精品解析：新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2024年05月15日高中数学卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.65 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 在中，已知，则 A. B. C. D. 4. 若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，，则（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或90° 6. 如图，在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）． A. B. π C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 10. 如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ） A. 有7个面 B. 有13条棱 C. 有7个顶点 D. 直线直线EF 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期 B. 函数图象关于直线对称 C. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象 D. 在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 三、填空题（共3小题） 12. 已知，则______． 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 14. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是_______ ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 四、解答题（共6小题） 15. 已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的最小值及相应的x的值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点. （1）若，求； （2）设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围； （3）在(2)的条件下，当时，求四边形的面积. 19. 的内角的对边分别为，已知，，． （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年05月15日高中数学卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.65 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算求解， 【详解】由题意得， 故选：B 2. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 3. 在中，已知，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 考点：同角间三角函数关系 4. 若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积计算即可. 【详解】由， 又均为单位向量，∴， 而，即C正确. 故选：C． 5. 在中，已知，，，则（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或90° 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】∵，，， ∴由正弦定理，可得：， ∵，∴或． 故选：C． 6. 如图，在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得. 【详解】为的中点，， ． 故选：D. 7. 将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）． A. B. π C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得. 【详解】将函数的图象向左平移m个单位， 得的图象， 因为的图象关于原点对称， 所以，即， 当时，得， 使，，的整数不存在. 故选：D 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式、辅助角公式化简，再利用诱导公式求解作答. 【详解】依题意，，则， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 10. 如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ） A. 有7个面 B. 有13条棱 C. 有7个顶点 D. 直线直线EF 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面的定义，结合柱体和锥体的性质、线线平行传递性逐一判断即可. 【详解】对于A，由图可知，有面BCGF，面EFG，面，面，面，面，面共7个，故A正确； 对于C，有顶点B，C，G，F，E，，，D共8个，故C错误； 对于B，有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，，，，，，共13条棱，故B正确； 对于D，取AB中点H，连接CH，，则可得，， 因为，则F为AH中点，且E为中点，则， 所以直线直线BD，故D正确； 故选：ABD 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期 B. 函数图象关于直线对称 C. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象 D. 在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得. 【详解】由图可得，，则， 有，即， 由，故，即， 对A：由，故A错误； 对B：令，解得，故B正确； 对C：把函数的图象向左平移个单位长度， 可得，故C正确； 对D：当时，， 则有，即，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（共3小题） 12. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 【答案】 【解析】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案. 【详解】画出直观图如下： 为该平面图形的高，. 故答案为： 14. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是_______ ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据所给定义及平面向量线性运算法则判断②③，根据数量积的运算律判断①④. 【详解】对于①：∵，，即， ∴ ，故①正确； 对于②：∵，，即，， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，，， ∴， ∴，故③正确； 对于④： ，故④错误. 故答案为：①②③ 四、解答题（共6小题） 15. 已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出； （3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出． 【小问1详解】 因为，，，． 【小问2详解】 ，， ，， 解得． 【小问3详解】 与的夹角是钝角，，且， ，且，解得且． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的最小值及相应的x的值． 【答案】（1） （2）， （3）时取得最小值 【解析】 【分析】（1）由最小正周期的计算公式计算即可； （2）由整体法代入求解即可； （3）利用整体法求解范围，进而可求解最小值． 【小问1详解】 由，则函数最小正周期为． 【小问2详解】 令，∴，， 故函数的单调递增区间为，． 【小问3详解】 时，， 当，即时取得最小值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可得解； （2）利用余弦定理计算可得； （3）根据平方关系求出，即可求出、，最后由两角和的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理， 即， 所以（负值已舍去）； 【小问3详解】 由，，所以， 所以， ， 所以 . 18. 如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点. （1）若，求； （2）设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围； （3）在(2)的条件下，当时，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义并结合二倍角的正弦公式即可求解； （2）先根据三角函数的定义和平面向量的坐标表示求出，然后结合的范围即可求出的取值范围； （3）先根据求出，然后利用面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由三角函数定义，可知，， 所以. 【小问2详解】 由三角函数定义，知， 所以， 所以， 因为，所以，即， 于是，所以的取值范围是. 【小问3详解】 当时，，即， 因为，所以解得或（此时不能构成四边形，舍去）， 易知四边形为菱形，此时菱形的面积为. 19. 的内角的对边分别为，已知，，． （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，利用特殊角的三角函数值，即可求解，再利用余弦定理，即可求解； （2）利用角平线的性质，结合条件，即可求解； （3）利用向量共线，进而求得，即可求解. 【小问1详解】 由，得到， 又，所以， 在中，由余弦定理得，即 解得或（舍）. 【小问2详解】 由角分线性质知：，所以 过做垂直于点，则， 所以. 【小问3详解】 由题意可知：，得到， 即，得到 所以，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $