精品解析：上海市浦东模范中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

2023学年九年级第二学期数学（1） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，所得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学得分的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 总分 2. 下列关于x的方程一定有实数解的是( ) A. B. C. D. 3. 一支篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表： 尺码 25 26 27 购买量（双） 1 1 2 4 2 则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） A. 4双，5双 B. ， C. ， D. 4双，6双 4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（ ） A. 80 B. 被抽取的80名初三学生 C. 被抽取的80名初三学生的体重 D. 该校初三学生的体重 5. 已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ） A. r＞15 B. 15＜r＜20 C. 15＜r＜25 D. 20＜r＜25 6. 如图，在矩形ABCD中，DE平分交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，，将绕点P逆时针旋转90°后，角两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：(y3)2÷y5=______． 8. 已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是_______． 9. 方程的解为：__． 10. 如果正比例函数y=(k-2)x函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，那么k的取值范围是______． 11. 正八边形中心角等于 _______度． 12. 某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 A B C D E F 类型 足球 羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他 人数 10 4 6 2 那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为______%． 13. 在中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于_____． 14. 已知3、a、4、b、5这五个数据，其中a、b是方程的两个根，则这五个数据的标准差是____ 15. 如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 16. 如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=____cm． 17. 已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是_____． 18. 在梯形中，，，，，．点为上一点，过点作交边于点．将沿直线翻折得到，当过点时，的长为__________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a、b的值． 21. 为了解某校初三男生1000米长跑、女生800米长跑的成绩情况，从该校初三学生中随机抽取了10名男生和10名女生进行测试，将所得的成绩分别制作成如下的表1和图1，并根据男生成绩绘制了不完整的频率分布直方图（图2）． 男生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生成绩 （1）根据表1，补全图2； （2）根据图1，10名女生成绩的中位数是____，众数是______； （3）按规定，初三女生800米长跑成绩不超过就可以得满分．该校初三学生共490人，其中男生比女生少70人．如果该校初三女生全部参加800米长跑测试，请你估计可获得满分人数约为多少？ 22. 定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 【概念理解】（1）如图1，四边形“对补四边形”． ①若，则______度； ②若．且时．则______． 【类比应用】（2）如图2，在四边形中，平分．求证：四边形是“对补四边形”． 23. 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）求证：； （2）若在边上存在点，使四边形是正方形，且．求此时的大小． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，连结． （1）求线段的长； （2）如果抛物线的顶点到直线的距离为，求的值； （3）以点为圆心、为半径的交轴的负半轴于点，第一象限内的点在上，且劣弧如果抛物线经过点，求的值． 25. 如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接． （1）如果圆与直线相切，求圆的半径长； （2）如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围； （3）如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年九年级第二学期数学（1） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，所得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学得分的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 总分 【答案】B 【解析】 【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数． 【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位， 因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，掌握各个统计量的特点是解题关键． 2. 下列关于x的方程一定有实数解的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得． 【详解】A．x2-mx-1=0中△=m2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意； B．ax=3中当a=0时，方程无解，不符合题意； C．由可解得不等式组无解，不符合题意； D．有增根x=1，此方程无解，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根． 3. 一支篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表： 尺码 25 26 27 购买量（双） 1 1 2 4 2 则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） A. 4双，5双 B. ， C. ， D. 4双，6双 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，解题的关键是掌握出现次数最多的数据为众数；一组数据中最中间一个数据为中位数．根据相关定义即可解答． 【详解】解：∵尺码为的够买数量为4双，最多， ∴众数为； ∵共购买10双运动鞋， ∴中位数为第5双和第6双尺码的平均数， ∴中位数为， 故选：B． 4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（ ） A. 80 B. 被抽取的80名初三学生 C. 被抽取的80名初三学生的体重 D. 该校初三学生的体重 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】样本是被抽取的80名初三学生的体重， 故选C． 【点睛】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 5. 已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ） A. r＞15 B. 15＜r＜20 C. 15＜r＜25 D. 20＜r＜25 【答案】C 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD===25． 由图可知15＜r＜25， 故选：C． 6. 如图，在矩形ABCD中，DE平分交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，，将绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转性质判断得，可判断③正确，证可判断④正确，从而得出结果. 【详解】解：根据旋转的性质可知，， ∵DE平分， ∴， ∴， ∴PH=PD， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故③正确； ∵， ∴ ∴ 即， 故④正确； 根据已知条件无法证明①DH=DE，②DP=DG. 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：(y3)2÷y5=______． 【答案】y 【解析】 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减的运算性质计算即可． 【详解】解：(y3)2÷y5， =y6÷y5， =y． 故答案为y． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 8. 已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：据题意得：（1+a+3+6+7）÷5=4，得a=3， 所以这组数据的众数是3． 故填3． 【点睛】本题为统计题，考查众数与平均数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数． 9. 方程的解为：__． 【答案】． 【解析】 【分析】将方程两边同时平方，化成一元二次方程求出解，然后检验即可． 【详解】解：原方程可化为：， 即：， ， 解得：，， 经检验，当时，方程左右两边不相等，舍去， 所以是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程的解法，把方程两边同时平方是解题的关键，要注意解答后一定要检验． 10. 如果正比例函数y=(k-2)x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，那么k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正比例函数y=（k-2）x函数值y随x的增大而减小，可知k-2＜0；再根据它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，说明反比例函数y= 的图象经过一、三象限，k＞0，从而可以求出k的取值范围． 【详解】∵y=（k-2）x的函数值y随x的增大而减小， ∴k-2＜0 ∴k＜2 而y=（k-2）x的图象与反比例函数y= 的图象没有公共点， ∴k＞0 综合以上可知：0＜k＜2． 故答案为0＜k＜2． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的相关性质，清楚掌握函数中的k的意义是解决本题的关键． 11. 正八边形的中心角等于 _______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 12. 某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 A B C D E F 类型 足球 羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他 人数 10 4 6 2 那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为______%． 【答案】24 【解析】 【分析】依据最喜欢羽毛球的学生数以及占被调查总人数的百分比，即可得到被调查总人数，进而得出最喜欢篮球的学生数以及最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比． 【详解】解：∵被调查学生的总数为10÷20%=50人， ∴最喜欢篮球的有50×32%=16人， 则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比= ×100%=24%． 故答案为24． 【点睛】本题考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． 13. 在中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】如图，设圆与斜边AB的切点为点D，连接CD，则 由圆的切线的性质得： 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握理解圆的切线的性质是解题关键． 14. 已知3、a、4、b、5这五个数据，其中a、b是方程的两个根，则这五个数据的标准差是____ 【答案】 【解析】 【分析】先解方程得到a，b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差． 【详解】解：方程， 解方程得到两个根是1，2，即， 故这组数据是3，1，4，2，5， 其平均数， 方差， 故五个数据的标准差是， 故本题答案为：． 【点睛】此题考查了标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算离差，即每个数据与平均数的差；（3）计算离差的平方和；（4）离差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数． 15. 如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】如图所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长． 【详解】如图所示， ∵AB=AC，OB=OC， ∴AO垂直平分BC， ∴OA⊥BC，D为BC的中点， 在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=， ∴BD=3， 根据勾股定理得：AD==4， 在Rt△BDO中，OB=，BD=3， 根据勾股定理得：OD==1， 则AO=AD+OD=4+1=5； 故答案为5． 【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理等知识，这道题用到的知识点有解直角三角形，等腰三角形的性质，垂径定理及勾股定理， 分类讨论是解题的关键． 17. 已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是_____． 【答案】点B在⊙C外 【解析】 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：如图，∵点C在线段AB上，且0＜AC＜AB， ∴BC＞AC， ∴点B在⊙C外， 故答案为：点B在⊙C外． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当d＞r时点P在圆外；当d＜r时点P在圆内是解答此题的关键． 18. 在梯形中，，，，，．点为上一点，过点作交边于点．将沿直线翻折得到，当过点时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB＝90 ．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10−2＝8，根据勾股定理得到AD＝＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6−3x，求得AF＝MF＝10−4x，GM＝8x−10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x−，求得DE＝−3x，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】如图，∵EF∥AD， ∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF， ∵△GFE与△BFE关于EF对称， ∴△GFE≌△BFE， ∴∠GFE＝∠BFE， ∴∠A＝∠AMF， ∴△AMF是等腰三角形， ∴AF＝FM， 作DQ⊥AB于点Q， ∴∠AQD＝∠DQB＝90． ∵AB∥DC， ∴∠CDQ＝90． ∵∠B＝90， ∴四边形CDQB是矩形， ∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6， ∴AQ＝10−2＝8， 在Rt△ADQ中，由勾股定理得 AD＝＝10， ∵tanA＝， ∴tan∠EFB＝， 设EB＝3x， ∴FB＝4x，CE＝6−3x， ∴AF＝MF＝10−4x， ∴GM＝8x−10， ∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A， ∴△DGM∽△DQA， ∴， ∴GD＝6x−， ∴DE＝−3x， 在Rt△CED中，由勾股定理得 （−3x）2−（6−3x）2＝4， 解得：3x＝， ∴当EG过点D时BE＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】10 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】原式＝3＋8−1−4×＋2＝10−2＋2＝10． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a、b的值． 【答案】或 【解析】 【分析】把代入二元一次方程组得到关于a，b的方程组，经过整理，得到关于b的一元二次方程，解之即可得到b的值，把b的值代入一个关于a，b的二元一次方程，求出a的值，即可得到答案． 【详解】把代入二元一次方程组得： ， 由①得：a=1+b， 把a=1+b代入②，整理得： b2+b-2=0， 解得：b= -2或b=1， 把b= -2代入①得：a+2=1， 解得：a= -1， 把b=1代入①得： a-1=1， 解得：a=2， 即或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法是解题的关键． 21. 为了解某校初三男生1000米长跑、女生800米长跑的成绩情况，从该校初三学生中随机抽取了10名男生和10名女生进行测试，将所得的成绩分别制作成如下的表1和图1，并根据男生成绩绘制了不完整的频率分布直方图（图2）． 男生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生成绩 （1）根据表1，补全图2； （2）根据图1，10名女生成绩的中位数是____，众数是______； （3）按规定，初三女生800米长跑成绩不超过就可以得满分．该校初三学生共490人，其中男生比女生少70人．如果该校初三女生全部参加800米长跑测试，请你估计可获得满分的人数约为多少？ 【答案】（1）见解析 （2）； （3）初三女生可获得满分的人数为人 【解析】 【分析】本题考查了频率分布直方图，众数、中位数的概念以及用样本来估计总体，解题的关键在于从统计图表中获取正确的信息． （1）根据表1数据得到频率，再根据频率补全图2即可； （2）先将10名女生成绩从小到大排序，再根据众数、中位数的概念解题即可； （3）根据此学校男女生的人数关系和总人数求出该校女生人数，乘以这10名同学的满分率即可． 【小问1详解】 解：由题知，：， ：， 补全图2如下： 【小问2详解】 解：10名女生成绩从小到大排序为：，，，，，，，， ，， 中位数为：， 数据中出现次数最多，为次， 众数为：， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：由题可知：初三女生人数为：（人）， 由图可知：样本10名女生中有名可以得满分， 估计该校初三女生满分率为：， 初三女生可获得满分的人数为：（人）． 22. 定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”． ①若，则______度； ②若．且时．则______． 【类比应用】（2）如图2，在四边形中，平分．求证：四边形是“对补四边形”． 【答案】（1）①90，②5；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，全等三角的判定和性质． （1）①设，根据题目所给“对补四边形”的定义，得出，求出x的值，即可求解；②根据题目所给“对补四边形”的定义，得出，连接，根据勾股定理可得：，则，即可得出结论； （2）在上截取，通过证明，得出，则，进而得出，根据，得出，即可求证四边形是“对补四边形”． 【详解】（1）解：①∵， ∴设， ∵四边形是“对补四边形”， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； ②∵四边形是“对补四边形”， ， ∴， 连接， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：5． （2）证明：在上截取， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是“对补四边形”． 23. 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）求证：； （2）若在边上存在点，使四边形是正方形，且．求此时的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边即可求证； （2）根据正方形的性质得出，，进而推出是直角三角形，则，得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵平分，平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性定义，等腰三角形的判定，解直角三角形，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分；两直线平行，内错角相等；等角对等边． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，连结． （1）求线段的长； （2）如果抛物线的顶点到直线的距离为，求的值； （3）以点为圆心、为半径的交轴的负半轴于点，第一象限内的点在上，且劣弧如果抛物线经过点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】分别求出，，由两点间距离公式可求； 抛物线的顶点为，由，可得； 连接，，，设，求出，由垂径定理可得，，，得，联立可得． 【小问1详解】 ， 抛物线的对称轴为， ， 令，则， ， ； 小问2详解】 解：由可知抛物线的顶点为， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 连接，，， ， ∴， ， ， ， 设， ，， ， ∴， ， ， ， 联立可得或舍， 将代入，可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的垂径定理是解题的关键． 25. 如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接． （1）如果圆与直线相切，求圆的半径长； （2）如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围； （3）如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出草图，记圆与直线相切于点，连接，利用勾股定理得到，设，则，利用三角函数得到，据此建立方程求解，即可解题； （2）作于点，根据线段，线段，得到，，，再利用三角函数表示出，，，，再结合勾股定理，即可解题． （3）根据题意画出草图，设，则，，，由（2）同理可得，，再结合圆周角定理和三角函数求解，即可解题． 【小问1详解】 解：记圆与直线相切于点，连接，如图所示： ， ，，， ， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， 圆的半径长为； 【小问2详解】 解：作于点， 线段，线段， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 整理得； 【小问3详解】 解：设，则，，， 由（2）同理可得， ， 为直径，在上， ， ， ， 解得． 经检验是方程的解． ． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，列函数解析式，分式方程的应用，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$