1.4.1 充分条件与必要条件-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 1 章 集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件 人教A版2019必修第一册 1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性. 2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判断方法. 3.掌握证明充要条件的一般方法. 教学目标 情境引入 01 情景导入 著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者,英国剑桥大学数学讲师卡洛尔曾提出如下趣题:如果已经知道以下信息:①室内所有有日期的信都是用蓝纸写的;②玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;③除了查理以外没有人用黑墨水写信;④我可以看到的信都没有收藏起来;⑤只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期;⑥未作记号的信都是用黑墨水写的;⑦用蓝纸写的信都收藏起来了;⑧一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;⑨以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的. 请判断:我是否可以看玛丽的信? 结论是什么呢?学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了. 命题 02 概念讲解 命题 用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题 定义 常见命题的形式：若 p，则 q p称为命题的条件，q称为命题的结论 概念辨析 判断下列语句是不是命题，并判断真假 （1）他太帅了！ （2）正方形的四条边相等。 （3）x>3 （4）若x2-4x+3=0，则x=1。 （5）你多大了？ 不是命题 是命题，真命题 不是命题 是命题，假命题 不是命题 充分条件与必要条件 03 概念讲解 思考1：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x2-4x+3=0，则x=1 （4）若平面内两条直线 均垂直于直线l,则a//b。 在命题（1）（4）中，由条件p可以得到结论q，所以它们是真命题。 在命题（2）（3）中，由条件p不能得到结论q，所以它们是假命题。 概念讲解 探究：充分条件与必要条件 若我是河北人，则我是中国人。 条件p：我是河北人 结论q：我是中国人 真命题 即 若我是河北人，则有充分的理由说明我是中国人 我是中国人是我是河北人的必不可少条件 即：我是中国人，是我是河北人的必要条件。 概念讲解 充分条件与必要条件 如果“若p,则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作p⇒q。并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 定义 “p⇒q”的几种不同说法： (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. 概念讲解 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　　q P___q 条件关系 p是q的　　条件 q是p的　　条件 p不是q的　 　条件 q不是p的 　 　条件 充分 必要 充分 必要 概念讲解 例1：下列“若p则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形; （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似; （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若x2=1.则x=1; （5）若a=b.则ac=bc; （6）若x，y为无理数，则xy为无理数。 概念讲解 解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q 所以p是q的充分条件。 （2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q所以p是q的充分条件。 （3）这是一条菱形的性质定理，p⇒q 所以p是q的充分条件。 （4）由于x2=1,则x=±1，p⇏q所以p不是q的充分条件。 （5）由等式的性质知，p⇒q所以p是q的充分条件。 （6）x=，y=为无理数，但 为有理数，p⇒q 所以p不是q 的充分条件。 概念讲解 例1命题（1）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边 形的两组对角分别相等”； 思考：这样的充分条件唯一吗？ ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；等 结论：数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 不唯一 充分性：条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证结论成立的，但不是唯一的．即“有之必成立，无之未必不成立” 概念讲解 例2：下列“ 若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； (4)若x＝1，则x2＝1； (5)若ac＝bc，则a＝b； (6)若xy为无理数，则x，y为无理数． 是 是 不是 是 不是 不是 概念讲解 例2命题（1）中给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边 形的两组对角分别相等”； 思考：这样的充分条件唯一吗？ ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；等 结论：数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 不唯一 必要性：必要就是必须的，必不可少的，但不是唯一的，即“有之未必成立，无之必不成立” 充分与必要条件和集合的关系 04 概念讲解 思考：判断p是q的什么条件 p：x > 1 q：x > 3 q⇒p 因此q是p的充分条件，p是q的必要条件 小范围 大范围 从集合的角度理解 p：x∈A，q：x∈B (1)若A⊆B，则p是q的充分条件 (2)若B⊆A，则p是q的必要条件 概念讲解 例3.已知p：实数x满足，其中； q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数的取值范围． 课堂小结 05 课堂小结 ⇒ 解：由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0， 所以a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤a<0)))). $$