专题2.4 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.4 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）下列不等式的解集是空集的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024高三下·贵州·学业考试）已知，则的最小值是（     ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·重庆巴南·阶段练习）若且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 7．（2024高一上·吉林·阶段练习）设，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最大值为2 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高一上·湖北·阶段练习）若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 10．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）已知均为实数，下列命题正确的是（    ） A．已知，则存在负数使成立 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，，，则 D．若正数满足，则 11．（2024高一上·福建·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．3x(x-2)的最大值为2 D．的最小值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一下·安徽合肥·期中）函数的最小值为 . 13．（2024高一·全国·课后作业）设，，且，则的最小值 . 14．（2024·浙江温州·模拟预测）已知实数满足则的最大值是 ，的最大值为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一·全国·课后作业）若，解关于的不等式. 16．（23-24高一上·上海崇明·期中）解下列不等式： （1）； （2）. 17．（2024高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）设，，且，求的最小值． 18．（2024高一上·甘肃庆阳·阶段练习）若不等式的解集为， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 19．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知x，y都是正数，且. (1)分别求x，y的取值范围； (2)求的最小值及此时x，y的取值； (3)不等式恒成立，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）下列不等式的解集是空集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法逐项分析即得. 【详解】对于A，，所以不等式的解集是，故A错误； 对于B，由，可得不等式解集为，故B错误； 对于C，不等式变形为，开口向上，，所以解集是空集，故C正确； 对于D，由，可得不等式的解集为或，故D错误. 故选：C. 2．（2024高三下·贵州·学业考试）已知，则的最小值是（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】直接利用均值不等式得到答案. 【详解】已知，则，当，即时等号成立. 故选：. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生对于均值不等式的应用. 3．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值排除选项，再证明选项得到答案. 【详解】取，则和不成立，排除； 取，不成立，排除； 即 故选 【点睛】本题考查了不等关系式的判断，通过特殊值法可以快速排除选项，简化运算. 4．（2024高一上·重庆巴南·阶段练习）若且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，结合举例法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，实数且， 对于A中，由，当，可得，所以不一定成立； 对于B中，例如，此时，所以不一定成立； 对于C中，例如时，可得，所以不一定成立； 对于D中，由，根据不等式的性质，可得，所以不等式一定成立. 故选：D. 5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用解集的区间端点值，代入方程中，解出，再将其代入中，直接解一元二次方程即可. 【详解】由题意可知，和是关于的方程的解，将其代入方程得解得, 所以即，化简得，解得. 即不等式的解集是. 故选：C 6．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【详解】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 7．（2024高一上·吉林·阶段练习）设，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最大值为2 【答案】C 【分析】对于ABD，利用基本不等式判断即可；对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A正确； 对于B，因为，则， 当且仅当时取等号，则的最小值2，故B正确； 对于C，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，， 而，则，当且仅当时取等号， 故的最大值为2，故D正确. 故选：C. 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据给定的等式可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，，得， 因此，则， 当且仅当，即时取等号，由，解得， 所以当时，取得最小值. 故选：B 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高一上·湖北·阶段练习）若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】先求得的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不等式的解集是， 则对应的方程的两根为和， ，且， 故，且， 故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，， 即的解集是，故D正确. 故选：ACD 10．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）已知均为实数，下列命题正确的是（    ） A．已知，则存在负数使成立 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，，，则 D．若正数满足，则 【答案】AC 【分析】A、C、D利用作差法转化为商或积的形式，结合已知条件、不等式性质判断正误；B令结合充分性定义即可判断正误. 【详解】A：，而，若为负数，则，当时，此时成立，正确； B：当时，的大小不确定，即“”不能推出“”，充分性不成立，错误； C：，而，，，则，故，，故，即，正确； D：，故时，原不等式也成立，错误. 故选：AC 11．（2024高一上·福建·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．3x(x-2)的最大值为2 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】根据函数的性质，基本不等式等判断各选项． 【详解】当时，，A错； ∵，∴，时，，B正确； 时，，C错； ， 当且仅当，即时等号成立，D正确． 故选：BD． 【点睛】本题考查命题的真假判断，解题方法主要是根据函数的性质判断，错误的命题可举反例．应用基本不等式求最值时要注意三个条件：一正二定三相等． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一下·安徽合肥·期中）函数的最小值为 . 【答案】9 【解析】变换，利用均值不等式得到答案. 【详解】，当，即时等号成立. 故答案为：. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，变换是解题的关键. 13．（2024高一·全国·课后作业）设，，且，则的最小值 . 【答案】 【分析】由不等式得出且有，，利用基本不等式得出，解出该不等式得出的取值范围，由此可得出的最小值. 【详解】，，且，所以，，且有， 由基本不等式得，所以有， 解得或， ，，，所以，， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故答案为. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，本题利用基本不等式将问题转化为求解关于的不等式，进而求出的最值，能简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14．（2024·浙江温州·模拟预测）已知实数满足则的最大值是 ，的最大值为 . 【答案】 【分析】由已知与均值不等式可直接求得积的最大值；令，将其与已知相加相减，再配凑成完全平方式，进而构建不等式求得答案. 【详解】因为，则，当且仅当时取等号，此时的最大值是； 因为，设， 将两式相加得①； 将两式相减得②， 将①+②：， 所以，当且仅当时取等号，其最大值为. 故答案为：； 【点睛】本题考查由基本不等式求积的最大值，还考查了由已知关系求指定表达式的最值，属于中档题. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一·全国·课后作业）若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析. 【分析】将分解因式可得，讨论的范围即可求解. 【详解】由得， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得, 综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【点睛】本题考查含有参数的一元二次不等式的解法，属于基础题. 16．（23-24高一上·上海崇明·期中）解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可； （2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可. 【详解】（1）由可得： ， 解得：或， 故解集为： （2）由化简为：， 即，等价于， 解得，故解集为. 17．（2024高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）设，，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，利用基本不等式可求得最小值； （2）将已知等式化为，根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1），， （当且仅当，即时取等号），； （2），，，， （当且仅当，即，时取等号），. 18．（2024高一上·甘肃庆阳·阶段练习）若不等式的解集为， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由不等式的解集可得函数的解，进而求的值即可； （2）由（1）得求的解集即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以函数的解为2，3， 故，解得. （2）由（1）得不等式为， 令，所以为开口向下的抛物线， 令解得或， 所以不等式的解集为. 19．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知x，y都是正数，且. (1)分别求x，y的取值范围； (2)求的最小值及此时x，y的取值； (3)不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1),； (2)最小值为9，此时； (3). 【分析】（1）由题设、，根据已知及不等式性质求x，y的取值范围； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，并确定取值条件； （3）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由得：，因，故，从而， 因为，故，得y的范围为； 同理：由，得x的范围为. （2）， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9. （3）由，得， 故， 又， 当且仅当时等号成立，取得最小值8， 故m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$