1.4.2 充要条件-2024-2025高一数学同步精品课件（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2　充要条件 授课教师：某某中学数学教研组 某某 2024年某月某日 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温故知新 教学要求 情景导入 新知探究 教材例题 课堂练习 课堂小结 作业布置 课后培优 备选试题 内容索引 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 温故知新 1 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. 中学数学中的许多命题可以写成“若p, 则 q”"如果 p, 那么q" 等形式. p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 温故知新 1 如果“若p, 则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论q, 记作p⇏q. 此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件. 一般地，“若p, 则 q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q. 这时，我们就说，由p 可以推出q, 记作p⇒q, 并且说， p 是 q 的充分条件 (sufficient condition), q 是 p的必要条件 (necessary condition). 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 【课标要求1】 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义. 【课标要求2】 理解数学定义与充要条件的关系. 【素养要求】 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 教学要求 2 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 情景导入 3 在初中我们知道： (1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;(2)平行四边形的两组对边分别平行； (3)两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形;(4)平行四边形的两组对边分别相等； (5)对角线互相平分的四边形叫做平行四边形; (6)平行四边形的对角线互相平分. 你能说出命题(1)与(2)、(3)与(4)、(5)与(6)的条件与结论有什么关系吗？ 提示：命题(1)与(2)、(3)与(4)、(5)与(6)的条件与结论恰好互换了. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 新知探究 4 探究一：逆命题的概念 探究二：充要条件 一 二 探究问题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 探究一：逆命题的概念 提出问题 逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 2 探究一：逆命题的概念 突破问题 1.下列“若p, 则 q” 形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题? (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若 一 元二次方程ax²+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0; ( 4 ) 若AUB 是空集，则A 与 B 均是空集. 提示：上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 3 探究一：逆命题的概念 升华问题 1.两个命题的条件和结论刚好反过来，两个命题就成为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.原命题和逆命题之间的真假关系并不总是对应的，也就是说原命题为真并不意味着其逆命题也为真，同理原命题为假也并不意味着其逆命题为假. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 探究二：充要条件 提出问题 给出以下两个“若p，则q”形式的命题并回答问题： ①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等. ②若m≤0.25，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根. 1.你能判断这两个命题的真假吗？ 2.你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？ 提示：命题①是真命题，②是真命题. 提示：①逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题.②逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根，则m≤0.25，是真命题. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 探究二：充要条件 提出问题 在上述问题1的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？ 提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q)，p是q的充要条件. 充要条件：如果“若p, 则 q” 和它的逆命题“若 q, 则 p” 均是真命题，即既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作p⇔q.此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件 (sufficient and necessary condition), 显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 2 探究二：充要条件 突破问题 1.判定下列说法是否正确，并说明理由. (1)如果原命题“若p，则q”与其逆命题都为真，那么p是q的充要条件. (2)若p是q的充要条件，则p是唯一的. (3)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. (4)“xy>0”是“x>0，y>0”的充要条件. 提示： (1)正确，满足充要条件的定义. (2)错误，p与q等价，但p不一定唯一. (3)正确，满足充要条件的定义. (4)错误，“xy>0”是“x>0，y>0”成立的必要不充分条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 2 探究二：充要条件 突破问题 下面我们对(4)“xy>0”是“x>0，y>0”的充要条件.进一步进行分析. 提示： 因为xy>0⇏x>0，y>0，所以xy>0不是x>0，y>0的充分条件； 因为x>0，y>0⇒xy>0，所以xy>0是x>0，y>0的必要条件. 所以“xy>0”是“x>0，y>0”成立的必要不充分条件. 如：“1<x<2”是“x≤2”的什么条件？ 提示：“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 3 探究二：充要条件 升华问题 1.充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 2.条件关系判定的常用结论： （1）p⇒q，且q⇏p，p是q的充分不必要条件. （2）q⇒p，且p⇏q,p是q的必要不充分条件. （3）p⇒q，且q⇒p，即p⇔q,p是q的充要条件. （4）p⇏q，且q⇏p,p是q的既不充分也不必要条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 4 探究二：充要条件 及时训练 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 4 探究二：充要条件 及时训练 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 4 探究二：充要条件 及时训练 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 教材例题 5 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 教材例题 5 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 教材例题 5 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂小结 7 逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 充要条件：如果“若p, 则 q” 和它的逆命题“若 q, 则 p” 均是真命题，即既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作p⇔q.此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件 (sufficient and necessary condition), 显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂小结 7 条件关系判定的常用结论： （1）p⇒q，且q⇏p，p是q的充分不必要条件. （2）q⇒p，且p⇏q,p是q的必要不充分条件. （3）p⇒q，且q⇒p，即p⇔q,p是q的充要条件. （4）p⇏q，且q⇏p,p是q的既不充分也不必要条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 作业布置 8 1.教材第22页练习1、2、3. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 祝你好运！ 2024 Goodluck！ Goodluck！ Goodluck！ 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 例1：（多选）已知命题，那么命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解析：由，解得，命题:， 命题成立的一个充分不必要条件为集合F，则且， 所以和都是的充分不必要条件. 故选：. 例2：（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 解析：当时，有，也有，因此不能得出， 反之当时，，但，即由也不能得出， 所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当时，，但，当时，，故B正确； 当时，，从而，反之，时，若，则， 所以两者不是充要条件，故C错误； 且 ，D正确， 故选：BD． 例1：下列各题中，哪些p 是 q 的充要条件? (1)p: 四边形是正方形， q: 四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p: 两个三角形相似， q: 两个三角形三边成比例； (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; (4)p:x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根， q:a+b+c=0(a≠0). 解析：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么),所以 q≠p, 所 以p 不是q 的充要条件. (2)因为“若p, 则 q”是相似三角形的性质定理，“若q, 则 p”是相似三角形的判 定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q, 所以p 是 q 的充要条件. (3)因为xy>0 时 ，x>0,y>0 不一定成立(为什么),所以pq, 所以p 不是q 的充要条件. (4)因为“若p, 则 q” 与“若q, 则 p” 均为真命题，即p=q, 所以p 是 q 的充要条件. 例2：已知：圆O的半径r, 圆心O到直线l的距离为d. 求证 ：d=r 是直线l与圆O相切的充要条件. 证明：设p:d=r,q:直线l与圆O相切. (1)充分性 (p⇒q): 如图,作OP⊥l于点P, 则OP=d. 若d=r, 则点P在圆O上.在直线l上任取一点Q (异于点P), 连接OQ. 在Rt△OPQ中OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线l与圆O仅有一个公共点P.所以直线l与圆O相切. ( 2 ) 必 要 性 (q⇒p):若直线l与圆O相切，不妨设切点为P, 则OP⊥I. 因此d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆O相切的充要条件 . 例1（单选）：常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 解析： ， 因为的充分条件是， 所以，则， 故选：B. 例2（单选）：集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 例3（单选）：“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4（多选）：若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 解析：若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 例5（多选）：下面命题为真命题的是（    ） A．设，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件 解析：对于A，当，时，；由，则且，因此“”是“”的必要不充分条件，A正确；对于B，当时，方程，，则方程有两个不相等的实根，显然，即方程有一正根一负根；当方程有一正根一负根，则，因此“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，B正确； 对于C，当时，成立，因此“”不是“”的充分条件，C错误；对于D，当时，方程为，解得，即，满足充分性，而当时，方程为，解得，不满足必要性，D正确.故选：ABD 例6（填空）：若“”是“”的充要条件，则实数的取值是 ． 解析：， 则{ |}＝{ |}， 即. 故答案为：0. 例1（单选）：设，当时；当时 .例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：当，或，时，，由时知， ，当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可，显然不止，或， 这种情况，比如，等也满足， 所以“，或，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例2（多选）：若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故的值可取， 故选：BCD. 例3（填空）：已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 解析：当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意； 当时，的图像与轴只有一个交点，则 ，符合题意；条件 或，条件是条件的充分不必要条件，则或 实数为或当时，由得，； 当时，由得，；条件是条件的必要不充分条件，且条件 或，条件，即 故答案为：或；实数的取值范围是. 例1（单选）：“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 例2（单选）：已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 解析：因为p是q的充分不必要条件，则的真子集，于是，所以的取值范围是. 故选：C 例3（单选）：如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：如果，比如，则有， 根据定义，，即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 例4（多选）：命题“是的必要不充分条件”是假命题，则不可能的取值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由是的必要不充分条件，得，于是命题“是的必要不充分条件”是假命题，有，所以不可能的取值是2，3，4，即BCD正确，A错误. 故选：BCD 例5（多选）：下列说法正确的是（ ） A．命题“存在素数是偶数”是真命题 B．是x的必要不充分条件 C．“ ”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 解析：2既是素数又是偶数，A正确；，但时，不一定成立，如，因此是的充分不必要条件，B错； ，但时，如时， ，因此不是充要条件，C错； 时一定有，但时，如时不成立， 所以“ >4”是“>2， >2”的必要不充分条件，D正确， 故选：AD． 例6（多选）：下列命题中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“且”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的充要条件 解析：对于A：因为可以推出，但是不可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B：因为且可以推出，但是不可以推出且，所以“且”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C：因为，解得或，所以“”可以推出“”， 但是“”不可以推出“”所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D：当时，，所以“”不可以推出“”， 但是“”可以推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误.故选：AB. 例7（填空）：已知命题，若是的充要条件，则 ． 解析：由题意得，，得，设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 例8（填空）：若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 解析：由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例9（填空）：已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 解析：设，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以， 故答案为：. $$