第一章　特殊的平行四边形　综合练习　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

章末综合练习 第一章《特殊的平行四边形》 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列选项中，菱形不具有的性质是（　　） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BD＝6，，则菱形ABCD的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6cm，BC＝8cm，则BO的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．6cm 4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，DE＝5，则AD＝（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（　　） A． B． C．32 D．2 7．如图，在线段AB上取点C，分别以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，若AB＝8，AC＝m，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32 B．m2+32 C．m2﹣8m+32 D．m2+16m﹣31 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是AB、BC上的点，连接DE、DF、EF，满足∠EDF＝45°．若AE＝1，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．若AC＝6，则菱形ABCD的周长为 　 　． 12．如图，将边长为3的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为 　 　． 13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD上，的平分线交BC于点F，则CF的长为　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，点E是BC的中点，∠EAB＝35°，则∠CAD的度数为 　 　． 15．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，将两个正方形并列放置（不重叠）在一矩形中，且两个正方形的面积分别为S1＝9，S2＝3，求阴影部分的面积． 17．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，求证：▱ABCD是菱形． 18． 学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形ABCD是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面ABCD是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边AD，BC，CD，AB的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形ABCD是不是一个矩形． 【问题解决】 （1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米，则四边形ABCD是矩形吗？为什么？ （2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形ABCD是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度． 20．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连结AF，CE，AC． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若四边形AFCE是菱形，判断△ABC的形状，并说明理由． 21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长． 22．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝45°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 23．在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE． （1）证明：四边形ADCE是菱形； （2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE． （1）求证：四边形BCFE是平行四边形； （2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形． 25．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG． （1）证明▱ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数； （3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．CDACB． 6．BCCAD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．24． 12．（2，﹣1）． 13．． 14．35° 15．①②④． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：如图， ∵两个正方形的面积分别是S1＝9，S2＝3， ∴，， ∴， ∴阴影矩形的面积． 17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形． 18． 解：（1）∵AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米， ∴AD2+AB2＝602+802＝1002＝BD2， ∴∠A＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形； （2）小华的检验方法是：检测对角线AC、BD是不是相等即可， 理由：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 19．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝6， ∵EC＝4， ∴BE＝CF＝2， ∴BF＝8， Rt△ABE中，∠ABE＝60°， ∴AB＝2BE＝4， ∴DF＝AE， ∴BD2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OFBD． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE＝DEAD，CF＝BFBC， ∵AD＝BC， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形． （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA， 又∵CF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∵∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FBA＝180°， ∴∠FAB+∠FAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 21．（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OB3， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， ∴OA， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点， ∴4． 22．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：设∠BAP＝α， ∵△ABE≌△CBE， ∴∠BAP＝∠BCE＝α， ∵AE＝PC，AE＝CE， ∴PC＝CE， ∴∠CPE＝∠CEP（180°﹣∠BCE）＝90°α， ∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC＝45°， ∴∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴90°α＝45°+α， ∴α＝30°， ∴∠BAP＝α＝30°． 23．（1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点， ∴ADBC，BD＝CDBC， ∵AE＝BD， ∴AE＝DC， ∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）解：∵平行四边形ADCE是菱形， ∴S△ADC＝S△AEC， ∵D是BC的中点， ∴S△ADC＝S△ABD， ∴菱形ADCE的面积＝三角形ABC的面积AC•AB6×8＝24． 24．（1）证明：∵D．E为AB，AC中点 ∴DE为△ABC的中位线，DEBC， ∴DE∥BC， 即EF∥BC， ∵EF＝BC， ∴四边形BCEF为平行四边形． （2）∵四边形BCEF为平行四边形， ∵∠ACB＝60°， ∴BC＝CE＝BE， ∴四边形BCFE是菱形． 25．解：（1）证明： ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， 又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知，四边形CEGF是菱形， ∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°， ∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°， ∵EG∥DF， ∴∠BEG＝120°＝∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD， ∴△BEG≌△DCG（SAS）， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°； （3）如图2中，连接BM，MC， ∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF＝90°， ∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM＝∠ECM＝45°， ∴∠BEM＝∠DCM＝135°， 在△BME和△DMC中， ∵， ∴△BME≌△DMC（SAS）， ∴MB＝MD， ∠DMC＝∠BME． ∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°， ∴△BMD是等腰直角三角形． ∵AB＝6，AD＝8， ∴BD＝10， ∴DMBD＝5． 方法二：∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF＝90°， ∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC＝6， 过M作MH⊥CF于H， 则△MHF是等腰直角三角形， ∵△ADF是等腰直角三角形， ∴DF＝AD＝8， ∵CF＝CE＝2， ∴MH＝FH＝1， ∴DM5。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$