第22章 相似形（考点串讲）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

九年级沪科版数学上册 单元考点串讲 第二十二章 相似形 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 技巧总结 考点透视 C 典例剖析 A A 典例剖析 12∶5 D 典例剖析 D D 典例剖析 18 5.1 m 典例剖析 易错易混 1．判断四条线段是否是成比例线段没有注意单位统一而出错． 2．利用相似多边形的性质求线段的长时，没有弄清对应边造成错解． 3．因题意中相似的对应关系不明确，未考虑分类而产生漏解． 4．忽视位似图形分同侧位似和异侧位似两类情形而出错． 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 60°或70° 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 C 考场练兵 C A 考场练兵 A 考场练兵 B 考场练兵 A 考场练兵 C 考场练兵 B 考场练兵 D 考场练兵 D 考场练兵 △ADF∽△ECF 考场练兵 1.8 6 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 　比例线段与黄金分割 1．下列各组长度的线段是成比例线段的是(　　) A．3 cm,6 cm,7 cm,9 cm B．2 cm,5 cm,4 dm,10 cm C．3 cm,9 cm,6 cm,1.8 dm D．1 cm,2 cm,3 cm,4 cm 2．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a∶b等于(　　) A.eq \r(2)∶1　　 B．1∶eq \r(2)　　 C．eq \r(3)∶1　　 D．1∶eq \r(3) 3．已知x∶y∶z＝1∶3∶5，则eq \f(x＋3y－z,x－3y＋z)＝ . 4．已知，如图，AD是△ABC的中线，E是AD边上的一点，且eq \f(AE,ED)＝eq \f(1,3)，BE的延长线交AC于F，则eq \f(AF,FC)＝　　. －eq \f(5,3) eq \f(1,6) eq \f(24,5) 平行线分线段成比例 5．(营口中考)如图，在△ABC中，DE∥AB，且eq \f(CD,BD)＝eq \f(3,2)，则eq \f(CE,CA)的值为(　　) A.eq \f(3,5) B．eq \f(2,3) C．eq \f(4,5) D．eq \f(3,2) 6．如图，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的长等 于 . 7．如图所示，已知a∥b，eq \f(AF,BF)＝eq \f(3,5)，eq \f(BC,CD)＝3，则AE∶EC＝　 　. 　相似三角形的性质与判定 8．(福建中考)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则△DEF的面积是(　　) A．1 B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4) 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2 cm，D为BC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t s(0≤t＜6)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为(　　) A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 10．(安徽中考)如图①，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC. (1)求证：AD＝BC； (2)求证：△AGD∽△EGF； (3)如图②，若AD、BC所在直线互相垂直，求eq \f(AD,EF)的值． (1)证明：提示：证明△AGD≌△BGC即可； (2)证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC，在△AGB和△DGC中，eq \f(GA,GD)＝eq \f(GB,GC)，∴△AGB∽△DGC，∴eq \f(EG,FG)＝eq \f(GA,GD)，又∵∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF； (3)解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示： 则AH⊥BH，∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，∴∠AGB＝∠AHB＝90°，∴∠AGE＝eq \f(1,2)∠AGB＝45°，∴eq \f(AG,EG)＝eq \r(2)，又∵△AGD∽△EGF，∴eq \f(AD,EF)＝eq \f(AG,EG)＝eq \r(2). 　图形的位似 11．(重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,2)、B(1,1)、C(3,1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为(　　) A.eq \r(5) B．2 C．4 D．2eq \r(5) 12．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位心中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝ . 　相似三角形的实际应用 13．如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条直线上，已知河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，则树CD的高为 . 14．(荆门中考)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O、A、B、C、D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面的高度BF、DG为1.6 m，试确定楼的高度OE. 解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，则由△GDC∽ △EOC得eq \f(GD,EO)＝eq \f(CD,OC)，即eq \f(1.6,a)＝eq \f(2.1－x,2＋b)，整理得， 3.2＋1.6b＝2.1a－ax①，则由△FBA∽△EOA 得eq \f(FB,EO)＝eq \f(AB,OA)，即eq \f(1.6,a)＝eq \f(2－x,b)，整理得，1.6b＝2a－ax②，将②代入①得，3.2＋2a－ax＝2.1a－ax，∴a＝32.即OE＝32，答：楼的高度OE为32米． 强化技巧一： “X”字型 1．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长． 解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴eq \f(BD,EC)＝eq \f(DF,CF)，即eq \f(8,4)＝eq \f(DF,2)，∴DF＝4. 强化技巧二 “A”字型 2．如图，P是△ABC的边AB上的一点． (1)如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？ (2)如果eq \f(AP,AC)＝eq \f(AC,AB)，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果eq \f(AC,CP)＝eq \f(BC,AC)呢？ 解：(1)△ACP∽△ABC.理由：∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC； (2)△ACP∽△ABC.理由：∵∠A＝∠A，且eq \f(AP,AC)＝eq \f(AC,AB)，∴△ACP∽△ABC.由eq \f(AC,CP)＝eq \f(BC,AC)不能得到△ACP与△ABC相似．∵AC与CP的夹角为∠ACP，BC与AC的夹角为∠ACB，而∠ACP与∠ACB不相等，∴由eq \f(AC,CP)＝eq \f(BC,AC)不能得到△ACP与△ABC相似． 强化技巧三 垂直型 3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，求EF的长． 解：∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根据折叠前后 的图形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE， CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°， ∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°， ∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC， ∴△DEF∽△ECF，∴eq \f(EF,CF)＝eq \f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq \r(15). 强化技巧四 旋转型 4．如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AD＝2AB＝6，求AE的长． 解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE，∴eq \f(AC,AE)＝eq \f(AB,AD).∵AC＝AD＝2AB＝6，∴AB＝3.∴eq \f(6,AE)＝eq \f(3,6).∴AE＝12. 强化技巧五 一线三等角型 5．如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE.如果点D在边BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点． (1)求证：△ABC∽△ADE； (2)求证：DA·OC＝OD·CE. (2)∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE.∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴eq \f(OC,OE)＝eq \f(OD,OA)，即eq \f(OA,OE)＝eq \f(OD,OC).又∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴eq \f(DA,CE)＝eq \f(OD,OC)，即DA·OC＝OD·CE. 证明：(1)∵∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＝∠ADE＋∠EDC，∠EDC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ADE.又∵△ABC与△ADE均为等腰三角形，∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(DA,DE)＝1，∴eq \f(BA,DA)＝eq \f(BC,DE)，∴△ABC∽△ADE； 强化技巧六 直接利用三角形相似证明 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，BE⊥AE，垂足为点E，求证：BE2＝DE·AE. 证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD. ∵∠C＝90°，AE⊥BE，∴∠ADC＋∠CAD＝ ∠BDE＋∠DBE.∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠CAD＝∠DBE，∴∠BAD＝∠DBE. ∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴eq \f(BE,DE)＝eq \f(AE,BE)，∴BE2＝DE·AE. 强化技巧七 利用相等的线段代换 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AD). 证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AE,AB)，∴eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AB)，又∵AB＝AD，∴eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AD). 3．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC且交AC于F，过F作FG∥AB，交AE于G.求证：AG2＝AF·CF. 证明：∵BE⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠CBF＝90°，∴∠BAF＝∠CBF，∴△ABF∽△BCF，∴eq \f(BF,CF)＝eq \f(AF,BF)，∴BF2＝AF·CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCE＝90°.又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE.∵GF∥AB，∴eq \f(AG,AE)＝eq \f(BF,BE)，∴AG＝BF，∴AG2＝AF·CF. 强化技巧八 利用中间比转换证明 4．如图所示，在▱ABCD中，EF交AB的延长线于点E，交BC于点M，交AC于点P，交AD于点N，交CD的延长线于点F.求证：PE·PM＝PF·PN. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BC∥AD.∴eq \f(PE,PF)＝eq \f(AP,PC)，eq \f(PN,PM)＝eq \f(AP,PC)，∴eq \f(PE,PF)＝eq \f(PN,PM)，∴PE·PM＝PF·PN. 5．(南京中考)如图，在△ABC和△A′B′C′中，点D、D′分别是AB、A′B′上的一点，eq \f(AD,AB)＝eq \f(A′D′,A′B′). (1)当eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(AB,A′B′)时，求证△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格； (2)当eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)时，判断△ABC 与A′B′C′是否相似，并说明理由． 解：(1)①eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(AD,A′D′)，②∠A＝∠A′； (2)相似．理由：分别过点D、D′作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AC).同理eq \f(A′D′,A′B′)＝eq \f(D′E′,B′C′)＝eq \f(A′E′,A′C′).又eq \f(AD,AB)＝eq \f(A′D′,A′B′)，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(D′E′,B′C′)，eq \f(AE,AC)＝eq \f(A′E′,A′C′)，∴eq \f(DE,D′E′)＝eq \f(BC,B′C′)，eq \f(AC－AE,AC)＝eq \f(A′C′－A′E′,A′C′)，∴eq \f(EC,AC)＝eq \f(E′C′,A′C′)，∴eq \f(EC,E′C′)＝eq \f(AC,A′C′)，又eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)，∴eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(EC,E′C′)＝eq \f(DE,D′E′)，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°.同理∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′C′B′.又eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′. 强化技巧九 数的比例中项存在正负性 1．已知a是数4,6的比例中项，则a＝　 　. 强化技巧十 点的位置不确定 2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若eq \f(AF,BF)＝2，则eq \f(AE,EC)＝ . 强化技巧十一 相似三角形的对应关系不明确 3．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝50°，∠B＝60°，∠A′＝50°，当∠B′＝ 时，这两个三角形相似． ±2eq \r(6) eq \f(1,4)或eq \f(3,4) 4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动． (1)当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC； (2)当P点移动到离B点多远时，∠APC＝90°？ 解：(1)由AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，设BP ＝x cm，则PD＝(14－x)cm.若△ABP∽△PDC，∴eq \f(AB,PD)＝eq \f(BP,DC)，即eq \f(6,14－x)＝eq \f(x,4)，变形得：14x－x2＝24，即x2－14x＋24＝0，解得：x1＝2，x2＝12，∴BP＝2 cm或12 cm时，△ABP∽△PDC； (2)若∠APC＝90°，则∠APB＋∠CPD＝90°，又AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，由(1)得此时BP＝2 cm或12 cm，则当BP＝2 cm或12 cm时，∠APC＝90°. 5．如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，求AD的长度． 解：∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于D，∴∠FDB＝∠B＝60°，∴△BDF是等边三角形．∵BC＝1，∴AB＝2.∵BD＝BF，∴2－AD＝1－CF，∴AD＝CF＋1.(Ⅰ)如图①，∠FED＝90°，△CEF∽△EDF，∴eq \f(CF,EF)＝eq \f(EF,DF)，即eq \f(CF,2CF)＝eq \f(2CF,1－CF)，解得CF＝eq \f(1,5)，∴AD＝eq \f(1,5)＋1＝eq \f(6,5)； INCLUDEPICTURE"B234.TIF" 图①　 　图② (Ⅱ)如图②，∠EFD＝90°，△CEF∽△FED，∴eq \f(CF,FD)＝eq \f(CE,FE)，即eq \f(CF,1－CF)＝eq \f(1,2)，解得CF＝eq \f(1,3)，∴AD＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3).故AD的长为eq \f(6,5)或eq \f(4,3). 强化技巧十二 位似中心的不确定性 6．画一个角形，使它与已知△ABC位似(如图)，且原三 角形与所画三角形的相似比为3∶1. 解：作法一：(平行截取法)在AB上取一点D，使AD＝eq \f(1,3)AB，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE即为所求，如图①；作法二：(反向延长法)延长AC到A′，使得CA′＝eq \f(1,3)AC，延长BC到B′，使得CB′＝eq \f(1,3)BC，则△A′B′C即为所求三角形，如图②；作法三：(位似图形法)任取一点O，连接OA、OB、OC.取OA、OB、OC的三等分点A′、B、′C′(靠近O的点)．连接A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′即为所求，如图③. 强化技巧十三 作平行线构造相似三角形 1．如图所示，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，求证：AB·DF＝BC·EF. 证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴△DGF∽△E CF，△ADG∽△ABC.∴eq \f(EF,DF)＝eq \f(CE,DG)，eq \f(AB,BC)＝eq \f(AD,DG).∵AD＝CE， ∴eq \f(EF,DF)＝eq \f(AD,DG)，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(EF,DF)，即AB·DF＝BC·EF. 2．如图，在三角形ABC中，点D为BC边上的中点，延长AD至点E，延长AB交CE的延长线于点P.若AD＝2DE，求证：AP＝3AB. 证明：过点B作BF∥AE交PC于点F，∵BF∥DE，点D为BC的中点， ∴DE为△BFC的中位线，∴BF＝2DE.∵AD＝2DE，∴AD＝eq \f(2,3)AE，∴BF＝AD＝eq \f(2,3)AE.∵BF∥AE，∴△PBF∽△PAE，∴eq \f(PB,PA)＝eq \f(BF,AE)，∴PB＝eq \f(2,3)PA，∴AP＝3AB. 强化技巧十四 作垂线构造相似三角形 3．如图，在等边△ABC的边BC上取一点D，使BD＝eq \f(1,2)DC， 过点C作CH⊥AD于H，连接BH.求证：∠DBH＝∠DAB. 证明：如图，f(DH,BD)INCLUDEPICTURE"B240+.TIF" 过点A作AE⊥BC于点E，设BC＝6a.∵CH⊥AD，AE⊥CD，∴∠CHD＝∠AED＝90°，又∵∠ADE＝∠CDH，∴△AED∽△CHD，∴DH·DA＝DC·DE.∵△ABC为正三角形，AE⊥BC于点E，知EC＝EB＝3a，BD＝2a，∴DE＝BE－BD＝a，DC＝EC＋DE＝4a.∴DH·DA＝DC·DE＝4a·a＝4a2＝BD2，即＝eq \f(BD,AD).而∠BDH＝∠ADB，∴△BDH∽△ADB.∴∠DBH＝∠DAB. 强化技巧十五 作等角构造相似三角形 4．如图，已知△ABC中，AB＝2eq \r(5)，AC＝4eq \r(5)，BC＝6， 点M为AB的中点，在线段AC上取点N， 使△AMN与△ABC相似，求MN的长． 解：如图①，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,BC)，∵M为AB中点，AB＝2eq \r(5)，∴AM＝eq \r(5)，∵BC＝6，∴MN＝3；如图②，作∠ANM＝∠B，则△ANM∽△ABC，有eq \f(MN,BC)＝eq \f(AM,AC)，∵M为AB中点，AB＝2eq \r(5)，∴AM＝eq \r(5)，∵BC＝6，AC＝4eq \r(5)，AM＝eq \r(5)，∴MN＝eq \f(3,2).∴MN的长为3或eq \f(3,2). (3)△CDE∽△BAE⇒eq \f(DE,AE)＝eq \f(CE,BE)⇒△ADE∽△BCE. 强化技巧十六 证明角相等 1．如图，在△PBC中，∠PCB＝90°，DA⊥PB于A点，连AC、BD相交于E点．求证： (1)△PAD∽△PCB； (2)∠PCA＝∠PBD； (3)△ADE∽△BCE. 证明：(1)略； (2)由(1)知eq \f(PA,PC)＝eq \f(PD,PB).又∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBD，∴∠PCA＝∠PBD； 强化技巧十七 证明线段成比例 2．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M、N.求证： (1)△AMB∽△AND； (2)eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AC). 证明：(1)略； (2)证eq \f(AM,AN)＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(AB,BC).∵∠B＋∠BCD＝180°，∠MAN＋∠BCD＝180°，∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC，∴eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AC). 强化技巧十八 证明线段平行 3．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE.求证：AE∥BC. 证明：作CO⊥AB，垂足为O，证△ACO∽△ECD， ∴eq \f(AC,CO)＝eq \f(CE,CD).∵∠ACE＝∠OCD， ∴△ACE∽△OCD，∠EAC＝∠DOC＝90°， 即∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC. (2)解：过C点作CM⊥AC交AD的延长线于 M点．∵△CDM∽△ADC，设CD＝2m， AD＝4m，∴DM＝m.又∵OF∥CM⇒ eq \f(AO,AC)＝eq \f(AF,AM)⇒eq \f(AF,5m)＝eq \f(1,5)⇒AF＝m.∴eq \f(AF,DF)＝eq \f(1,3). 强化技巧十九 求比值 4．如图，矩形ABCD，点O在对角线AC上，过点 O作EF⊥AC交AB于E点，交AD于点F点． (1)求证：△AEF∽△BCA； (2)若eq \f(OA,OC)＝eq \f(1,4)，BC＝2AB，求eq \f(AF,DF). (1)证明：略； 强化技巧二十 求线段长 5．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE.EF与CD交于点G. (1)求证：BD∥EF； (2)若eq \f(DG,GC)＝eq \f(2,3)，BE＝4，求EC的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF； (2)解：∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴eq \f(DG,GC)＝eq \f(DF,CE)，∴CE＝eq \f(DF·CG,DG)＝4×eq \f(3,2)＝6. 强化技巧二十一 证垂直 6．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ACB和△DCE的顶点都在格点上， ED的延长线交AB于点F.求证： (1)△ACB∽△DCE； (2)EF⊥AB. 证明：(1)∵eq \f(AC,DC)＝eq \f(3,2)，eq \f(BC,CE)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，∴eq \f(AC,DC)＝eq \f(BC,CE)， 又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE； (2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC，又∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°，∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB. 强化技巧二十二 求面积或面积比 7．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC. (2)设eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,2). ①若BC＝12，求线段BE的长． ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． (1)证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C.∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC； (2)解：①∵EF∥AB，∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,2).又∵BC＝12，∴eq \f(BE,12－BE)＝eq \f(1,2)，∴BE＝4； ②∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC.∵eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(CF,AC)＝eq \f(2,3).设△EFC的面积为S1，△ABC的面积为S，则eq \f(S1,S)＝eq \f(4,9).又∵S1＝20，∴S＝45，∴△ABC的面积是45. 强化技巧二十三　 求线段之积 8．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F. (1)求证：eq \f(AC,BF)＝eq \f(CD,BD)； (2)若BD＝4，CD＝3，求BE·AC的值． (1)证明：连接DM，证AM＝EM＝DM，DM⊥BC.∴eq \f(CD,BC)＝eq \f(MD,FB)，eq \f(BD,BC)＝eq \f(MD,AC)，∴eq \f(AC,BF)＝eq \f(CD,BD)； (2)解：∵eq \f(BM,AM)＝eq \f(BD,CD)＝eq \f(4,3).设BM＝4x，AM＝3x＝DM，∴BE＝x，∴(3x)2＋42＝(4x)2，∴x2＝eq \f(16,7)，∵eq \f(DM,AC)＝eq \f(BD,BC)＝eq \f(4,7)，∴AC＝eq \f(21x,4)，∴BE·AC＝eq \f(21,4)x2＝12. 强化技巧二十四 求坐标 9．如图，抛物线y＝－2x2＋4x与x轴交于O、B 两点，C为顶点，点P为抛物线上一点，且△OPC 是以OC为直角边的直角三角形，求P点坐标． 解：C(1,2)，分两种情况：①作OP1⊥OC，交抛物线 于P1，作P1M⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，证△OP1M ∽△CON，∴eq \f(OM,P1M)＝eq \f(CN,ON)＝eq \f(1,2).设P1(－2m，m)， ∴－2(－2m)2＋4(－2m)＝m，∴m＝－eq \f(9,8)，∴P1(eq \f(9,4)，－eq \f(9,8))； ②作P2C⊥OC交抛物线于P2，作P2E⊥CN于E.同①可得P2(eq \f(5,4)，eq \f(15,8))． 一、填空题(每小题4分，共40分) 1．如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　　 B．eq \f(3,2)　　　　　　　 C．eq \f(5,2)　　　　　　　 D．eq \f(7,2) 2．下列四条线段成比例的是(　　) A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝eq \r(2)，b＝3，c＝2，d＝eq \r(3) C．a＝2，b＝eq \r(5)，c＝eq \r(15)，d＝2eq \r(3) D．a＝12，b＝8，c＝15，d＝11 3．如图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图中标注，图②中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(　　) A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 4．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比是相似比．其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④ 5．(长春中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(　　) A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 6.如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE∶S△COB＝(　　) A．1∶4 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶2 7．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC.下列说法中正确的有(　　) ①AC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB；②AC＝eq \f(3－\r(5),2)AB；③AB∶AC＝AC∶BC；④AC≈0.618AB. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2,1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是(　　) A．(eq \f(3,2)，3)、(－eq \f(2,3)，4) B．(eq \f(3,2)，3)、(－eq \f(1,2)，4) C．(eq \f(7,4)，eq \f(7,2))、(－eq \f(2,3)，4) D．(eq \f(7,4)，eq \f(7,2))、(－eq \f(1,2)，4) 9．如图，已知△ABC的面积是12，BC＝6，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG、GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为(　　) A.eq \f(12,11) B．eq \f(12,2n－3) C．eq \f(12,5) D．eq \f(12,2n＋3) 10．(黑龙江中考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝eq \f(1,2)BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝eq \r(7)；③S平行四边形ABCD＝AB·AC；④OE＝eq \f(1,4)AD；⑤S△APO＝eq \f(\r(3),12)，正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(每小题5分，共20分) 11．若eq \f(x,y)＝eq \f(2,3)，则eq \f(x＋y,y)＝　 　；若eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)≠0，则eq \f(x＋y＋z,x)＝　 　. 12．(邵阳中考)如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形： . eq \f(5,3) eq \f(9,2) 13．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD的距离是 m. 14．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝eq \f(k,x)(x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为 . 三、解答题(共90分) 15．(8分)如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，eq \f(DE,EF)＝eq \f(2,5)，AC＝14； (1)求AB、BC的长； (2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长． 解：(1)∵AD∥BE∥CF，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF)＝eq \f(2,5)，∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(2,7)，∵AC＝14，∴AB＝4，∴BC＝14－4＝10；　 (2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，∴AD＝HE＝GF＝7，∵CF＝14，∴CG＝14－7＝7，∵BE∥CF，∴eq \f(BH,CG)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(2,7)，∴BH＝2，∴BE＝2＋7＝9. 16．(8分)如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH均是正方形，且B、C、F、G在同一直线上，连接AC、AF、AG. (1)求证：△ACF∽△GCA； (2)求∠AFB＋∠AGB的度数． (1)证明：设正方形ABCD、DCFE、EFGH的边长为1，∴CF＝1，AC＝eq \r(2)，CG＝2.∴eq \f(CF,AC)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(AC,CG)＝eq \f(\r(2),2).∴eq \f(CF,AC)＝eq \f(AC,CG).又∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA；　 (2)解：∵△ACF∽△GCA，∴∠AFB＝∠GAC.∴∠AFB＋∠AGB＝∠GAC＋∠AGB＝∠ACB＝45°. 17．(8分)(宁夏中考)已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)． (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 解：(1)如图所示： (2)如图所示：△A2B2C2即为所求；B2(10,8)． 18．(8分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)． ①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处．如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？ 解：由题意得，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，∴eq \f(BD,BE)＝eq \f(AB,CB)，即eq \f(BD,9.6)＝eq \f(1.7,1.2)，解得BD＝13.6米．答：河宽BD是13.6米． 19．(10分)如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)求证：OA2＝OE·OF. 证明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB，∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC，∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形；　 (2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴eq \f(OA,OE)＝eq \f(OB,OD)，∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴eq \f(OB,OD)＝eq \f(OF,OA)，∴eq \f(OA,OE)＝eq \f(OF,OA)，∴OA2＝OE·OF. 20．(10分)已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E. (1)求证：△ABE∽△DBC； (2)求线段AE的长． 证明：(1)∵AB＝AD＝25，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC；　 (2)解：∵AB＝AD.又∵AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE.由△ABE∽△DBC可得eq \f(AB,BD)＝eq \f(BE,BC)，∵AB＝AD＝25，BC＝32.∴eq \f(25,2BE)＝eq \f(BE,32)，∴BE＝20，∴AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(252－202)＝15. 21．(12分)如图，在此▱ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6eq \r(3)，AF＝4eq \r(3)，求AE的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＋∠B＝180°，∴∠AFD＝∠C.∴△ADF∽△DEC；　 (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)可知△ADF∽△DEC.∴eq \f(AD,DE)＝eq \f(AF,CD).∴DE＝eq \f(AD·CD,AF)＝eq \f(6\r(3)×8,4\r(3))＝12.∵AE⊥BC，AD∥BC，∴ AE⊥AD，在Rt△AED中，由勾股定理，得AE＝eq \r(122－6\r(3)2)＝6. 22．(12分)如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F. (1)求证：△PFA∽△ABE； (2)当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P、F、E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． (1)证明：由题意得∠B＝∠AFP，∠BEA＝∠FAP，∴△PFA∽△ABE；　 (2)解：存在．①若△ABE∽△EFP，则四边形ABEP为矩形，PA＝BE＝2；②若△PFE∽△ABE，则可证△PAF≌△PEF，即可得到PA＝5. 23．(14分)如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于F，OE⊥OB边于点O. (1)求证：△ABF∽△COE； (2)当O为AC边中点，eq \f(AC,AB)＝2时，如图②，求eq \f(OF,OE)的值； (3)当O为AC边中点，eq \f(AC,AB)＝n时，请直接写出eq \f(OF,OE)的值． (1)证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠C.∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE，∴△ABF∽△COE；　 (2)解：解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G，∵AC＝2AB，O是AC边的中点，∴AB＝OC＝OA，由(1)有△ABF∽△COE，∴△ABF≌△COE，∴BF＝OE.∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAB＋∠ABD＝90°，∴∠DAC＝∠ABD，又∠BAO＝∠AOG＝90°，AB＝OA，∴△ABC≌△OAG，∴OG＝AC＝2AB.∵OG⊥OA，∴AB∥OG，∴△ABF∽△GOF，∴eq \f(OF,BF)＝eq \f(OG,AB)，∴eq \f(OF,OE)＝eq \f(OF,BF)＝eq \f(OG,AB)＝2； 解法二：∵∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD⊥BC于D，∴Rt△BAD∽Rt△BCA，∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(AC,AB)＝2，设AB＝1，则AC＝2，BC＝eq \r(5)，BO＝eq \r(2)，∴AD＝eq \f(2,5) eq \r(5)，BD＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,5) eq \r(5).∵∠DBF＝∠OBE，∠BDF＝∠BOE＝90°，∴△BDF∽△BOE，∴eq \f(BD,DF)＝eq \f(BO,OE).由(1)知BF＝OE，设OE＝BF＝x，∴eq \f(\f(1,5)\r(5),DF)＝eq \f(\r(2),x)，∴x＝eq \r(10)DF，在Rt△BDF中，x2＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,10)x2，∴x＝eq \f(\r(2),3)，∴OF＝OB－BF＝eq \r(2)－eq \f(1,3) eq \r(2)＝eq \f(2,3) eq \r(2)，∴eq \f(OF,OE)＝eq \f(\f(2,3)\r(2),\f(1,3)\r(2))＝2；　 (3)解：eq \f(OF,OE)＝n. $$