精品解析：湖南省衡阳市华新实验中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

衡阳市华新实验中学2024年上学期期末 初二数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，合计30分） 1. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（　　）． A. B. C. D. 3. 如果实数a，b满足，那么等于（ ） A. B. C. D. 3 4. 下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为（ ） A 3 B. 4 C. D. 5 9. 某排球队12名队员的年龄如表：该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 A. 19岁，19岁 B. 19岁，19.5岁 C. 19岁，20岁 D. 20岁，21岁 10. 如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，用科学记数法表示是________克． 12. 若分式的值为零，则x的取值为______． 13. 一组数据的中位数和平均数相等，则的值是_____． 14. 如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为_____． 15. 函数和的图像如图所示，则关于的不等式的解集是__________． 16. 已知菱形的周长是20，且较短的对角线长是6，则此菱形的面积为________． 17. 菱形中，，，，垂足为，点在菱形边上，若，则的长为 ____________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按HUI图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2018个点的坐标为___________． 三、解答题（66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 22. 某校七年级和八年级学生参加科普知识竞赛，成绩得分用x表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： 69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b的值：　 　，　　． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 23. 如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当时，求证：四边形是正方形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，B两点． （1）求反比例函数的解析式和B的坐标； （2）当时，请直接写出x的取值范围． 25. 某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： （2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 26. 在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． （1）分别求出，，三点的坐标； （2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳市华新实验中学2024年上学期期末 初二数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，合计30分） 1. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】、不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 故选：． 2. 若，则的值是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值、求代数式的值，灵活对已知等式进行变形是解题的关键． 由可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 3. 如果实数a，b满足，那么等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握平方和绝对值的非负性是解题的关键，根据，可得到a，b的值，代入即可得以答案． 【详解】解：∵实数a，b满足， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 4. 下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：①，y是x的函数； ②，y不是x的函数； ③，y是x的函数； ④，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x函数； ⑤．y是x的函数； 所以其中y是x的函数的个数是3， 故选：B 【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 5. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故选：A． 6. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得. 【详解】解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴. ∵， ∴， ∴. 故选D． 7. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接和，可得，，即可得到，，然后利用解题即可． 【详解】连接和， 则，， 又∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， 故选C． 8. 如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键． 先由矩形的性质得出，结合题意证明是等边三角形即可． 【详解】解：四边形是矩形，且， ， ， 是等边三角形，， 故选：B． 9. 某排球队12名队员的年龄如表：该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 A. 19岁，19岁 B. 19岁，19.5岁 C. 19岁，20岁 D. 20岁，21岁 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：这组数据中19出现4次，次数最多， 众数为19岁， 中位数是第6、7个数据的平均数， 中位数为岁， 故选：B． 10. 如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据旋转的性质得到，即，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决． 【详解】解；∵绕点A顺时针旋转得到， ， ，， 三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， 则， ， ， ， 解得：， 的长为2． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，用科学记数法表示是________克． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，注意：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为形式，其中是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等． 对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为形式，其中是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等，根据以上内容写出即可． 【详解】解：克克， 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则x的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式为0的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．特别注意分母不为零． 根据分式值为零的条件列式计算即可．分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，这两个条件缺一不可． 【详解】∵分式的值为零 ∴ ∴． 故答案为：． 13. 一组数据的中位数和平均数相等，则的值是_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了中位数、算术平均数，根据中位数、算术平均数的意义列方程即可求解，掌握中位数、算术平均数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵这组数据的个数为， ∴这组数据的中位数可能为，，， 当中位数为时，， 解得； 当中位数为时， ， 解得； 当中位数为时， ， 解得； 故答案为：或或． 14. 如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为_____． 【答案】48 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形周长公式得到，再根据平行四边形面积公式推出，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的周长为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；48． 15. 函数和的图像如图所示，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标的取值范围成为解题的关键． 先根据函数图像确定两函数图像的交点坐标，再写出一次函数的图像在的图像下方且在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图像可得两函数图像的交点坐标为， 所以关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 16. 已知菱形的周长是20，且较短的对角线长是6，则此菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得，，，，由勾股定理得，由即可求解；掌握菱形是性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：． 17. 菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用为等腰直角三角形得到，所以，当点在上，，当点在上，过点作于点，如图1，证明为等腰直角三角形，所以，，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到的长；当点在上，过点于点，连接，如图2，由于，，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：在中，， 为等腰直角三角形， ， ， 当点在上，， 当点在上，过点作于点，如图1， 四边形是菱形， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， 在 中，， ， 解得， ． 当点在上，过点于点，连接，如图2， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题看了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了等腰直角三角形的性质． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按HUI图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2018个点的坐标为___________． 【答案】（45,7） 【解析】 【详解】分析：根据图形，求出与2018最接近完全平方数，再根据这个完全平方数个点的位置确定出与第2018个点关系，然后求解即可． 详解：观察图形可知，到每一横坐标结束，经过整数点的点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，根据此规律解答即可：横坐标为1的点结束，共有1个，1=12，横坐标为2的点结束，共有2个，4=22，横坐标为3的点结束，共有9个，9=32，横坐标为4的点结束，共有16个，16=42，…横坐标为n的点结束，共有n2个． ∵452=2025，∴第2025个点是（45，0）． ∴第2018个点是（45，7）， 点睛：本题考查了点的坐标的规律变化，属于中等难度的题型．利用与2018最接近的完全平方数个点的坐标求解更简便． 三、解答题（66分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、零次幂，先化简算术平方根、立方根、零次幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据分式的运算法则进行化简，再把a的值代入计算． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，根据运算法则对分式进行简化是解题关键． 21. 如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接与交于O，由平行四边形的性质可得，再证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：如图所示，连接与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22. 某校七年级和八年级的学生参加科普知识竞赛，成绩得分用x表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： 69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b的值：　 　，　　． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）86；89 （2）八年级的学生掌握科普知识较好，理由见解析 （3）两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人． 【解析】 【分析】本题考查频数（率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可得答案． （2）根据平均数、中位数意义可得结论． （3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86， ． 八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人， 将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89， ． 故答案为：86；89． 【小问2详解】 八年级的学生掌握科普知识较好． 理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大， 所以八年级的学生掌握科普知识较好． 【小问3详解】 （人． 两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人． 23. 如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）先由，点是边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，，再由，得出四边形为平行四边形，那么，又，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，又，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形是矩形； （）由矩形的性质可得，又由（）知四边形是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵，点是边的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴，即， 由（）知四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，B两点． （1）求反比例函数的解析式和B的坐标； （2）当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，点B的坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：一次函数经过点， ， 解得：， ， 把点代入反比例函数， 得， 解得：， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得， 解得：，， 点B的坐标为； 【小问2详解】 由图像可知：当时，x的取值范围为或． 25. 某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： （2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元 （3）商场购进A商品件时，可获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依题意得，，则y与x之间的函数关系式是，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）由一次函数的增减性求解作答即可； （3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，由，可得，则w随x的增大而减小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式是； 依题意得，， 解得，， ∴x的取值范围； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，y取最大值，为， ∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则， ∵， ∴， ∴w随x增大而减小， ∴当时，w取最大值， ∴商场购进A商品件时，可获得最大利润． 26. 在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． （1）分别求出，，三点的坐标； （2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）把，分别代入直线，即可求出对应和的值，即得到、的坐标，解直线和直线的方程组即可求出坐标； （2）设，代入面积公式即可求出，即得到的坐标，设直线的函数表达式是，把，代入即可求出直线的函数表达式； （3）存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质分情况写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：直线，当时，，当 时，， ，， 联立方程组，解得， ， 综上所述，，，； 【小问2详解】 解：设， 的面积为12， ，解得：， ， 设直线的函数表达式是，把，代入得， 解得， ，即直线的函数表达式是； 【小问3详解】 解：存在点，分以下三种情况： ①以对角线时， ，， 点即为点向上平移6个单位， ； ②以为对角线时， ，， 点即为点向下平移6个单位， ； ③以为对角线时， ，，，四边形是平行四边形， 的中点坐标为的中点坐标， ； 综上所述，符合条件的点坐标有或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$