平面向量及其应用专项训练-2025届高三数学一轮复习

平面向量及其应用专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷 一、单选题 1．已知平面向量，，若，则x=（    ） A． B． C． D．6 2．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知角，，边，则边（    ） A． B． C．1 D． 4．在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．已知，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，若，则的值为（    ） A．2 B． C．18 D．6 7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的内角，，的对边分别是，，，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ） A． B． C． D． 8．苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（    ） A．350米 B．400米 C．450米 D．500米 二、多选题 9．已知向量，且，则（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量坐标是 D．向量与向量的夹角是 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 11．已知中，，，M是AC的中点，动点P在以AC为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（    ） A． B．最大值为 C．在上的投影向量为 D．若，且B，M，P三点共线时， 三、填空题 12．已知，且，向量在向量上的投影向量是 ． 13．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 14．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 四、解答题 15．在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求A； (2)若，求周长的最大值． 17．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 18．已知函数（） (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的取值范围. 19．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在中，试解决以下问题： (1)是三角形的重心（三条中线的交点），过点作一条直线分别交于点． （ⅰ）记，请用表示； （ⅱ），求的最小值． (2)已知点是的垂心（三条高的交点），且，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由向量平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】平面向量，，若，则，所以. 故选：B. 2．C 【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，，所以. 故选：C. 3．A 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为在中，角，，边， 所以由正弦定理得，即， 所以，解得. 故选：A 4．D 【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 5．B 【分析】由，得，化简可求出，再利用向量夹角公式可求得答案. 【详解】设向量与向量的夹角为， 由，得， 因为，所以， 所以，所以，得， 所以， 因为，所以. 故选：B 6．A 【分析】先求出的坐标，再由列方程可求出的值 【详解】由题意得， 因为，， 所以，解得. 故选：A 7．A 【分析】根据给定条件，结合正弦定理，分别求出和，再代入公式即可求解. 【详解】在中，由及正弦定理得，即， 由，得， 所以的面积. 故选：A 8．C 【分析】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得金融中心的高度. 【详解】在中，由正弦定理得：， 即， 又，所以， 所以金融中心的高度为 . 故选：C 9．CD 【分析】由，得，列方程求出，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得， 所以， 对于A，因为，，所以， 所以，所以A错误， 对于B，由，知B错误， 对于C，向量在向量上的投影向量坐标为，所以C正确， 对于D，， 因为，所以，所以D正确， 故选：CD 10．ABD 【分析】利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】由已知易得，可判断A；可得平分，所以，，设与的夹角为，利用，可求最大值判断C；可得平分，从而可得，进而得，计算可求的值判断D. 【详解】 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B：在中，，， 可得平分，所以，， 所以，设与的夹角为，又， 所以，当时，的最大值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：若，且三点共线时， 可得平分，从而可得， 所以，两边平方可得， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】由已知得出，结合平面向量数量积的几何意义可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为， 故答案为：. 13． 【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果. 【详解】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以， 所以，，所以. 故答案为：. 14． 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选取向量和作为基底，分解向量即可得解； （2）设，分解向量得，，由此可得方程组解出，进一步即可求解. 【详解】（1） 因为， 所以， 所以，即. （2）设，所以. 由三点共线，可设，所以. 另一方面，设， 所以. 因为不共线，所以且，解得. 所以，即. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理直接求解； （2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值． 【详解】（1）由正弦定理知，所以，解得， 因为B为钝角，所以． （2）解：由余弦定理得， 又由，，则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为4， 所以周长的最大值为． 17．(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据三点共线，得，即可列等量关系求解， （2）根据坐标运算即可求解， （3）根据向量相等即可列方程求解. 【详解】（1）． 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得． 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得 （2）． （3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则， 因为，所以，解得， 即点的坐标为． 18．(1)，单调递增区间是，. (2) 【分析】（1）根据题意化简可得，结合正弦函数的性质求周期和单调区间； （2）根据题意可得，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）由题意可得： ， 所以的周期， 令，，可得，. 所以的单调递增区间是，. （2）因为，可得， 且，则，可得，即， 由正弦定理有， 可得， 则 ， 因为，且为锐角三角形， 则，且，解得， 解得，可得， 则， 所以面积的取值范围为. 19．(1)（ⅰ）；（ⅱ）； (2). 【分析】（1）（ⅰ）记的中点为，根据平面向量线性运算和重心性质可得； （ⅱ）借助（ⅰ）中结论，将代入，根据三点共线可得，利用常数代换法和基本不等式可得； （2）由垂心定义可知，，据此列方程求出的关系，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）（ⅰ）记的中点为，连接，则， 由重心性质可知，，所以①. （ⅱ）因为，所以， 代入①得， 因为三点共线，所以， 由题意可知，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. （2） 因为，所以， 由垂心定义可知，， 所以②， ③， 联立②③可得， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$