（篇三）第一单元长方体和正方体·体积篇【十八大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 24 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 14 日 2 / 24 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·体积篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·体积篇 专题内容 本专题包括体积和容积单位的认识及换算、长方体和正方体 的体积及生活实际问题、等积变形问题、表面积的变化问题、 排水法求不规则物体的体积等内容。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积与容积单位的认识 ................................................................................... 4 【考点二】体积与容积单位换算 ....................................................................................... 5 【考点三】长方体的体积 ...................................................................................................5 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用 .........................................................6 【考点五】正方体的体积 ...................................................................................................8 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用 .........................................................8 【考点七】体积的扩倍问题 ...............................................................................................9 【考点八】折叠问题 ........................................................................................................ 10 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题 ........................................................ 11 3 / 24 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题 ...................................................................... 12 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题 ...........................................................14 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一 ..................... 15 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二 ........................................17 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三 ........................................18 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题 .................... 20 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深 ................................................... 21 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 ............................................... 22 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积 .................................................................. 23 4 / 24 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积与容积单位的认识。 【方法点拨】 1.容积及容积单位。 容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 2.体积及体积单位。 体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立 方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 3.由于测量方法的不同，体积一般大于容积。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上合适的单位。 (1)一台冰箱所占的空间大约是 1.2( )。 (2)一本数学书封面的面积大约是 280( )。 2．（容积单位）在括号里填上“升”或“毫升”。 一辆汽车油箱的容量是 50( ) 一瓶眼药水大约 13( ) 一袋牛奶大约 200( ) 一个电饭煲容量是 4( ) 【对应练习 1】 在括号里填上合适的单位。 一块香皂的体积约是 15( )； 一个水杯的容积约是 0.3( )。 【对应练习 2】 一块橡皮的体积约 10( )；一个矿泉水瓶容积是 500( )。 【对应练习 3】 在括号里填上合适的单位。 一个文具盒的体积是 200( ) 冰箱的容积约为 200( ) 5 / 24 【考点二】体积与容积单位换算。 【方法点拨】 1.体积与容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 2.体积与容积单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3 850L＝( )m3 6400mL＝( )L 0.26dm3＝( )L＝( )mL 【对应练习 1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米 24.07立方米＝( )立方米( )立 方分米 【对应练习 2】 在括号里填上适当的数。 33.08m ＝( )L 32.5dm ＝( ) 3cm 1250mL＝( ) 3dm 680mL＝( )L 【对应练习 3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3 30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3 42.07dm3＝( )L＝( )mL 【考点三】长方体的体积。 【方法点拨】 1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示 V=abh。 2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h； 3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h； 4.高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 6 / 24 【典型例题 1】反求高。 某工地运来 9.6立方米的沙子，铺在一个长 6米、宽 2.5米的沙坑里，可以铺多 厚？ 【典型例题 2】求体积。 一个长方体的底面积是 1.5平方米，高是 0.6米，体积是( )。 【对应练习 1】 用铁丝焊一个如图所示的长方体框架，至少要用铁丝( )cm，这个框架的 体积是( ) 3cm 。 【对应练习 2】 一个长方体的长是 6cm，宽是 5cm，高是 3cm。这个长方体的表面积是 ( ) 2cm ，体积是( ) 3cm 。 【对应练习 3】 一个长方体的棱长之和是 84cm，已知长方体的长是 8cm，宽是 6cm，这个长方 体的表面积是( ) 2cm ，体积是( ) 3cm 。 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示 V=abh。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长 10分米、宽 8分米、高 4分米，混凝土厚 1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 7 / 24 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于 杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳 水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长 50米，宽 30米 的长方体游泳池注水，注水速度是每小时 200立方米。要使水深达到 1.8米。需 要多长时间？ 【对应练习 1】 学校运动场有一个长 6米、宽 4米、深 0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把 7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子 180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【对应练习 2】 给一个新修的长 55米、宽 24米的长方体水池注水，注水速度为每小时 200立方 米，要注入深 1.5米的水大约需要多长时间？ 【对应练习 3】 一个长方体油箱，从里面量长 0.8m，宽 0.24m，深 0.5m，这个油箱能装油多少 升？如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 8 / 24 【考点五】正方体的体积。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 【典型例题】 棱长 5米的正方体，它的表面积是( )m2，体积是( )m3。 【对应练习 1】 一块棱长 10cm的正方体冰块，它的表面积是( )cm2，体积是 ( )cm3。 【对应练习 2】 一个棱长 6厘米的正方体，它的棱长和是( )厘米，表面积是( ) 平方厘米，体积是( )立方厘米。 【对应练习 3】 一个正方体包装箱的棱长是 3dm，它的棱长总和是( )dm，制作这个包装 箱至少需要( )dm2纸皮（拼接处不计），这个包装箱的体积是 ( )dm3。 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克，这块 石料的质量是多少千克？ 9 / 24 【对应练习 1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长 60厘米，往里面倒入 198升水，水面离水槽 口还有多少厘米？ 【对应练习 2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为 72厘米，做这样一个纸板箱体积 是多少立方厘米？ 【对应练习 3】 有一个棱长为 6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为 7.5千克，这个铁 块重多少千克？ 【考点七】体积的扩倍问题。 【方法点拨】 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。 【典型例题】 一个正方体棱长扩大到原来的 2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大 到原来的( )倍。 【对应练习 1】 一个长方体的长、宽、高都扩大 3倍，它的表面积扩大到原来的( )倍， 体积扩大到原来的( )倍。 【对应练习 2】 一个正方体的棱长是 4cm，现将棱长扩大为原来的 3倍，它的表面积扩大为原来 10 / 24 的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【对应练习 3】 长方体的长、宽、高都扩大到原来的 2倍，它的表面积扩大( )倍，体积 扩大( )倍。 【考点八】折叠问题。 【方法点拨】 根据折叠图，求出长方体对应的长、宽、高，再求体积。 【典型例题】 一块长80cm、宽 40cm的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长10cm的 正方形，然后做成盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？ （2）它的容积是多少？ 【对应练习 1】 在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮 厚度忽略不计） 11 / 24 【对应练习 2】 一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为 3cm的正方形，然后做 成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 【对应练习 3】 在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为 4cm的正方形后，正好可以折 成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？ 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 长方体和正方体之间经过熔铸、锻造，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 【【典型例题】 一个正方体实心铁块的棱长总和是 48分米，现将它熔铸成一个底面积是 32平方 分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？ 12 / 24 【对应练习 1】 把一块棱长为 10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长 2.5分米，宽 2分米的长方 体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 【对应练习 2】 因为需要，工厂把一个棱长为 6分米的正方体钢坯锻造成了一个长 18分米、宽 4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？ 【对应练习 3】 把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的长方 体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题。 【方法点拨】 长方体和正方体中水的互相转移，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长 6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为 30平方分米，高为 10分米的长方体水槽中，水深多少？ 13 / 24 【对应练习 1】 一个棱长是 12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为 18分米，宽 为 10分米，高为 12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 【对应练习 2】 一个棱长是 10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长 25厘米，宽 4厘米， 高 20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【对应练习 3】 在甲箱中装入水，水深为 15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？ 14 / 24 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题。 【方法点拨】 水在长方体中不同位置的放置，底面在改变，但体积始终不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有 5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面 把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 【对应练习 1】 有一个长方体容器，长 40厘米，宽 20厘米，高 15厘米，里面的水深 6厘米。 如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 【对应练习 2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深 8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在 的底面长 10厘米、宽 8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 15 / 24 【对应练习 3】 一个长方体的容器（如图），长是 20厘米，宽是 10厘米，高是 8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深 5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如 右图），使长 10厘米、宽 8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 16 / 24 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题】 一根长 1米的长方体木料锯成 2段后，表面积增加了 6平方分米。这根木料的体 积是多少立方分米？如果每立方分米木料重 1.5千克，这根木料重多少千克？ 【对应练习 1】 城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图） 后，表面积减少 54平方厘米，求长方体的表面积和体积。 【对应练习 2】 一根长 12分米的木料，按下图横截成 3段后表面积增加了 100平方分米。原来 这根木料的体积是多少立方分米？ 17 / 24 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题】 用 4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了 32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多 少？ 18 / 24 【对应练习 1】 把两个棱长为 1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面 积分别是多少？ 【对应练习 2】 把 2个长、宽、高分别是 10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最 小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 19 / 24 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加 4厘米，就变成了棱长是 10厘米的正方体。 体积增加了多少立方厘米？ 2. 一个长方体，如果高减少 3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少 84平 方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【对应练习 1】 一个正方体的高增加了 3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原 正方体的表面积增加了 72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 【对应练习 2】 一个长方体，如果高增加 3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增 加 84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 20 / 24 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题。 【方法点拨】 形状不规则的物体可以用排水法求体积： 排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高 【典型例题】 在一个底面长 20厘米，宽 15厘米的长方体水箱中，水面高度为 10厘米，一块 石头后水面上升到 14厘米。这块石头的体积是多少？ 【对应练习 1】 一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽都是 2分米，向容器中倒入 6升水，再把 一个土豆放入水中，这时量得容器中的水深 18厘米，这个土豆的体积是多少？ 【对应练习 2】 一个正方体玻璃容器，从内部测量棱长是 20厘米，向容器中倒入一定的水，水 面高度恰好是 15厘米。再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没 于水中，发现水面高度变成了 18厘米。求这个铁块的体积。 21 / 24 【对应练习 3】 在一个长 16厘米，宽 16厘米，高 10厘米的玻璃缸里放一个铁球后再注满水淹 没它，然后取出铁球，这时水面下降了 3厘米。铁球的体积是多少？ 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 形状不规则的物体可以用排水法求体积： 排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高 【典型例题】 一个长为 25厘米，宽为 18厘米的长方形玻璃缸，水深 20厘米，水下有一个棱 长为 3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？ 【对应练习 1】 在一个长 16分米、宽 8分米、高 7分米的长方体玻璃缸里放水，水深 5分米。 如果在里面浸没一块棱长是 4分米的正方体铁块，水面上升多少分米？ 【对应练习 2】 一个长方体水族箱从里面量长32 cm，宽 25 cm。如果每条金鱼的体积是 3640 cm ， 向水族箱中放入3条金鱼(水没有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？ 22 / 24 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。 【方法点拨】 物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出 部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为 2分米的正方体玻璃容器中倒入 7升的水， 再往容器中放入一块长 15厘米、宽 10厘米，高 8厘米的铁块。请问。放入铁块 后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 【对应练习 1】 一个长方体的玻璃水箱，长 9分米，宽 4分米，高 5分米，水深 3分米。如果放 入一个棱长 4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？ 【对应练习 2】 一个长方体玻璃缸（如图），水深 6分米。如果投入一块边长 5分米的正方体铁 块，缸里的水会溢出多少升？ 23 / 24 【对应练习 3】 一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 7分米，高 6分米，水深 5.5分米。如果投 入一块棱长为 4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？ 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积。 【方法点拨】 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分 立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 【对应练习 1】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体 的体积。（请写出主要过程） 24 / 24 【对应练习 2】 计算下面几何体的体积。 【对应练习 3】 如图，在棱长是 8dm的正方体的上面挖去一个棱长 4dm的正方体，求挖去以后 图形的表面积和体积。 【对应练习 4】 如图，求下面零件的体积。（单位：厘米） 1 / 41 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 14 日 2 / 41 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·体积篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·体积篇 专题内容 本专题包括体积和容积单位的认识及换算、长方体和正方体 的体积及生活实际问题、等积变形问题、表面积的变化问题、 排水法求不规则物体的体积等内容。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积与容积单位的认识 ................................................................................... 4 【考点二】体积与容积单位换算 ....................................................................................... 6 【考点三】长方体的体积 ...................................................................................................7 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用 .......................................................10 【考点五】正方体的体积 .................................................................................................13 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用 .......................................................15 【考点七】体积的扩倍问题 ............................................................................................. 17 【考点八】折叠问题 ........................................................................................................ 20 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题 ........................................................ 22 3 / 41 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题 ...................................................................... 23 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题 ...........................................................25 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一 ..................... 28 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二 ........................................30 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三 ........................................32 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题 .................... 34 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深 ................................................... 36 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 ............................................... 37 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积 .................................................................. 39 4 / 41 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积与容积单位的认识。 【方法点拨】 1.容积及容积单位。 容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 2.体积及体积单位。 体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立 方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 3.由于测量方法的不同，体积一般大于容积。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上合适的单位。 (1)一台冰箱所占的空间大约是 1.2( )。 (2)一本数学书封面的面积大约是 280( )。 【答案】(1)立方米/m3 (2)平方厘米/cm2 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。体积 是指物体所占的空间大小，常用单位是立方厘米、立方分米、立方米；一台冰箱 所占的空间用立方米比较合适；常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米， 数学书封面的面积用平方厘米比较合适。 【详解】（1）一台冰箱所占的空间大约是 1.2立方米。 （2）一本数学书封面的面积大约是 280平方厘米。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单 位和数据的大小，灵活地选择。 【答案】 升 毫升 毫升 升 【分析】根据生活经验、对容积单位和数据大小的认识，可知计量一辆汽车油箱 的容量用“升”作单位，计量一瓶眼药水的容量用“毫升”作单位，计量一袋牛奶的 容量用“毫升”作单位，计量一个电饭煲容量用“升”作单位；依此解答即可。 【详解】由分析可得： 5 / 41 一辆汽车油箱的容量是 50升； 一瓶眼药水大约 13毫升； 一袋牛奶大约 200毫升； 一个电饭煲容量是 4升。 2．（容积单位）在括号里填上“升”或“毫升”。 一辆汽车油箱的容量是 50( ) 一瓶眼药水大约 13( ) 一袋牛奶大约 200( ) 一个电饭煲容量是 4( ) 【对应练习 1】 在括号里填上合适的单位。 一块香皂的体积约是 15( )； 一个水杯的容积约是 0.3( )。 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 【分析】根据生活经验、对体积、容积单位和数据大小的认识可知：计量一块香 皂的体积用立方厘米作单位；计量一个水杯的容积用升作单位；据此解答。 【详解】一块香皂的体积约是 15立方厘米； 一个水杯的容积约是 0.3升。 【对应练习 2】 一块橡皮的体积约 10( )；一个矿泉水瓶容积是 500( )。 【答案】 立方厘米/cm3 毫升/mL 【分析】根据生活经验、数据大小及对单位的认识可知：计量一块橡皮的体积用 “立方厘米”作单位，计量一个矿泉水瓶容积用“毫升”作单位；据此解答。 【详解】一块橡皮的体积约 10立方厘米； 一个矿泉水瓶容积是 500毫升。 【对应练习 3】 在括号里填上合适的单位。 一个文具盒的体积是 200( ) 冰箱的容积约为 200( ) 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 【分析】根据生活实际，文具盒的体积常用立方厘米作单位，冰箱的容积常用升 作单位。 6 / 41 【详解】一个文具盒的体积是 200立方厘米；冰箱的容积约为 200升。 【考点二】体积与容积单位换算。 【方法点拨】 1.体积与容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 2.体积与容积单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3 850L＝( )m3 6400mL＝( )L 0.26dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 40000 0.85 6.4 0.26 260 【分析】根据 1dm3＝1000cm3，1m3＝1000L，1L＝1000mL，1dm3＝1L，单位大 变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】40×1000＝40000（cm3）；850÷1000＝0.85（m3） 6400÷1000＝6.4（L）；0.26×1000＝260（mL） 40dm3＝40000cm3；850L＝0.85m3 6400mL＝6.4L；0.26dm3＝0.26L＝260mL 【对应练习 1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米 24.07立方米＝( )立方米( )立 方分米 【答案】 0.95 24 70 【分析】1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米， 据此解题。 【详解】在括号里填上合适的数。 950毫升＝0.95立方分米 24.07立方米＝24立方米 70立方分米 【对应练习 2】 在括号里填上适当的数。 7 / 41 33.08m ＝( )L 32.5dm ＝( ) 3cm 1250mL＝( ) 3dm 680mL＝( )L 【答案】 3080 2500 1.25 0.68 【分析】根据 1m3＝1000L，1 3dm ＝1000 3cm ，1 3dm ＝1000mL，1L＝1000mL， 单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】3.08×1000＝3080（L）；2.5×1000＝2500（ 3cm ） 1250÷1000＝1.25（ 3dm ）；680÷1000＝0.68（L） 33.08m ＝3080L； 32.5dm ＝2500 3cm 1250mL＝1.25 3dm ；680mL＝0.68L 【对应练习 3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3 30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3 42.07dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 4.6 30000 5 700 42.07 42070 【分析】根据 1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L＝1000mL， 高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】4600÷1000＝4.6，即 4600cm3＝4.6dm3 30×1000＝30000，即 30L＝30000mL 5.7＝5＋0.7，0.7×1000＝700，即 5.7m3＝5m3700dm3 42.07×1000＝42070，即 42.07dm3＝42.07L＝42070mL 【考点三】长方体的体积。 【方法点拨】 1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示 V=abh。 2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h； 3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h； 4.高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题 1】反求高。 某工地运来 9.6立方米的沙子，铺在一个长 6米、宽 2.5米的沙坑里，可以铺多 厚？ 8 / 41 解析： 9.6÷6÷2.5＝0.64（米） 答：可以铺 0.64米。 【典型例题 2】求体积。 一个长方体的底面积是 1.5平方米，高是 0.6米，体积是( )。 【答案】0.9立方米 【分析】“长方体的体积＝底面积×高”，据此解答即可。 【详解】1.5×0.6＝0.9（立方米） 【点睛】熟练掌握长方体的体积公式是解答本题的关键。 【对应练习 1】 用铁丝焊一个如图所示的长方体框架，至少要用铁丝( )cm，这个框架的 体积是( ) 3cm 。 【答案】 132 1200 【分析】长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的体积＝长×宽×高，代 入数据计算即可。 【详解】（15＋10＋8）×4 ＝33×4 ＝132（cm） 15×10×8＝1200（cm3） 用铁丝焊一个如图所示的长方体框架，至少要用铁丝 132cm，这个框架的体积是 1200cm3。 【对应练习 2】 一个长方体的长是 6cm，宽是 5cm，高是 3cm。这个长方体的表面积是 ( ) 2cm ，体积是( ) 3cm 。 【答案】 126 90 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长× 9 / 41 宽×高，代入数据计算即可。 【详解】表面积： （6×5＋6×3＋5×3）×2 ＝（30＋18＋15）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 体积： 6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方厘米） 表面积是 126平方厘米，体积是 90立方厘米。 【点睛】熟练掌握长方体的表面积和体积公式是解题的关键。 【对应练习 3】 一个长方体的棱长之和是 84cm，已知长方体的长是 8cm，宽是 6cm，这个长方 体的表面积是( ) 2cm ，体积是( ) 3cm 。 【答案】 292 336 【分析】根据题意，结合长方体的特征，先求出长方体的高，用长方体的棱长之 和除以 4，求出长、宽、高之和，再减去已知的长和宽的长度；再结合长方体的 表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2以及长方体的体积公式：长×宽×高， 代入数据即可求出答案。 【详解】长方体的高：84÷4－（8＋6） ＝21－（8＋6） ＝21－14 ＝7（cm） 长方体的表面积：（8×6＋8×7＋6×7）×2 ＝（48＋56＋42）×2 ＝146×2 ＝292（ 2cm ） 长方体的体积：8×6×7 10 / 41 ＝48×7 ＝336（ 3cm ） 所以这个长方体的表面积是 292 2cm ，体积是 336 3cm 。 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示 V=abh。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长 10分米、宽 8分米、高 4分米，混凝土厚 1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】144升 【分析】观察图形可知，这个水槽从里面测量的长为 10－1×2＝8分米，宽为 8 －1×2＝6分米，高为 4－1＝3分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此 求出这个水槽的容积，结果再根据 1立方分米＝1升，把结果化为升作单位。 【详解】（10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是 144升。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于 杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳 水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长 50米，宽 30米 的长方体游泳池注水，注水速度是每小时 200立方米。要使水深达到 1.8米。需 要多长时间？ 【答案】13.5小时 11 / 41 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用 50×30×1.8即可求出水深达到 1.8米 时水的体积，再除以 200即可求出到达 1.8米时需要的时间。 【详解】50×30×1.8＝2700（立方米） 2700÷200＝13.5（小时） 答：需要 13.5小时。 【对应练习 1】 学校运动场有一个长 6米、宽 4米、深 0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把 7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子 180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）0.3米；（2）2160元；（3）见详解；34平方米 【分析】（1）长方体沙坑的底面积可利用长方形的面积公式求出，等于长乘宽， 再利用长方体的体积公式：V＝Sh，用黄沙的体积除以长方体沙坑的底面积，即 可求出铺沙子的厚度。 （2）已知长为 6米、宽为 4米、高为 0.5米，这个沙坑填满沙子，则沙子的体 积根据长方体的体积公式即可求出，再乘每立方米沙子的价格，求出需要的总价 钱。 （3）可提出一个关于计算长方体表面积的题目，比如要把这个长方体沙坑改造 成一个水池，四周及底部铺上瓷砖，那么求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？由 于缺少上底面，实际上是求长方体 4个侧面和 1个底面的面积之和，利用长方体 的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出需要铺瓷砖的面积。 【详解】（1）7.2÷（6×4） ＝7.2÷24 ＝0.3（米） 答：可以铺厚度为 0.3米高的沙子。 （2）6×4×0.5×180 ＝24×0.5×180 ＝2160（元） 答：需要 2160元。 12 / 41 （3）提出问题：如果改造成一个水池，要在四周及底部铺上瓷砖，求需要铺瓷 砖的面积是多少平方米？ 6×4＋6×0.5×2＋4×0.5×2 ＝24＋6＋4 ＝34（平方米） 答：需要铺瓷砖的面积是 34平方米。 （答案不唯一） 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，灵活运用公式解决问 题。 【对应练习 2】 给一个新修的长 55米、宽 24米的长方体水池注水，注水速度为每小时 200立方 米，要注入深 1.5米的水大约需要多长时间？ 【答案】9.9小时 【分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出注入水的体积，再除以每小时的 注水量求出需要的注水时间，据此解答。 【详解】55×24×1.5÷200 ＝1320×1.5÷200 ＝1980÷200 ＝9.9（小时） 答：要注入深 1.5米的水大约需要 9.9小时。 【点睛】熟练掌握并灵活运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习 3】 一个长方体油箱，从里面量长 0.8m，宽 0.24m，深 0.5m，这个油箱能装油多少 升？如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【答案】96L；192瓶 【分析】首先根据长方体的体积（容积）计算公式：长×宽×高，求出这个长方 油箱的容积，再用长方油箱的容积除以瓶子的容积，即可求出能装满的瓶子数。 【详解】0.8m＝8dm，0.24m＝2.4dm，0.5m＝5dm 8×2.4×5 13 / 41 ＝19.2×5 ＝96（dm3） 96dm3＝96L 500mL＝0.5L 96÷0.5＝192（瓶） 答：这个油箱能装油 96L，如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满 192 瓶。 【点睛】本题主要考查长方体的体积（容积）计算，关键是要熟练掌握计算公式 和注意单位的统一。 【考点五】正方体的体积。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 【典型例题】 棱长 5米的正方体，它的表面积是( )m2，体积是( )m3。 【答案】 150 125 【分析】正方体的表面积＝6×棱长×棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】6×5×5 ＝30×5 ＝150（m2） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（m3） 它的表面积是 150m2，体积是 125m3。 【点睛】此题考查正方体的表面积公式以及体积公式。 【对应练习 1】 一块棱长 10cm的正方体冰块，它的表面积是( )cm2，体积是 ( )cm3。 【答案】 600 1000 14 / 41 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。把 棱长 10cm分别代入表面积、体积公式计算即可。 【详解】10×10×6 ＝100×6 ＝600（cm2） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（cm3） 所以，它的表面积是 600cm2，体积是 1000cm3。 【对应练习 2】 一个棱长 6厘米的正方体，它的棱长和是( )厘米，表面积是( ) 平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 72 216 216 【分析】由于正方体有 12条棱长，棱长都相等，根据正方体棱长总和公式：棱 长×12；正方体的表面积公式：棱长×棱长×6；体积公式：棱长×棱长×棱长；把 数代入公式即可求解。 【详解】6×12＝72（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 一个棱长 6厘米的正方体，它的棱长和是 72厘米，表面积是 216平方厘米，体 积是 216立方厘米。 【对应练习 3】 一个正方体包装箱的棱长是 3dm，它的棱长总和是( )dm，制作这个包装 箱至少需要( )dm2纸皮（拼接处不计），这个包装箱的体积是 ( )dm3。 15 / 41 【答案】 36 54 27 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此可求出它的棱长总和；求纸皮 的面积就是求出正方体的表面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此代入 数值进行计算即可；再根据正方体的体积公式：V＝a3，据此进行计算即可。 【详解】3×12＝36（dm） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（dm2） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（dm3） 则它的棱长总和是 36dm，制作这个包装箱至少需要 54dm2纸皮（拼接处不计）， 这个包装箱的体积是 27dm3。 【点睛】本题考查正方体的总棱长、表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克，这块 石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘 2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是 583.2千克。 16 / 41 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【对应练习 1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长 60厘米，往里面倒入 198升水，水面离水槽 口还有多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】水面高度＝水的体积÷水槽底面积，正方体棱长－水面高度＝水面离水 槽口距离，据此列式解答。 【详解】60厘米 6 分米  6 198 6 6   =6 198 36  =6 5.5 0.5 （分米） 5 （厘米） 答：水面离水槽口还有 5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【对应练习 2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为 72厘米，做这样一个纸板箱体积 是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正方体的棱长，再根据正 方体的体积公式：V＝a3，据此计算即可。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 答：做这样一个纸板箱体积是 216立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和体积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习 3】 有一个棱长为 6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为 7.5千克，这个铁 17 / 41 块重多少千克？ 【答案】1620千克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用 6×6×6即可求出正方体铁块 的体积，然后乘 7.5即可求出这个铁块的重量。据此解答。 【详解】6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重 1620千克。 【点睛】本题考查了正方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 【考点七】体积的扩倍问题。 【方法点拨】 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。 【典型例题】 一个正方体棱长扩大到原来的 2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大 到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】采用设数法解决此题。假设原来正方体的棱长为 1，棱长扩大到原来的 2倍后是 2。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，根据正方体的表面积公式分别计算出正方体原 来的表面积、扩大后的表面积；再用扩大后的表面积÷原来的表面积，求出表面 积扩大到原的几倍。 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体的体积公式分别计算出正方体原 来的体积、扩大后的体积；再用扩大后的体积÷原来的体积，求出体积扩大到原 的几倍。 【详解】假设原来正方体的棱长为 1。 2×1＝2 2×2×6÷（1×1×6） ＝24÷6 ＝4 18 / 41 2×2×2÷（1×1×1） ＝8÷1 ＝8 所以，表面积扩大原来的 4倍，体积扩大到原来的 8倍。 【点睛】当正方体的棱长扩大到原来的 n倍时，它的表面积就扩大到原来的 n2 倍；它的体积就扩大到原来的 n3倍。 【对应练习 1】 一个长方体的长、宽、高都扩大 3倍，它的表面积扩大到原来的( )倍， 体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 9 27 【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式：V＝abh， 设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再用现在的 长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积，就是表面 积扩大的倍数，同理得出体积扩大的倍数。 【详解】可以设原来的长、宽、高分别为 a、b、h， 则原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2 现在的表面积：（3a×3b＋3a×3h＋3b×3h）×2 ＝（9ab＋9ah＋9bh）×2 ＝（ab＋ah＋bh）×18 现在的表面积是原来的： （ab＋ah＋bh）×18÷（ab＋ah＋bh）×2＝9 原来的体积：abh 现在的体积：3a×3b×3h＝27abh 现在的体积是原来的：27abh÷abh＝27 所以一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，则表面积扩大到原来的 9 倍，体积扩大到原来的 27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，以及因数与 积的变化规律的应用。 【对应练习 2】 19 / 41 一个正方体的棱长是 4cm，现将棱长扩大为原来的 3倍，它的表面积扩大为原来 的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【答案】 9 1728立方厘米/1728cm3 【分析】正方体的棱长是 4cm，则棱长扩大为原来的 3倍后，棱长为（3×4）cm， 分别求出扩大前后的表面积和体积，用扩大后的表面积除以原来的表面积，就是 表面积扩大的倍数。 【详解】3×4＝12（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 864÷96＝9 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（cm3） 【点睛】灵活运用正方体表面积和体积公式是解决此题的关键。 【对应练习 3】 长方体的长、宽、高都扩大到原来的 2倍，它的表面积扩大( )倍，体积 扩大( )倍。 【答案】 4 8 【分析】假设出原来长方体的长、宽、高，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长 ×高＋宽×高）×2”求出原来长方体的表面积和现在长方体的表面积，再用除法求 出长方体的表面积扩大的倍数，然后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出原来长 方体的体积和现在长方体的体积，最后求出长方体的体积扩大的倍数，据此解答。 【详解】假设原来长方体的长为 2厘米，宽为 1厘米，高为 3厘米，则现在长方 体的长为 4厘米，宽为 2厘米，高为 6厘米。 原来的表面积：（2×1＋2×3＋1×3）×2 20 / 41 ＝（2＋6＋3）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） 现在的表面积：（4×2＋4×6＋2×6）×2 ＝（8＋24＋12）×2 ＝44×2 ＝88（平方厘米） 88÷22＝4 原来的体积：2×1×3 ＝2×3 ＝6（立方厘米） 现在的体积：4×2×6 ＝8×6 ＝48（立方厘米） 48÷6＝8 所以，长方体的长、宽、高都扩大到原来的 2倍，它的表面积扩大 4倍，体积扩 大 8倍。 【点睛】长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 a倍，则长方体的表面积扩大到 原来的 a2倍，体积扩大到原来的 a3倍。 【考点八】折叠问题。 【方法点拨】 根据折叠图，求出长方体对应的长、宽、高，再求体积。 【典型例题】 一块长80cm、宽 40cm的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长10cm的 正方形，然后做成盒子。 21 / 41 （1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？ （2）它的容积是多少？ 解析： （1）80×40－10×10×4 ＝3200－400 ＝2800（平方厘米） 答：这个盒子用了 2800平方厘米的铁皮。 （2）    80 10 2 40 10 2 10      60 20 10   12000 （立方厘米） 答：它的容积是 12000立方厘米。 【对应练习 1】 在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮 厚度忽略不计） 解析： 长：25-5×2=15（分米） 宽：20-5×2=10（分米） 高：5分米 答：略。 【对应练习 2】 一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为 3cm的正方形，然后做 成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 解析：表面积：26×21-3×3×4=510（平方厘米） 22 / 41 体积：（26-3×2）×（21-3×2）×3=900（立方厘米） 答：略。 【对应练习 3】 在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为 4cm的正方形后，正好可以折 成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？ 解析：40×30-4×4×4=1136（平方厘米） 答：略。 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 长方体和正方体之间经过熔铸、锻造，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 【【典型例题】 一个正方体实心铁块的棱长总和是 48分米，现将它熔铸成一个底面积是 32平方 分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？ 解析： 48÷12＝4（分米） 4×4×4÷32 ＝16×4÷32 ＝64÷32 ＝2（分米） 答：熔铸成的实心长方体铁块的高是 2分米。 【对应练习 1】 把一块棱长为 10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长 2.5分米，宽 2分米的长方 体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 解析： 10×10×10＝1000（立方厘米）＝1（立方分米） 23 / 41 1÷（2.5×2） ＝1÷5 ＝0.2（分米） 答：这块钢板有 0.2分米厚。 【对应练习 2】 因为需要，工厂把一个棱长为 6分米的正方体钢坯锻造成了一个长 18分米、宽 4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？ 解析： 6×6×6÷18÷4 ＝216÷18÷4 ＝3（分米） 答：这个新钢坯的高是 3分米。 【对应练习 3】 把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的长方 体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔 铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个 长方体铁块的长。 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是 50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题。 【方法点拨】 长方体和正方体中水的互相转移，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 24 / 41 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长 6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为 30平方分米，高为 10分米的长方体水槽中，水深多少？ 解析： 6×6×6÷30 ＝216÷30 ＝7.2（分米） 答：水深 7.2分米。 【对应练习 1】 一个棱长是 12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为 18分米，宽 为 10分米，高为 12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 解析： 12×12×12÷（18×10） ＝1728÷180 ＝9.6（分米） 答：水深 9.6分米。 【对应练习 2】 一个棱长是 10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长 25厘米，宽 4厘米， 高 20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用 10×10×10即可求出水的体积， 再根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积÷25÷4即可求出水位。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000÷25÷4＝10（厘米） 答：这时的水位是 10厘米。 【点睛】本题主要考查了正方体体积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练 掌握相关公式。 【对应练习 3】 在甲箱中装入水，水深为 15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？ 25 / 41 【答案】7.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，用甲箱的底面积乘水的高度即可求 出水的体积，再用水的体积除以乙箱的底面积即可求出这些水在乙箱的水深。 【详解】30 5 15  ＝150×15 ＝2250（平方厘米） 2250 (20 15)  ＝2250÷300 ＝7.5（厘米） 答：水深为 7.5厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题。 【方法点拨】 水在长方体中不同位置的放置，底面在改变，但体积始终不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有 5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面 把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 解析： 30×10×5÷（10×15） ＝300×5÷150 26 / 41 ＝1500÷150 ＝10（厘米） 答：这时水深 10厘米。 【对应练习 1】 有一个长方体容器，长 40厘米，宽 20厘米，高 15厘米，里面的水深 6厘米。 如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 解析： 40×20×6 ＝800×6 ＝4800（立方厘米） 4800÷20÷15 ＝240÷15 ＝16（厘米） 答：竖起来后水深是 16厘米。 【对应练习 2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深 8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在 的底面长 10厘米、宽 8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 解析： 20×10×8÷（10×8） ＝200×8÷80 ＝1600÷80 27 / 41 ＝20（厘米） 答：这时里面的水深是 20厘米。 【对应练习 3】 一个长方体的容器（如图），长是 20厘米，宽是 10厘米，高是 8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深 5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如 右图），使长 10厘米、宽 8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【答案】（1）880平方厘米 （2）12.5厘米 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值 进行计算即可； （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水的体积，再用水的体积除以 竖放时长方体的底面积即可求出此时水的高度。 【详解】（1）（20×10＋20×8＋10×8）×2 ＝（200＋160＋80）×2 ＝440×2 ＝880（平方厘米） 答：它的表面积是 880平方厘米。 （2）20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000÷（8×10） ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深是 12.5厘米。 28 / 41 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题】 一根长 1米的长方体木料锯成 2段后，表面积增加了 6平方分米。这根木料的体 积是多少立方分米？如果每立方分米木料重 1.5千克，这根木料重多少千克？ 解析： 1米＝10分米 6÷2×10 ＝3×10 ＝30（立方分米） 29 / 41 1.5×30＝45（千克） 答：这根木料的体积是 30立方分米，这根木料重 45千克。 【对应练习 1】 城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图） 后，表面积减少 54平方厘米，求长方体的表面积和体积。 解析： 54÷6＝9（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） 所以，正方体棱长是 3厘米，那么有： 长方体长：4×3＝12（厘米） 长方体表面积：12×3×4＋3×3×2 ＝144＋18 ＝162（平方厘米） 长方体体积：12×3×3＝108（立方厘米） 答：它的表面积是 162平方厘米，体积是 108立方厘米。 【对应练习 2】 一根长 12分米的木料，按下图横截成 3段后表面积增加了 100平方分米。原来 这根木料的体积是多少立方分米？ 解析： （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 100÷4×12 ＝25×12 ＝300（立方分米） 30 / 41 答：原来这根木料的体积是 300立方分米。 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题】 用 4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了 32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多 少？ 【答案】8立方厘米；16平方厘米 【分析】如图，拼成一个长方体后，表面积减少了 8个小正方形的面积，用 32 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·体积篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·体积篇 专题内容 本专题包括体积和容积单位的认识及换算、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变形问题、表面积的变化问题、排水法求不规则物体的体积等内容。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积与容积单位的认识 4 【考点二】体积与容积单位换算 5 【考点三】长方体的体积 5 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用 6 【考点五】正方体的体积 8 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用 8 【考点七】体积的扩倍问题 9 【考点八】折叠问题 10 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题 11 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题 12 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题 14 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一 15 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二 17 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三 18 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题 20 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深 21 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 22 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积 23 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积与容积单位的认识。 【方法点拨】 1.容积及容积单位。 容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 2.体积及体积单位。 体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 3.由于测量方法的不同，体积一般大于容积。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上合适的单位。 (1)一台冰箱所占的空间大约是1.2( )。 (2)一本数学书封面的面积大约是280( )。 2．（容积单位）在括号里填上“升”或“毫升”。 一辆汽车油箱的容量是50( )   一瓶眼药水大约13( ) 一袋牛奶大约200( )          一个电饭煲容量是4( ) 【对应练习1】 在括号里填上合适的单位。 一块香皂的体积约是15( )； 一个水杯的容积约是0.3( )。 【对应练习2】 一块橡皮的体积约10( )；一个矿泉水瓶容积是500( )。 【对应练习3】 在括号里填上合适的单位。 一个文具盒的体积是200( )    冰箱的容积约为200( ) 【考点二】体积与容积单位换算。 【方法点拨】 1.体积与容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 2.体积与容积单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3        850L＝( )m3 6400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL 【对应练习1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米    24.07立方米＝( )立方米( )立方分米 【对应练习2】 在括号里填上适当的数。 ＝( )L             ＝( ) 1250mL＝( )          680mL＝( )L 【对应练习3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL 【考点三】长方体的体积。 【方法点拨】 1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。 2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h； 3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h； 4.高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题1】反求高。 某工地运来9.6立方米的沙子，铺在一个长6米、宽2.5米的沙坑里，可以铺多厚？ 【典型例题2】求体积。 一个长方体的底面积是1.5平方米，高是0.6米，体积是( )。 【对应练习1】 用铁丝焊一个如图所示的长方体框架，至少要用铁丝( )cm，这个框架的体积是( )。 【对应练习2】 一个长方体的长是6cm，宽是5cm，高是3cm。这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 【对应练习3】 一个长方体的棱长之和是84cm，已知长方体的长是8cm，宽是6cm，这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？ 【对应练习1】 学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【对应练习2】 给一个新修的长55米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水大约需要多长时间？ 【对应练习3】 一个长方体油箱，从里面量长0.8m，宽0.24m，深0.5m，这个油箱能装油多少升？如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【考点五】正方体的体积。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 【典型例题】 棱长5米的正方体，它的表面积是( )m2，体积是( )m3。 【对应练习1】 一块棱长10cm的正方体冰块，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【对应练习2】 一个棱长6厘米的正方体，它的棱长和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【对应练习3】 一个正方体包装箱的棱长是3dm，它的棱长总和是( )dm，制作这个包装箱至少需要( )dm2纸皮（拼接处不计），这个包装箱的体积是( )dm3。 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【对应练习1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？ 【对应练习2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为72厘米，做这样一个纸板箱体积是多少立方厘米？ 【对应练习3】 有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 【考点七】体积的扩倍问题。 【方法点拨】 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。 【典型例题】 一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【对应练习1】 一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【对应练习2】 一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【对应练习3】 长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【考点八】折叠问题。 【方法点拨】 根据折叠图，求出长方体对应的长、宽、高，再求体积。 【典型例题】 一块长、宽的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长的正方形，然后做成盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？ （2）它的容积是多少？ 【对应练习1】 在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计） 【对应练习2】 一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 【对应练习3】 在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？ 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 长方体和正方体之间经过熔铸、锻造，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 【【典型例题】 一个正方体实心铁块的棱长总和是48分米，现将它熔铸成一个底面积是32平方分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？ 【对应练习1】 把一块棱长为10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长2.5分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 【对应练习2】 因为需要，工厂把一个棱长为6分米的正方体钢坯锻造成了一个长18分米、宽4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？ 【对应练习3】 把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题。 【方法点拨】 长方体和正方体中水的互相转移，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？ 【对应练习1】 一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 【对应练习2】 一个棱长是10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长25厘米，宽4厘米，高20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【对应练习3】 在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？      【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题。 【方法点拨】 水在长方体中不同位置的放置，底面在改变，但体积始终不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 【对应练习1】 有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 【对应练习2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 【对应练习3】 一个长方体的容器（如图），长是20厘米，宽是10厘米，高是8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如右图），使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了6平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，这根木料重多少千克？ 【对应练习1】 城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少54平方厘米，求长方体的表面积和体积。 【对应练习2】 一根长12分米的木料，按下图横截成3段后表面积增加了100平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？ 【对应练习1】 把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面积分别是多少？ 【对应练习2】 把2个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？ 2. 一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 【对应练习2】 一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题。 【方法点拨】 形状不规则的物体可以用排水法求体积： 排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高 【典型例题】 在一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体水箱中，水面高度为10厘米，一块石头后水面上升到14厘米。这块石头的体积是多少？ 【对应练习1】 一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一个土豆放入水中，这时量得容器中的水深18厘米，这个土豆的体积是多少？ 【对应练习2】 一个正方体玻璃容器，从内部测量棱长是20厘米，向容器中倒入一定的水，水面高度恰好是15厘米。再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没于水中，发现水面高度变成了18厘米。求这个铁块的体积。 【对应练习3】 在一个长16厘米，宽16厘米，高10厘米的玻璃缸里放一个铁球后再注满水淹没它，然后取出铁球，这时水面下降了3厘米。铁球的体积是多少？ 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 形状不规则的物体可以用排水法求体积： 排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高 【典型例题】 一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？ 【对应练习1】 在一个长16分米、宽8分米、高7分米的长方体玻璃缸里放水，水深5分米。如果在里面浸没一块棱长是4分米的正方体铁块，水面上升多少分米？ 【对应练习2】 一个长方体水族箱从里面量长，宽。如果每条金鱼的体积是，向水族箱中放入条金鱼(水没有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？ 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。 【方法点拨】 物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 【对应练习1】 一个长方体的玻璃水箱，长9分米，宽4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一个棱长4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？ 【对应练习2】 一个长方体玻璃缸（如图），水深6分米。如果投入一块边长5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 【对应练习3】 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？ 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积。 【方法点拨】 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 【对应练习1】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程） 【对应练习2】 计算下面几何体的体积。 【对应练习3】 如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。 【对应练习4】 如图，求下面零件的体积。（单位：厘米） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·体积篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·体积篇 专题内容 本专题包括体积和容积单位的认识及换算、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变形问题、表面积的变化问题、排水法求不规则物体的体积等内容。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积与容积单位的认识 4 【考点二】体积与容积单位换算 6 【考点三】长方体的体积 7 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用 10 【考点五】正方体的体积 13 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用 15 【考点七】体积的扩倍问题 17 【考点八】折叠问题 20 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题 22 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题 23 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题 25 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一 28 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二 30 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三 32 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题 34 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深 36 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 37 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积 39 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积与容积单位的认识。 【方法点拨】 1.容积及容积单位。 容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 2.体积及体积单位。 体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 3.由于测量方法的不同，体积一般大于容积。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上合适的单位。 (1)一台冰箱所占的空间大约是1.2( )。 (2)一本数学书封面的面积大约是280( )。 【答案】(1)立方米/m3 (2)平方厘米/cm2 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。体积是指物体所占的空间大小，常用单位是立方厘米、立方分米、立方米；一台冰箱所占的空间用立方米比较合适；常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米， 数学书封面的面积用平方厘米比较合适。 【详解】（1）一台冰箱所占的空间大约是1.2立方米。 （2）一本数学书封面的面积大约是280平方厘米。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 【答案】 升 毫升 毫升 升 【分析】根据生活经验、对容积单位和数据大小的认识，可知计量一辆汽车油箱的容量用“升”作单位，计量一瓶眼药水的容量用“毫升”作单位，计量一袋牛奶的容量用“毫升”作单位，计量一个电饭煲容量用“升”作单位；依此解答即可。 【详解】由分析可得： 一辆汽车油箱的容量是50升； 一瓶眼药水大约13毫升； 一袋牛奶大约200毫升； 一个电饭煲容量是4升。 2．（容积单位）在括号里填上“升”或“毫升”。 一辆汽车油箱的容量是50( )   一瓶眼药水大约13( ) 一袋牛奶大约200( )          一个电饭煲容量是4( ) 【对应练习1】 在括号里填上合适的单位。 一块香皂的体积约是15( )； 一个水杯的容积约是0.3( )。 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 【分析】根据生活经验、对体积、容积单位和数据大小的认识可知：计量一块香皂的体积用立方厘米作单位；计量一个水杯的容积用升作单位；据此解答。 【详解】一块香皂的体积约是15立方厘米； 一个水杯的容积约是0.3升。 【对应练习2】 一块橡皮的体积约10( )；一个矿泉水瓶容积是500( )。 【答案】 立方厘米/cm3 毫升/mL 【分析】根据生活经验、数据大小及对单位的认识可知：计量一块橡皮的体积用“立方厘米”作单位，计量一个矿泉水瓶容积用“毫升”作单位；据此解答。 【详解】一块橡皮的体积约10立方厘米； 一个矿泉水瓶容积是500毫升。 【对应练习3】 在括号里填上合适的单位。 一个文具盒的体积是200( )    冰箱的容积约为200( ) 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 【分析】根据生活实际，文具盒的体积常用立方厘米作单位，冰箱的容积常用升作单位。 【详解】一个文具盒的体积是200立方厘米；冰箱的容积约为200升。 【考点二】体积与容积单位换算。 【方法点拨】 1.体积与容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 2.体积与容积单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3        850L＝( )m3 6400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 40000 0.85 6.4 0.26 260 【分析】根据1dm3＝1000cm3，1m3＝1000L，1L＝1000mL，1dm3＝1L，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】40×1000＝40000（cm3）；850÷1000＝0.85（m3） 6400÷1000＝6.4（L）；0.26×1000＝260（mL） 40dm3＝40000cm3；850L＝0.85m3 6400mL＝6.4L；0.26dm3＝0.26L＝260mL 【对应练习1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米    24.07立方米＝( )立方米( )立方分米 【答案】 0.95 24 70 【分析】1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，据此解题。 【详解】在括号里填上合适的数。 950毫升＝0.95立方分米    24.07立方米＝24立方米70立方分米 【对应练习2】 在括号里填上适当的数。 ＝( )L             ＝( ) 1250mL＝( )          680mL＝( )L 【答案】 3080 2500 1.25 0.68 【分析】根据1m3＝1000L，1＝1000，1＝1000mL，1L＝1000mL，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】3.08×1000＝3080（L）；2.5×1000＝2500（） 1250÷1000＝1.25（）；680÷1000＝0.68（L） ＝3080L；＝2500 1250mL＝1.25；680mL＝0.68L 【对应练习3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 4.6 30000 5 700 42.07 42070 【分析】根据1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L＝1000mL，高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】4600÷1000＝4.6，即4600cm3＝4.6dm3 30×1000＝30000，即30L＝30000mL 5.7＝5＋0.7，0.7×1000＝700，即5.7m3＝5m3700dm3 42.07×1000＝42070，即42.07dm3＝42.07L＝42070mL 【考点三】长方体的体积。 【方法点拨】 1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。 2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h； 3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h； 4.高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题1】反求高。 某工地运来9.6立方米的沙子，铺在一个长6米、宽2.5米的沙坑里，可以铺多厚？ 解析： 9.6÷6÷2.5＝0.64（米） 答：可以铺0.64米。 【典型例题2】求体积。 一个长方体的底面积是1.5平方米，高是0.6米，体积是( )。 【答案】0.9立方米 【分析】“长方体的体积＝底面积×高”，据此解答即可。 【详解】1.5×0.6＝0.9（立方米） 【点睛】熟练掌握长方体的体积公式是解答本题的关键。 【对应练习1】 用铁丝焊一个如图所示的长方体框架，至少要用铁丝( )cm，这个框架的体积是( )。 【答案】 132 1200 【分析】长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】（15＋10＋8）×4 ＝33×4 ＝132（cm） 15×10×8＝1200（cm3） 用铁丝焊一个如图所示的长方体框架，至少要用铁丝132cm，这个框架的体积是1200cm3。 【对应练习2】 一个长方体的长是6cm，宽是5cm，高是3cm。这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 126 90 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】表面积： （6×5＋6×3＋5×3）×2 ＝（30＋18＋15）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 体积： 6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方厘米） 表面积是126平方厘米，体积是90立方厘米。 【点睛】熟练掌握长方体的表面积和体积公式是解题的关键。 【对应练习3】 一个长方体的棱长之和是84cm，已知长方体的长是8cm，宽是6cm，这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 292 336 【分析】根据题意，结合长方体的特征，先求出长方体的高，用长方体的棱长之和除以4，求出长、宽、高之和，再减去已知的长和宽的长度；再结合长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2以及长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据即可求出答案。 【详解】长方体的高：84÷4－（8＋6） ＝21－（8＋6） ＝21－14 ＝7（cm） 长方体的表面积：（8×6＋8×7＋6×7）×2 ＝（48＋56＋42）×2 ＝146×2 ＝292（） 长方体的体积：8×6×7 ＝48×7 ＝336（） 所以这个长方体的表面积是292，体积是336。 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】144升 【分析】观察图形可知，这个水槽从里面测量的长为10－1×2＝8分米，宽为8－1×2＝6分米，高为4－1＝3分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此求出这个水槽的容积，结果再根据1立方分米＝1升，把结果化为升作单位。 【详解】（10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是144升。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？ 【答案】13.5小时 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用50×30×1.8即可求出水深达到1.8米时水的体积，再除以200即可求出到达1.8米时需要的时间。 【详解】50×30×1.8＝2700（立方米）   2700÷200＝13.5（小时） 答：需要13.5小时。 【对应练习1】 学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）0.3米；（2）2160元；（3）见详解；34平方米 【分析】（1）长方体沙坑的底面积可利用长方形的面积公式求出，等于长乘宽，再利用长方体的体积公式：V＝Sh，用黄沙的体积除以长方体沙坑的底面积，即可求出铺沙子的厚度。 （2）已知长为6米、宽为4米、高为0.5米，这个沙坑填满沙子，则沙子的体积根据长方体的体积公式即可求出，再乘每立方米沙子的价格，求出需要的总价钱。 （3）可提出一个关于计算长方体表面积的题目，比如要把这个长方体沙坑改造成一个水池，四周及底部铺上瓷砖，那么求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？由于缺少上底面，实际上是求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出需要铺瓷砖的面积。 【详解】（1）7.2÷（6×4） ＝7.2÷24 ＝0.3（米） 答：可以铺厚度为0.3米高的沙子。 （2）6×4×0.5×180 ＝24×0.5×180 ＝2160（元） 答：需要2160元。 （3）提出问题：如果改造成一个水池，要在四周及底部铺上瓷砖，求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？ 6×4＋6×0.5×2＋4×0.5×2 ＝24＋6＋4 ＝34（平方米） 答：需要铺瓷砖的面积是34平方米。 （答案不唯一） 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，灵活运用公式解决问题。 【对应练习2】 给一个新修的长55米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水大约需要多长时间？ 【答案】9.9小时 【分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出注入水的体积，再除以每小时的注水量求出需要的注水时间，据此解答。 【详解】55×24×1.5÷200 ＝1320×1.5÷200 ＝1980÷200 ＝9.9（小时） 答：要注入深1.5米的水大约需要9.9小时。 【点睛】熟练掌握并灵活运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习3】 一个长方体油箱，从里面量长0.8m，宽0.24m，深0.5m，这个油箱能装油多少升？如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【答案】96L；192瓶 【分析】首先根据长方体的体积（容积）计算公式：长×宽×高，求出这个长方油箱的容积，再用长方油箱的容积除以瓶子的容积，即可求出能装满的瓶子数。 【详解】0.8m＝8dm，0.24m＝2.4dm，0.5m＝5dm 8×2.4×5 ＝19.2×5 ＝96（dm3） 96dm3＝96L 500mL＝0.5L 96÷0.5＝192（瓶） 答：这个油箱能装油96L，如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满192瓶。 【点睛】本题主要考查长方体的体积（容积）计算，关键是要熟练掌握计算公式和注意单位的统一。 【考点五】正方体的体积。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 【典型例题】 棱长5米的正方体，它的表面积是( )m2，体积是( )m3。 【答案】 150 125 【分析】正方体的表面积＝6×棱长×棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】6×5×5 ＝30×5 ＝150（m2） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（m3） 它的表面积是150m2，体积是125m3。 【点睛】此题考查正方体的表面积公式以及体积公式。 【对应练习1】 一块棱长10cm的正方体冰块，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 600 1000 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。把棱长10cm分别代入表面积、体积公式计算即可。 【详解】10×10×6 ＝100×6 ＝600（cm2） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（cm3） 所以，它的表面积是600cm2，体积是1000cm3。 【对应练习2】 一个棱长6厘米的正方体，它的棱长和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 72 216 216 【分析】由于正方体有12条棱长，棱长都相等，根据正方体棱长总和公式：棱长×12；正方体的表面积公式：棱长×棱长×6；体积公式：棱长×棱长×棱长；把数代入公式即可求解。 【详解】6×12＝72（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 一个棱长6厘米的正方体，它的棱长和是72厘米，表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米。 【对应练习3】 一个正方体包装箱的棱长是3dm，它的棱长总和是( )dm，制作这个包装箱至少需要( )dm2纸皮（拼接处不计），这个包装箱的体积是( )dm3。 【答案】 36 54 27 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此可求出它的棱长总和；求纸皮的面积就是求出正方体的表面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此代入数值进行计算即可；再根据正方体的体积公式：V＝a3，据此进行计算即可。 【详解】3×12＝36（dm） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（dm2） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（dm3） 则它的棱长总和是36dm，制作这个包装箱至少需要54dm2纸皮（拼接处不计），这个包装箱的体积是27dm3。 【点睛】本题考查正方体的总棱长、表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【对应练习1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】水面高度＝水的体积÷水槽底面积，正方体棱长－水面高度＝水面离水槽口距离，据此列式解答。 【详解】60厘米分米 （分米） （厘米） 答：水面离水槽口还有5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【对应练习2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为72厘米，做这样一个纸板箱体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，据此计算即可。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 答：做这样一个纸板箱体积是216立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和体积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习3】 有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 【答案】1620千克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体铁块的体积，然后乘7.5即可求出这个铁块的重量。据此解答。 【详解】6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重1620千克。 【点睛】本题考查了正方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 【考点七】体积的扩倍问题。 【方法点拨】 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。 【典型例题】 一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】采用设数法解决此题。假设原来正方体的棱长为1，棱长扩大到原来的2倍后是2。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，根据正方体的表面积公式分别计算出正方体原来的表面积、扩大后的表面积；再用扩大后的表面积÷原来的表面积，求出表面积扩大到原的几倍。 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体的体积公式分别计算出正方体原来的体积、扩大后的体积；再用扩大后的体积÷原来的体积，求出体积扩大到原的几倍。 【详解】假设原来正方体的棱长为1。 2×1＝2 2×2×6÷（1×1×6） ＝24÷6 ＝4 2×2×2÷（1×1×1） ＝8÷1 ＝8 所以，表面积扩大原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 【点睛】当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的表面积就扩大到原来的n2倍；它的体积就扩大到原来的n3倍。 【对应练习1】 一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 9 27 【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式：V＝abh，设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数，同理得出体积扩大的倍数。 【详解】可以设原来的长、宽、高分别为a、b、h， 则原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2 现在的表面积：（3a×3b＋3a×3h＋3b×3h）×2 ＝（9ab＋9ah＋9bh）×2 ＝（ab＋ah＋bh）×18 现在的表面积是原来的： （ab＋ah＋bh）×18÷（ab＋ah＋bh）×2＝9 原来的体积：abh 现在的体积：3a×3b×3h＝27abh 现在的体积是原来的：27abh÷abh＝27 所以一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，以及因数与积的变化规律的应用。 【对应练习2】 一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【答案】 9 1728立方厘米/1728cm3 【分析】正方体的棱长是4cm，则棱长扩大为原来的3倍后，棱长为（3×4）cm，分别求出扩大前后的表面积和体积，用扩大后的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数。 【详解】3×4＝12（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 864÷96＝9 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（cm3） 【点睛】灵活运用正方体表面积和体积公式是解决此题的关键。 【对应练习3】 长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【答案】 4 8 【分析】假设出原来长方体的长、宽、高，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出原来长方体的表面积和现在长方体的表面积，再用除法求出长方体的表面积扩大的倍数，然后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出原来长方体的体积和现在长方体的体积，最后求出长方体的体积扩大的倍数，据此解答。 【详解】假设原来长方体的长为2厘米，宽为1厘米，高为3厘米，则现在长方体的长为4厘米，宽为2厘米，高为6厘米。 原来的表面积：（2×1＋2×3＋1×3）×2 ＝（2＋6＋3）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） 现在的表面积：（4×2＋4×6＋2×6）×2 ＝（8＋24＋12）×2 ＝44×2 ＝88（平方厘米） 88÷22＝4 原来的体积：2×1×3 ＝2×3 ＝6（立方厘米） 现在的体积：4×2×6 ＝8×6 ＝48（立方厘米） 48÷6＝8 所以，长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积扩大4倍，体积扩大8倍。 【点睛】长方体的长、宽、高同时扩大到原来的a倍，则长方体的表面积扩大到原来的a2倍，体积扩大到原来的a3倍。 【考点八】折叠问题。 【方法点拨】 根据折叠图，求出长方体对应的长、宽、高，再求体积。 【典型例题】 一块长、宽的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长的正方形，然后做成盒子。 （1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？ （2）它的容积是多少？ 解析： （1）80×40－10×10×4 ＝3200－400 ＝2800（平方厘米） 答：这个盒子用了2800平方厘米的铁皮。 （2） （立方厘米） 答：它的容积是12000立方厘米。 【对应练习1】 在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计） 解析： 长：25-5×2=15（分米） 宽：20-5×2=10（分米） 高：5分米 答：略。 【对应练习2】 一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 解析：表面积：26×21-3×3×4=510（平方厘米） 体积：（26-3×2）×（21-3×2）×3=900（立方厘米） 答：略。 【对应练习3】 在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？ 解析：40×30-4×4×4=1136（平方厘米） 答：略。 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 长方体和正方体之间经过熔铸、锻造，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 【【典型例题】 一个正方体实心铁块的棱长总和是48分米，现将它熔铸成一个底面积是32平方分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？ 解析： 48÷12＝4（分米） 4×4×4÷32 ＝16×4÷32 ＝64÷32 ＝2（分米） 答：熔铸成的实心长方体铁块的高是2分米。 【对应练习1】 把一块棱长为10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长2.5分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 解析： 10×10×10＝1000（立方厘米）＝1（立方分米） 1÷（2.5×2） ＝1÷5 ＝0.2（分米） 答：这块钢板有0.2分米厚。 【对应练习2】 因为需要，工厂把一个棱长为6分米的正方体钢坯锻造成了一个长18分米、宽4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？ 解析： 6×6×6÷18÷4 ＝216÷18÷4 ＝3（分米） 答：这个新钢坯的高是3分米。 【对应练习3】 把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题。 【方法点拨】 长方体和正方体中水的互相转移，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？ 解析： 6×6×6÷30 ＝216÷30 ＝7.2（分米） 答：水深7.2分米。 【对应练习1】 一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 解析： 12×12×12÷（18×10） ＝1728÷180 ＝9.6（分米） 答：水深9.6分米。 【对应练习2】 一个棱长是10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长25厘米，宽4厘米，高20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用10×10×10即可求出水的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积÷25÷4即可求出水位。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000÷25÷4＝10（厘米） 答：这时的水位是10厘米。 【点睛】本题主要考查了正方体体积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【对应练习3】 在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？      【答案】7.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，用甲箱的底面积乘水的高度即可求出水的体积，再用水的体积除以乙箱的底面积即可求出这些水在乙箱的水深。 【详解】 ＝150×15 ＝2250（平方厘米） ＝2250÷300 ＝7.5（厘米） 答：水深为7.5厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题。 【方法点拨】 水在长方体中不同位置的放置，底面在改变，但体积始终不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 解析： 30×10×5÷（10×15） ＝300×5÷150 ＝1500÷150 ＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 【对应练习1】 有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 解析： 40×20×6 ＝800×6 ＝4800（立方厘米） 4800÷20÷15 ＝240÷15 ＝16（厘米） 答：竖起来后水深是16厘米。 【对应练习2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 解析： 20×10×8÷（10×8） ＝200×8÷80 ＝1600÷80 ＝20（厘米） 答：这时里面的水深是20厘米。 【对应练习3】 一个长方体的容器（如图），长是20厘米，宽是10厘米，高是8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如右图），使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【答案】（1）880平方厘米 （2）12.5厘米 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可； （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水的体积，再用水的体积除以竖放时长方体的底面积即可求出此时水的高度。 【详解】（1）（20×10＋20×8＋10×8）×2 ＝（200＋160＋80）×2 ＝440×2 ＝880（平方厘米） 答：它的表面积是880平方厘米。 （2）20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000÷（8×10） ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深是12.5厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了6平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，这根木料重多少千克？ 解析： 1米＝10分米 6÷2×10 ＝3×10 ＝30（立方分米） 1.5×30＝45（千克） 答：这根木料的体积是30立方分米，这根木料重45千克。 【对应练习1】 城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少54平方厘米，求长方体的表面积和体积。 解析： 54÷6＝9（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） 所以，正方体棱长是3厘米，那么有： 长方体长：4×3＝12（厘米） 长方体表面积：12×3×4＋3×3×2 ＝144＋18 ＝162（平方厘米） 长方体体积：12×3×3＝108（立方厘米） 答：它的表面积是162平方厘米，体积是108立方厘米。 【对应练习2】 一根长12分米的木料，按下图横截成3段后表面积增加了100平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 解析： （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 100÷4×12 ＝25×12 ＝300（立方分米） 答：原来这根木料的体积是300立方分米。 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？ 【答案】8立方厘米；16平方厘米 【分析】如图，拼成一个长方体后，表面积减少了8个小正方形的面积，用32除以8可求出其中一个小正方形的面积为4平方厘米，所以小正方形的边长为2厘米，即小正方体的棱长为2厘米，根据正方体的体积公式即可求出每个小正方体的体积；长方体的长和宽都为（2＋2）厘米，利用长乘宽即可求出拼成的这个长方体的底面积。 【详解】32÷8＝4（平方厘米） 因为2×2＝4（平方厘米） 所以小正方体的棱长是2厘米。 2×2×2＝8（立方厘米） （2＋2）×（2＋2） ＝4×4 ＝16（平方厘米） 答：每个小正方体的体积是8立方厘米，拼成的这个长方体的底面积是16平方厘米。 【点睛】此题主要考查立体图形的拼接，熟练运用正方体的体积和长方体的底面积公式，弄清减少的是几个面的面积是解题的关键。 【对应练习1】 把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面积分别是多少？ 【答案】体积：6.75立方分米；表面积：22.5平方分米 【分析】把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，则该长方体的长为1.5×2＝3分米，宽是1.5分米，高是1.5分米，根据长方体的体积公式：V＝abh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】1.5×2＝3（分米） 3×1.5×1.5 ＝4.5×1.5 ＝6.75（立方分米） （3×1.5＋3×1.5＋1.5×1.5）×2 ＝（4.5＋4.5＋2.25）×2 ＝11.25×2 ＝22.5（平方分米） 答：这个长方体的体积是6.75立方分米，表面积是22.5平方分米。 【点睛】本题考查长方体的体积和表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习2】 把2个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】592平方厘米；960立方厘米 【分析】将两个同样的长方体最大的面拼起来，拼成的长方体表面积最小，求出两个长方体表面积和，减去最大的面×2即可；拼成的长方体体积是两个小长方体体积和，据此分析。 【详解】（10×8＋10×6＋8×6）×2×2－10×8×2 ＝（80＋60＋48）×4－160 ＝188×4－160 ＝752－160 ＝592（平方厘米） 10×8×6×2＝960（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是592平方厘米，体积是960立方厘米。 【点睛】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？ 解析： 10×10×10－10×10×（10－4） ＝1000－100×6 ＝1000－600 ＝400（立方厘米） 答：体积增加了400立方厘米。 2. 一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 84÷4÷3 ＝21÷3 ＝7（厘米） 7＋3＝10（厘米） 7×7×10 ＝49×10 ＝490（立方厘米） 答：原长方体的体积是490立方厘米。 【对应练习1】 一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 解析： 72÷3＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） 6＋3＝9（厘米） 6×6×9＝324（立方厘米） 答：新长方体的体积是324立方厘米。 【对应练习2】 一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 根据分析得，84÷4＝21（平方厘米） 21÷3＝7（厘米） 7－3＝4（厘米） 7×7×4＝196（立方厘米） 答：原来长方体的体积是196立方厘米。 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题。 【方法点拨】 形状不规则的物体可以用排水法求体积： 排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高 【典型例题】 在一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体水箱中，水面高度为10厘米，一块石头后水面上升到14厘米。这块石头的体积是多少？ 解析： 20×15×（14－10） ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 答：这块石头的体积是1200立方厘米。 【对应练习1】 一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一个土豆放入水中，这时量得容器中的水深18厘米，这个土豆的体积是多少？ 解析： 6升＝6立方分米 18厘米＝1.8分米 2×2×1.8 ＝4×1.8 ＝7.2（立方分米） 7.2－6＝1.2（立方分米） 答：这个土豆的体积是1.2立方分米。 【对应练习2】 一个正方体玻璃容器，从内部测量棱长是20厘米，向容器中倒入一定的水，水面高度恰好是15厘米。再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没于水中，发现水面高度变成了18厘米。求这个铁块的体积。 解析： 20×20×（18－15） ＝400×3 ＝1200（立方厘米） 答：这个铁块的体积是1200立方厘米。 【对应练习3】 在一个长16厘米，宽16厘米，高10厘米的玻璃缸里放一个铁球后再注满水淹没它，然后取出铁球，这时水面下降了3厘米。铁球的体积是多少？ 解析： 16×16×3 ＝256×3 ＝768（立方厘米） 答：铁球的体积是768立方厘米。 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 形状不规则的物体可以用排水法求体积： 排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高 【典型例题】 一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？ 解析： 现在水的体积：25×18×20=9000（立方厘米） 正方体铁块的体积：3×3×3=27（立方厘米） 取出铁块后的体积：9000-27=8973（立方厘米） 现在水深：8973÷25÷18=19.94（厘米） 答：略。 【对应练习1】 在一个长16分米、宽8分米、高7分米的长方体玻璃缸里放水，水深5分米。如果在里面浸没一块棱长是4分米的正方体铁块，水面上升多少分米？ 解析： 4×4×4÷（16×8）=0.5（分米） 答：略。 【对应练习2】 一个长方体水族箱从里面量长，宽。如果每条金鱼的体积是，向水族箱中放入条金鱼(水没有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？ 解析： 640×3÷（32×25）=2.4（厘米） 答：略。 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。 【方法点拨】 物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 解析： 2×2×2＝8（立方分米） 7升＝7立方分米 15×10×8 ＝150×8 ＝1200（立方厘米） 1200立方厘米＝1.2立方分米 7＋1.2＝8.2（立方分米） 8.2立方分米＞8立方分米 8.2－8＝0.2（立方分米） 0.2立方分米＝0.2升 答：玻璃容器里的水会溢出，溢出的水有0.2升。 【对应练习1】 一个长方体的玻璃水箱，长9分米，宽4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一个棱长4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？ 解析： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 9×4×（5－3） ＝36×2 ＝72（立方分米） 64＜72 答：水箱里的水不会溢出来，因为铁块的体积小于无水部分的体积。 【对应练习2】 一个长方体玻璃缸（如图），水深6分米。如果投入一块边长5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 解析： 5×5×5－9×6×（8－6） ＝25×5－54×2 ＝125－108 ＝17（立方分米） ＝17（升） 答：缸里的水会溢出17升。 【对应练习3】 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？ 解析： 4×4×4－8×7×（6－5.5） ＝64－56×0.5 ＝64－28 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 答：缸里的水溢出36升。 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积。 【方法点拨】 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 解析： 如图所示： 6×10×2＋2×（4－2）×10 ＝60×2＋2×2×10 ＝120＋40 ＝160（立方米） 答：这个建筑构件的体积是160立方米。 【对应练习1】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程） 解析： 10×10×20－5×5×20 ＝100×20－25×20 ＝2000－500 ＝1500（cm3） 答：这个物体的体积是1500cm3。 【对应练习2】 计算下面几何体的体积。 解析： 2×2×2＋8×2×5 ＝8＋80 ＝88（cm3） 【对应练习3】 如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。 解析： 表面积：4×4×4+8×8×6=448（平方分米） 体积：8×8×8-4×4×4=448（立方分米） 【对应练习4】 如图，求下面零件的体积。（单位：厘米） 解析：8×12×4-4×4×4 =384-64 =320（立方厘米） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$