福建省厦门市松柏中学2023-2024学年高三下学期适应性练习卷数学试题

机密★启用前 准考证号： 姓名： （在此卷上答题无效） 2023-2024学年高三年适应性练习卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 .若复数，则（   ）． A. B. C. D. 2 .已知集合，，则（   ）． A. B. C. D. 3 .已知向量，，若，则（   ）． A. B. C. D. 4 .已知，，，则（   ）． A. B. C. D. 5 .已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ）． A. B. C. D. 6 .已知，则下列结论错误的为（   ）． A.， B.， C.， D.， 7 .传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的，，，被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第个数为（   ）． A. B. C. D. 8 .已知函数．若函数存在零点，则的取值范围为（   ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 .抛掷一枚股子，设事件“出现的点数为偶数”，事件“出现的点数为的倍数”，则（ ）． A.与是互斥事件 B.不是必然事件 C. D. 10 .已知点，，动点在圆：上，则（   ）． A.直线截圆所得的弦长为 B.的面积的最大值为 C.满足到直线的距离为的点位置共有个 D.的取值范围为 11 .如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，（），则（   ）． A.平面 B.二面角随着的减小而减小 C.当时，五面体的体积最大值为 D.当时，存在使得半径为的球能内含于五面体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 .若，则            ． 13 .如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则            ． 14 .法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 .（13分） 已知数列的前项和满足． ( 1 )求的通项公式． ( 2 )设，求数列的前项和． 16 .（15分） 如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面． ( 1 )证明：平面平面． ( 2 )已知点为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值． 17 .（15分） 已知甲、乙两支登山队均有名队员，现有新增的名登山爱好者，，，将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出个小球，再另取完全相同的红球和黑球各个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队． ( 1 )求，，三人均被分至同一队的概率． ( 2 )记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求． 18 .（17分） 在平面直角坐标系中，点，点为动点，以线段为直径的圆与轴相切，记的轨迹为，直线交于另一点． ( 1 )求的方程． ( 2 )的外接圆交于点（不与，，重合），依次连接，，，构成凸四边形，记其面积为． ① 证明：的重心在定直线上． ② 求的取值范围． 19 .（17分） 动圆与圆和圆中的一个内切，另一个外切，记点的轨迹为． ( 1 )求的方程． ( 2 )已知点轴与交于两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，记的面积分别为．若，求直线的方程． 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高三年适应性练习卷 数 学 试 题参考答案 说明：解答只列出试题的一种解法.如果考生的解法与所列解法不同，可参考评分量表的相应评分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A D D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 0.5 四.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤． 15.（13分） (1)因为，所以当时，， 当时，，两式相减得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则． (2)因为， 所以， 所以． 16：（15分） (1)设与的交点为，连接， 因为，且，所以， 因为，所以，，， 且，，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面，且平面， 所以平面平面 (2)因为，平面， 所以，，两两垂直， 如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 因为点为棱的中点， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，得， 所以平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．（15分） (1)，，三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队， 记事件“被分至甲队”， 事件“被分至甲队”， 事件“被分至甲队”， 当即将摸球时，箱中有个红球和个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为； 当被分至甲队时，箱中有个红球和个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为； 当均被分至甲队时，箱中有个红球和个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为； 所以，则， 同理知：新增登山爱好者，，均被分至乙队的概率也为， 所以，，三人均被分至同一队的概率为． (2)由题设，可能取值为，，， 为新增的名登山爱好者被分至同一队，则， 为新增的名登山爱好者中有名均被分至同一队，其余名被分至另一队， 设新增的第（，，，）名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则 ，， ，， 所以， 为新增的名登山爱好者中各有名被分至甲队和乙队，则， 所以． 18.（17分） (1)设，则线段的中点坐标为， 因为以线段为直径的圆与轴相切，所以， 化简，得． (2)①因为，，，四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得， 即， 所以即为关于的方程的个根， 则， 因为， 由的系数对应相等得，，即， 因为的重心的纵坐标为， 所以的重心在定直线上． ②记的面积分别为，由已知得直线的斜率不为0 设直线AB：，联立，消去，得， 所以， 所以， 由（i）得，， 所以，即， 因为， 点到直线的距离， 所以， 所以 不妨设，且在第一象限，即，， 依次连接，，，构成凸四边形，所以 ，即， 又因为，，即，即， 所以，即，即， 所以， 设，则， 令，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增， 所以 ， 所以的取值范围为． 19.（17分） (1)由题意，圆心分别为，两圆半径都为， 设圆的半径为， 由题意得或， 故， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 其中， 所以轨迹的方程为． (2)如图， 由题意可得， 所以直线的方程为，直线的方程为， 设， 由，消去，得， 由，得， 从而，故， 由，消去，得， 由，，得， 从而，故， 因为的面积分别为，且，， 所以 ， 由，得，即， 又因为，所以， 化简，可得，解得， 当时，，，所以， 所以直线的方程为，即． 数学试题 参考答案 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$