精品解析：上海市彭浦第三中学2022-2023学年九年级下学期5月月考数学试题（B）

2023学年上海市彭浦第三中学九下5月月考测试卷B卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 自然数0没有（ ） A. 倒数 B. 相反数 C. 算术平方根 D. 立方根 2. 如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（　　） A. B. C. D. 3. 彭浦三中田径运动会有11名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前5名参加决赛，小苒已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（　　） A. 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B. 顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C. 顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D. 顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 5. 已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么交点O是△ABC的（ ） 示意图 作图步骤 （1）分别以点B、C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧分别交于点M、N，联结MN交BC于点D； （2）分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径作圆弧，两弧分别交于点P、Q，联结PQ交AC于点E； （3）联结AD、BE，相交于点O A. 外心 B. 内切圆的圆心 C. 重心 D. 中心 6. 如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共48分） 7. （﹣a2）3＝______． 8. 函数y＝的定义域为_____． 9. 方程的解是_____． 10. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 11. 把直线向左平移2个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为______． 12. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______． 13. 七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．小顾同学利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，那么此时无人机距离地面的高度为______米．（，保留3位有效数字） 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，DC＝4，过点作C作CE∥AB交BD的延长线于点E，，，那么用向量表示为__________________． 15. 我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________． 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是_____． 17. 定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____． 18. 小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____． 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B． （1）求证：CE•AD＝DE2； （2）求证：． 22. 在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到、两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往、两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往、两城镇的运费分别为每辆400元和600元． （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往城镇，其余货车前往城镇，设前往城镇的大货车为辆，前往、两城镇总费用为元，试求出与的函数解析式．若运往城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用． 23. 如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、． （1）如果，求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 24. 如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝． （1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式； （2）设D为抛物线对称轴上一点． ①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标； ②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围． 25. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，点O是边BC上的动点，以OB为半径的与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N． （1）当点E为边AB的中点时，求DF的长； （2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长； （3）将绕着点M旋转180°得到，如果以点N为圆心的与都内切，求的半径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年上海市彭浦第三中学九下5月月考测试卷B卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 自然数0没有（ ） A. 倒数 B. 相反数 C. 算术平方根 D. 立方根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于0的相关性质，解决本题的关键是明白分数分母不能为0，故0没有倒数． 根据相关的性质进行分析即可得到解答． 【详解】解：A、0没有倒数，故该选项符合题意； B、0的相反数为0，故该选项不符合题意； C、故该选项不符合题意； D、故该选项不符合题意； 故选A． 2. 如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM中，直接利用三角函数即可得到OA. 【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a ∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=a； ∴OA== 故选C. 【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键. 3. 彭浦三中田径运动会有11名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前5名参加决赛，小苒已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（　　） A. 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，中位数，能根据题意确定出用什么统计量是解题的关键； 由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否能进入决赛． 故选：D． 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B. 顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C. 顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D. 顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可． 【详解】 观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确； B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确； C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确； D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误． 故答案选：D． 【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键． 5. 已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么交点O是△ABC的（ ） 示意图 作图步骤 （1）分别以点B、C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧分别交于点M、N，联结MN交BC于点D； （2）分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径作圆弧，两弧分别交于点P、Q，联结PQ交AC于点E； （3）联结AD、BE，相交于点O A. 外心 B. 内切圆的圆心 C. 重心 D. 中心 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图得到AD、BE是△ABC的中线，根据重心的概念判断即可． 【详解】解：由尺规作图可知，MN、PQ分别是线段BC、AC的垂直平分线， ∴点D、E分别是BC、AC的中点， ∴AD、BE是△ABC的中线， ∴点O是△ABC的重心， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中线的尺规作图及三角形重心的概念:三角形的重心是三角形三条中线的交点，掌握三角形重心的概念是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到， 由点在外，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：连接AD， ∵，，， ∴ ∵的半径长为3，与相交， ∴， ∵， ∴， ∵点在外， ∴， ∴的半径长的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内． 二．填空题（共48分） 7. （﹣a2）3＝______． 【答案】-a6 【解析】 【分析】先根据积的乘方得，再用幂的乘方法则运算即可． 【详解】解：（﹣a2）3， =， =-a6． 故答案为-a6． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：（am）n=amn（m，n是正整数）；（ab）n=anbn（n是正整数）． 8. 函数y＝的定义域为_____． 【答案】x≥﹣1且x≠0 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，x+1≥0，x≠0， 解得，x≥﹣1且x≠0， 故答案为：x≥﹣1且x≠0． 【点睛】本题考查了代数式有意义的x的取值范围， 一般地从两个角度考虑:分式的分母不为0;偶次根式被开方数为非负数． 9. 方程的解是_____． 【答案】x＝﹣1． 【解析】 【分析】把方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】把方程两边平方得x+2＝x2， 整理得（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x＝2或﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解． 故本题答案为：x＝﹣1． 【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根． 10. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在每个象限内随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 11. 把直线向左平移2个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象的平移规律得出平移后的解析式，然后通过“平移后的直线在y轴上的截距为5”得到一个关于b的方程，解方程可求出b的值，进而可求出原来的直线的解析式． 【详解】直线向左平移2个单位后的直线解析式为， ∵平移后的直线在y轴上的截距为5， ∴ ， 解得 ， ∴原来的直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线的平移，掌握直线的平移规律及截距的求法是解题的关键． 12. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交CB的延长线于点E，先证明四边形AEBD是平行四边形，则有，进而将所求转化为求，然后利用得出，再证明，则有 ，设 ，则 ，进而利用可求出的值，则答案可求． 【详解】如图，过点A作交CB的延长线于点E， ， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴ ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． 设 ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，能够作出辅助线并将所求转化成角的正切值是解题的关键． 13. 七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．小顾同学利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，那么此时无人机距离地面的高度为______米．（，保留3位有效数字） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据题意画出图形，然后设，通过特殊角的三角函数值表示出，然后利用，解出x的值即可得到答案． 【详解】解：如图，A点为塔顶 ，B点为塔底，C点为无人机的位置，过点C作交于点D，则的长度即为所求． 设 ， ， ． 在中， ， ， 解得， ∴， 即此时无人机距离地面的高度为米， 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，DC＝4，过点作C作CE∥AB交BD的延长线于点E，，，那么用向量表示为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】由在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，CE∥AB，可得AB=2CE，然后由，，即可求得． 【详解】解：∵CE∥AB， ∴， ∵AB＝AC＝12，DC＝4， ∴AD＝8； ∴， ∴AB＝2CE， ∵， ∴， ∴＝ 【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用． 15. 我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________． 【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）． 【解析】 【分析】根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：设反比例函数y＝在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b， ∴ab＝10， ∵这两个点之间的距离为3， ∴AB＝＝3， ∴a﹣b＝3， 由解得或（舍去）， ∴A（5，2），B（2，5）， ∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2）， 故答案为（5，2）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点． 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过B作BD⊥OA于点D，设点B（m，n），根据△OAB的面积为6，可以求得A点坐标，而点C是AB的中点，即可表示出C点坐标，再将点B、C坐标同时代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：过B作BD⊥OA于D， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴设B（m，n）， ∵△OAB的面积为6， ∴， ∴（，）， ∵点C是AB的中点， ∴（，）， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题目考查反比例函数，难度一般，正确作出辅助线，设出点B的坐标，是顺利解题的关键． 17. 定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____． 【答案】或． 【解析】 【分析】若等腰三角形的三个内角、，，利用和得，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角、，，利用和得，如图，，，作的平分线，则，易得，再证明，利用相似比得到，等量代换得到，然后解关于的方程得与的比值即可． 【详解】解：若等腰三角形的三个内角、，， ，， ，解得， 此“倍角三角形”为等腰直角三角形， 腰长与底边长的比值为； 若等腰三角形的三个内角、，， ，， ，解得， 如图，，，作的平分线，则， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， 整理得，解得， 即， 此时腰长与底边长的比值为， 综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了三角形的相似判定和性质，等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 18. 小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽△DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可． 【详解】解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5， ∴由勾股定理得：BC＝4， ∵△BCG∽△DFH， ∴＝， 已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x， ∴＝， ∴DH＝10﹣2x， ∵△BCG∽△DFH， ∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF， ∴∠AGC＝∠DHE， ∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°， ∴∠A＝∠EDH， ∴△AGC∽△DHE， ∴＝， 又DE＝4， ∴＝， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意． ∴AG＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算式平方根、绝对值、零指数幂、分母有理化等考点的运算． 在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 21. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B． （1）求证：CE•AD＝DE2； （2）求证：． 【答案】 证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC， ∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC， ∵∠AED＝∠B， ∴∠C＝∠AED， ∴△ADE∽△DEC， ∴， ∴CE•AD＝DE2； （2）∵△ADE∽△DEC， ∴， ∴， ∴．． 【解析】 【分析】本题综合考查了等腰梯形的性质和相似三角形的判定与性质等内容，要求学生理解并掌握相关内容，能运用有关知识求出相等的角，能证明出相似的三角形，以及能利用相似三角形的性质解决不同的边之间的关系等问题，要求学生能在不同的三角形之间进行边和角的转化，蕴含了转化的思想方法． （1）通过证明△ADE∽△DEC，利用相似三角形的性质即可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】 略 22. 在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到、两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往、两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往、两城镇的运费分别为每辆400元和600元． （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往城镇，其余货车前往城镇，设前往城镇的大货车为辆，前往、两城镇总费用为元，试求出与的函数解析式．若运往城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用． 【答案】(1) 大货车用8辆，小货车用7辆；(2) 与的函数解析式为y=100x+9400；当运往城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元． 【解析】 【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，然后根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设前往A城镇的大货车为x辆，则前往B城镇的大货车为（8-x）辆，前往A城镇的小货车为（10-x）辆，前往B城镇的小货车为[7-（10-x）]辆，然后根据题意即可确定y与x的函数关系式；再结合已知条件确定x的取值范围,求出总费用的最小值即可． 【详解】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得： 答：大货车用8辆，小货车用7辆； （2）设前往A城镇的大货车为x辆，则前往B城镇的大货车为（8-x）辆，前往A城镇的小货车为（10-x）辆，前往B城镇的小货车为[7-（10-x）]辆， 根据题意得：y=800x+900（8-x）+400（10-x）+600[7-（10-x）]=100x+9400 由运往城镇的防护用品不能少于100箱,则12x+ 8 (10-x)≥100，解得x≥5且x为整数； 当x=5时,费用最低，则：100×5+9400=9900元. 答：与的函数解析式为y=100x+9400；当运往城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，弄清题意列出二元一次方程组和一次函数解析式是解答本题的关键． 23. 如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、． （1）如果，求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 【答案】 证明：（1）如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形 在和中，∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形 （2）如图2， ∵， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形； （2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB=DC，∠ADC=90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝． （1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式； （2）设D为抛物线对称轴上一点． ①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标； ②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围． 【答案】（1），对称轴是直线；（2）①D（2，5）或D（2，）或（2，）或D（2，-1）；② 或 【解析】 【分析】（1）先根据 ， ，得到OC=3OA，∠CBO=45°，则OC=OB，再求出抛物线对称轴为 ，OC=n， ， ，A（，0），B（n，0），由此求出n的值即可求出抛物线的解析式； （2）①当△BCD的外接圆圆心在△BCD边上时，△BCD是直角三角形，设D（2，t），则 ，，，然后分别讨论当B、C、D为直角顶点时，利用勾股定理求解； ②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，△BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置． 【详解】解：（1）由题意可知，∠COA=90°， ∴ ， ∴OC=3OA，∠CBO=45°， ∴OC=OB， ∵抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C， ∴C（0，n），抛物线对称轴为 ， ∴OC=n， ∴ ， ， ∴A（，0），B（n，0）， ∴ ， ∴n=3， ∴C（0，3），B（3，0），A（1，0）， ∴把A（1，0）代入抛物线解析式得： ， ∴m=1， ∴抛物线解析式为 ； （2）①当△BCD的外接圆圆心在△BCD边上时，△BCD是直角三角形， ∵D为抛物线对称轴上的一点， ∴设D（2，a） ∵C（0，3）B（3，0）， ∴ ，，， 当C为直角顶点时，即， 解得a=5， ∴D（2，5）； 当D为直角顶点时，即， 解得 ， ∴D（2，）或（2，）； 当B为直角顶点时，即， 解得a=-1， ∴D（2，-1）； ∴综上所述：D（2，5）或D（2，）或（2，）或D（2，-1）； ②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，△BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置， ∴ 或 ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，两点距离公式，勾股定理，二次函数与直角三角形的综合，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 25. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，点O是边BC上的动点，以OB为半径的与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N． （1）当点E为边AB的中点时，求DF的长； （2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长； （3）将绕着点M旋转180°得到，如果以点N为圆心的与都内切，求的半径长． 【答案】（1）DF的长为；（2）MN的长为5；（3）的半径长为． 【解析】 【分析】（1）作于，根据中位线定理得出四边形是平行四边形，从而利用解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求即可； （2）先证，再证，从而证明，得到，再通过平行证明，从而得到，通过两式相乘得出再根据平行得出， 从而得出答案． （3）通过图形得出垂直平分,从而得出，再利用解三角函数即可得出答案． 【详解】（1）如图，作于： ∵为中点， ∴ ∴ ∴ ∴ 设半径为，在中： 解得： ∵分别为中点 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ （2）如图：联结 ∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴① 又∵ ∴ ∴② 由①②得; ∴ ∴ 故MN的长为5； （3）作如图： ∵圆与圆外切且均与圆内切 设圆半径为，圆半径为 ∴ ∴在的中垂线上 ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴点在圆上 ∴ 解得： 的半径长为 【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $