ，又，，即， 所以. 综上，，即，得. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的部分分． 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为， 当时，，，恒成立； 可作出图象如下图所示， 对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确； 对于B，不是的最小值，B错误； 对于C，在处取得极小值，C正确； 对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误. 故选：AC. 10. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立. 【详解】对于A：，，所以不恒成立，故A错误； 对于B：在上恒成立，函数递增，故B正确； 对于C：，函数递增，故C正确； 对于D：，所以单调递减，故D错误； 故选：BC 11. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的系数和为1 B. 展开式中二项系数最大项为第1010项 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入即可判断A，计算可判断B，分别令，，代入计算即可判断C，两边求导即可判断D. 【详解】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对； 展开式中第项二项式系数， ，即， 则，∴. 展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错； ， 令，则，令，则， ∴，C对； 对等式两边求导，， ，∴，D对. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，， 所以， 因为 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是. 故答案为： 13. 为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有______种不同的选法． 【答案】16 【解析】 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】若A，B两门课程选1门，不同的选法有种， 若A，B两门课程选2门，不同的选法有种， 所以一共有种不同的选法， 故答案为：16 14. 已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题设得显然有不合题设，知：，根据极大值有求，再将所求代入原函数验证处是否取得极大值. 【详解】由题设，， 当时，，则递增，无极大值，与题设矛盾， ∴，此时，，要使在处取得极大值， ∴，可得或. 当时，，则 当得或，即上递增； 当得，即上递减； ∴为极大值点，符合题设. 当时，，则 当得或，即上递增； 当得，即上递减； ∴为极小值点，不合题设. 综上，. 故答案为：1 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算过程． 15. 某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． （1）每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ （2）每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【答案】（1）70种 （2）150种 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解； （2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解． 【小问1详解】 由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种． 【小问2详解】 分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种， 则符合题意的有； 第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种， 则符合题意的有； 第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种， 则符合题意的有． 故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种． 16. 已知函数，且在点处的切线l与平行. （1）求切线l的方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2），无极大值. 【解析】 【分析】（1）先利用切线l与平行解出，再求出切点的坐标，进而求出切线方程； （2）直接求导确定单调性，进而求出极值 【小问1详解】 函数的定义域为， 由，则， 因为在点处的切线l与平行， 所以，即，解得， 所以，所以， 所以在点处的切线的方程为， 即； 【小问2详解】 ，得，， 由得；由得； 所以函数在上单调递减，在上递增； 故，无极大值. 17. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． （1）有女生但人数必须少于男生； （2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； （3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 【答案】（1）5400种 （2）3360种 （3）360种 【解析】 【分析】（1）先选后排，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可； （2）先选后排，先安排该男生，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）根据分步乘法计数原理计算即可． 【小问1详解】 先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种， 共（种）． 【小问2详解】 先选后排，但先安排该男生，有（种）． 【小问3详解】 先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）． 18. 已知函数在处有极值. （1）求、的值； （2）求出的单调区间，并求极值. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，即可解得实数、的值； （2）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间，由此可得出函数的极值. 【小问1详解】 解：因为，该函数的定义域为，， 则，解得，此时，， 经检验，，合乎题意. 因此，，. 【小问2详解】 解：因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的递减区间为，递增区间为， 函数极小值为，无极大值. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）当时，函数 在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，函数没有零点； 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【解析】 【分析】（1）对函数，求导得出， 对进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性. （2）由题意可知，函数的零点个数转化为函数与 图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 令，得. 令，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以； 当时，， 当时，，所以， 所以函数的图象如图所示，由图可得， 当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点； 当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点； 当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期湖北省部分普通高中联盟期中考试 高二数学试题 考试时间：2024年4月19日下午14：30—16：30 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列求导不正确是（ ） A B. C. D. 2. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 120种 5. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 安排4名志愿者完成三项工作，其中项工作需2人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 7. 已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的部分分． 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 10. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的系数和为1 B. 展开式中二项系数最大项为第1010项 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是________． 13. 为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有______种不同的选法． 14. 已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算过程． 15. 某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． （1）每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ （2）每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 16. 已知函数，且在点处的切线l与平行. （1）求切线l的方程； （2）求函数的极值. 17. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． （1）有女生但人数必须少于男生； （2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； （3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 18. 已知函数在处有极值. （1）求、的值； （2）求出的单调区间，并求极值. 19 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）讨论函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$