第六章 数列综合测试卷-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

第六章 数列综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 3．（5分）（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（5分）（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（5分）（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（    ） A． B． C．49 D．149 7．（5分）（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列的前n项的积为，，则使得成立的n的最大值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 8．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，其中，现有以下结论：①；②；③．则正确结论的序号为（    ） A．① B．② C．②③ D．①②③ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024·山东泰安·二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为 10．（6分）（2024·山西太原·二模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．是递增数列 B．是等比数列 C．当n是偶数时， D．，，使得 11．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（    ） A． B．数列中的最大项为 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 ． 13．（5分）（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 14．（5分）（2024·四川内江·模拟预测）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，… (2)； (3)0.3，0.33，0.333，0.3333，… 16．（15分）（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列. (1)求和的通项公式； (2)证明：. 17．（15分）（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 18．（17分）（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 19．（17分）（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”． (1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围． (2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”． ①求数列的通项公式． ②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式. 【解答过程】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D. 2．（5分）（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【解题思路】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得. 【解答过程】由， 因，代入得，， 即，解得，或. 故选：D. 3．（5分）（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由递增数列定义可得，代入计算即可得解. 【解答过程】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 4．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【解题思路】根据题意可知，，，，，成等差数列，结合等差数列运算求解. 【解答过程】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列， 且，，可知首项为4，公差为2， 所以. 故选：B. 5．（5分）（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】由题意可得，则可推出，所以数列是等比数列，即可求得答案. 【解答过程】依题意，（），， 当时， ，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 6．（5分）（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（    ） A． B． C．49 D．149 【解题思路】由与的关系，结合等差数列的通项公式求得，即可得到，再由并项求和法计算可得． 【解答过程】因为， 当时，， 即， 可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 当时， 所以，当时也成立， 所以， 可得数列的前项之和为． 故选：B． 7．（5分）（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列的前n项的积为，，则使得成立的n的最大值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【解题思路】先由求出，再当时，由得，得到是以为首项，1为公差的等差数列，所以，从而求出，，利用裂项相消法求和得，结合选项即可求解. 【解答过程】令，则得， 当时，因为，所以，所以，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以， 故，所以， 当时，， 所以 ， 所以，结合选项，将n的值代入检验， 则使得成立的n的最大值为2022. 故选：B. 8．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，其中，现有以下结论：①；②；③．则正确结论的序号为（    ） A．① B．② C．②③ D．①②③ 【解题思路】①通过做差，判断差值正负，来判断和得大小关系， ②通过对变形得到，然后求和即可， ③通过得到，然后对进行放缩. 【解答过程】对①，因为， 所以 所以，即， 故①错误， 对②，由得， 所以， 所以, 因为， 所以， 所以， 所以②正确， 对③，当时，，化简得， 所以当时，，即， 所以， 所以， 所以③错误， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024·山东泰安·二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可. 【解答过程】等差数列中，，解得，而， 因此公差，通项， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，为递减数列，C正确； 对于D，，所以的前5项和为 ，D错误. 故选：BC. 10．（6分）（2024·山西太原·二模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．是递增数列 B．是等比数列 C．当n是偶数时， D．，，使得 【解题思路】对于A，求出数列的前几项即可判断；对于B，等比数列的定义证明即可；对于C，由B可知，是以为首项，为公比的等比数列，求解判断即可；对于D，由C可知，，结合，所以，分类讨论判断即可. 【解答过程】对于A：由，，，所以A错误； 对于B：当时，由，， 当时，， 综上所述：所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确； 对于C：由B可知，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，为偶数， 所以当n是偶数时，，故C正确； 对于D：由C可知，，由， 所以，因为， 所以当时，， 当时，，而， 所以恒成立，故D错误； 故选：BC. 11．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（    ） A． B．数列中的最大项为 C． D． 【解题思路】由已知可得时，，时，可证数列是以为首项，为公差的等差数列，即可判断A选项，，可判断B选项；再利用裂项相消法可得，即可判断CD选项. 【解答过程】对于A，由已知， 当时，，即，， 当时，，即， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，A选项错误； 对于B，所以，，且数列单调递减， 所以数列中的最大项为，B选项正确； 对于C，， ， 所以，C选项错误； 对于D，又，所以，即，D选项正确； 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 1 ． 【解题思路】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可列式求解． 【解答过程】解：由已知可得，，，， 再由，， 得，， 联立以上两式可得：， （舍去），或，即． 故答案为：1． 13．（5分）（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【解题思路】依题意可得，记，即可得到，从而求出的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【解答过程】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 记的前项和为， 则 . 故答案为：. 14．（5分）（2024·四川内江·模拟预测）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ． 【解题思路】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解. 【解答过程】数列满足①， 当时，，即， 当时，②， 由②①得， 数列的所有奇数项，， 数列的所有偶数项，， 综上，数列的通项公式为. 记， 所以数列的前项和为： ， 由得，即， 因为,随着的增大而增大， 故当时，刚好满足， 所以,的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，… (2)； (3)0.3，0.33，0.333，0.3333，… 【解题思路】（1）（2）（3）分析数列给定的前几项的特征，利用观察法求出通项公式. 【解答过程】（1）各项是从4开始的偶数，因此． （2）每一项分母可写成，分子分别比分母少1， 因此所求数列的通项公式可写为． （3）因为数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的通项公式为， 而数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以． 16．（15分）（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列. (1)求和的通项公式； (2)证明：. 【解题思路】（1）根据与之间的关系分析可知是首项为，公比为的等比数列，即可得，根据等比中项结合等差数列通项公式运算求解，即可得； （2）分析可知是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式分析证明. 【解答过程】（1）由得， 两式相减可得，即. 当时，，即， 则，解得， 且，可知是首项为，公比为的等比数列， 可得. 设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得，则， 可知是以首项，公比为的等比数列， 则 ， 所以. 17．（15分）（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， ∵，， ∴， ∴. ∴. 设等比数列的公比为， 若选条件①，， 由，且， 得， ∴，解得. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 故. 若选条件②，， 令，得， ∴公比， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. 从而. （2）因为， 所以， 两式相减，得， 即， 所以. 18．（17分）（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【解题思路】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【解答过程】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 19．（17分）（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”． (1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围． (2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”． ①求数列的通项公式． ②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）由等差数列是“数列”，可得其公差，利用等差数列的前项和公式将原不等式化为对任意的恒成立，再对的范围进行分类讨论即可得的取值范围； （2）①分别求数列中的最小项，再根据是“数列”，数列不是“数列”求的值；再分类讨论并分别检验数列是否为“数列”，可得，即‘ ②根据题意得到关于的方程,并判断的大小关系，分类讨论，分别求得的值，再对结果进行检验即可得出结论. 【解答过程】（1）因为等差数列是“数列”，所以其公差． 因为，所以， 由题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． 当时，恒成立，故； 当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 因为，所以． 综上，， 所以， 即的取值范围是． （2）①设等比数列的公比为，则， 因为“数列”的每一项均为正整数，由得，所以且， 所以在数列中，“”为最小项， 在数列中，“”为最小项． 若是“数列”，则只需，即， 若数列不是“数列”，则，即， 因为数列的每一项均为正整数，所以， 所以或． 当时，，则， 令，则， 又， 所以为递增数列， 又， 所以对于任意的，都有，即， 所以数列为“数列”，符合题意． 当时，，则， 因为，所以数列不是“数列”，不合题意． 综上所述，数列的通项公式为； ②假设存在正整数，使成等差数列， 则，即． 由于，所以数列为递减数列． 因为，所以且至少为2， 所以． 易知， 当时，， 又，所以，这与矛盾，不合题意； 当时，，所以，即， 由于为递减数列，故有唯一解，即． 综上，存在正整数，使成等差数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$