精品解析：2024年上海市普陀区三校中考联考数学试题

2024学年普陀区三校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 计算结果等于2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项符合题意； B、，则此项不符合题意； C、，则此项不符合题意； D、，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键． 2. 下列图形是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意； B、是中心对称图形，此项符合题意； C、不是中心对称图形，此项不符合题意； D、不是中心对称图形，此项不符合题意； 故选：B． 3. 已知二次函数，当时，此函数最大值与最小值的差（    ） A. 与的值都有关 B. 与的值都无关 C. 与的值都有关，与的值无关 D. 与的值都有关，与的值无关 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，由与及的关系可得函数最大值与最小值与及的值有关，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口上，对称轴为直线，函数最小值为， 将代入得， 将代入得， 当时，时取最大值，时取最小值， 当时，时取最大值，时取最小值， 都含有项， 函数取最大值与最小值与的值有关，与的值无关 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 4. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50”，可列二元一次方程；又根据“甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50” 可列二元一次方程，即得出关于x，y的二元一次方程组，即可选择． 【详解】根据题意可列方程组： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5. 如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ） A. （1）与（2）的周长之差 B. （3）的面积 C. （1）与（3）的面积之差 D. 长方形的周长 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，则长方形面积为：，再分析选项即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为， 则长方形面积为：， ∵（1）（2）是两个面积相等的梯形， ∴， ∴，即， ∴长方形面积为：， ∵（1）与（2）的周长之差为：， ∴A选项的条件不能求出长方形面积； ∵（3）的面积为：， ∴B选项的条件不能求出长方形面积； ∵（1）与（3）的面积之差为：， ∴C选项的条件不能求出长方形面积； 长方形的周长为：， ∴D选项的条件能求出长方形面积． 故选：D 【点睛】本题考查正方形面积，梯形面积，长方形面积和周长，整式的混合运算，掌握面积的计算公式及整式混合运算法则是解题的关键． 6. 如图，小明同学利用计算机软件绘制函数，，根据学习函数的经验，可以知道的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由可得：的函数图象要在的图象的上方，再利用函数图象可得答案． 【详解】解：由可得： 的函数图象要在的图象的上方， 或． 故选：C 【点睛】本题考查的是利用函数图象的交点坐标求解不等式的解集，利用数形结合的方法进行分析是解题的关键． 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】提取公因式a即可得出答案． 【详解】原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，找出因式是解题的关键． 8. 当a，b满足关系式______时，分式的值为． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 9. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围．解题的关键是掌握：分式的分母不为．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴函数的定义域为． 故答案为：． 10. 平面直角坐标系中，点沿x轴正方向平移4个单位，得点，则_________． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据平移的规律，沿x轴正方向平移4个单位，横坐标纵加4，坐标不变，得到a、b的方程，解得再代入即可． 【详解】点沿x轴正方向平移4个单位，得点， ∴a+4=8，b=3， 解得a=4，b=3， ∴， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查平移的规律，沿着x轴平移，只变横坐标不变纵坐标，沿着y轴平移，只变纵坐标不变横坐标，熟练掌握取规律是解题的关键． 11. 数学何老师网购了一本《魔法数学》，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多25元．”丙说：“至多20元．”何老师说：“你们三个人中只有一人说对了”．则这本书的价格（元）所在的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出不等式组解答即可． 【详解】解：根据题意可得：， ∵三个人中只有一人说对了， ∴这本书的价格x（元）所在的范围为x＞25． 故答案为：x＞25． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答． 12. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解． 【详解】解：如图， 设正六边形的中心是O，其一边是AB， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形ABCO是菱形， ∵AB=a，∠AOB=60°， ∴cos∠BAC=， ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， ∴AM=MC=AC， ∵AC=20mm， ∴a=AB=（mm）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键． 13. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 【答案】101 【解析】 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故答案为：101 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 14. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百米测试，每人5场测试成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 10 10.1 10 10 2 1.6 2.5 1.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 __． 【答案】丁 【解析】 【分析】根据平均数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度． 【详解】甲、丙、丁的平均数较小， 丁的方差甲的方差丙的方差， 丁比较稳定， 成绩较好状态稳定的运动员是丁， 故答案为：丁． 【点睛】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于______． 【答案】 【解析】 【分析】判断平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形，再根据概率的意义求解即可． 【详解】解：在平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆这5个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、圆共3个， 因此从平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中任意抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的意义，平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，理解概率的意义，掌握平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，是正确解答的前提． 16. 如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则=_______（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质求解．本题考查了翻折变换，掌握翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于，交于点， 将沿直线翻折，点落在边上的点处， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴ 故答案为：． 17. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在AD上，AE=1，连接BE，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点F恰好落在对角线AC上，作FG⊥AC交边AD于点G，则FG=__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设BE交AF于点H，由折叠性质可知BE为AF的垂直平分线，AH=HF，再证明△ABE∽△DAC，列出比例式求出AB=2，进而得BE=，由，可得．再根据三角函数求出EH的长，最后证明AHE∽△AFG，列出比例式求得FG的长． 【详解】解：设BE交AF于点H，如图所示． 由折叠性质可知BE为AF的垂直平分线，AH=HF． ∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABH=90°， ∴∠DAC=∠ABH， 又∵∠D=∠EAB=90°， ∴△ABE∽△DAC． ∴，可得AB•DC=DA•AE，又AB=CD， ∴AB2=DA•AE=4×1=4， ∴AB=2． ∴． ∴，． 又∠DAC=∠ABH， ∴， ∴． 又∴∠EHF=∠GFC=90°， ∴△AHE∽△AFG， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的性质，锐角三角函数的定义，翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18. 如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、C点（A、C点在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交的图象于点，过点C作x轴的垂线交的图象于点E，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则四边形的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题为反比例函数与几何的综合．考查关于原点成中心对称的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，二元一次方程组的应用，矩形的性质，综合性强，为压轴题．正确的作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键． 设，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，可得，求得，再将三角形与梯形相关的线段用t的代数式表示出来，再利用三角形、梯形面积公式即可求得答案． 【详解】解：设，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，如图， ，两点关于原点中心对称， ． 轴，且点在反比例函数上， ． 点A是的中点， 点的坐标为． 点在反比例函数图象上， ， 整理，得：①， ，． ， ，即， ②， 联立①②，得， 解得：， ，，， ，，，，，． ； 故答案为：12． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，零次幂的性质和绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：原式＝． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数，实数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解法，理解一元一次不等式组解法是解答关键． 21. 如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE． （1）求证：． （2）若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ； 【小问2详解】 ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 22. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． （1）求线段的函数表达式（写出的取值范围）． （2）当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． （3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 【答案】（1）（8≤x≤40） （2）的横坐标为22.5，成绩未达标 （3）①a与成反比例函数关系，，验证见解析；②当m/s时，运动员的成绩恰能达标 【解析】 【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【小问1详解】 解：由图2可知：， 设CE：， 将代入， 得：，解得， ∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）． 【小问2详解】 当时，，由题意得， 解得 ∴的横坐标为22.5． ∵22.5＜32， ∴成绩未达标． 【小问3详解】 ①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将（100，0.250）代入得解得， ∴． 将（150，0.167）代入验证：， ∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式． ②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得 由得， 又∵， ∴， ∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． 23. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，进而可以解决问题； （2）延长交于M，由于交于点O．然后由，可以求得结论． 【小问1详解】 解：由于交于点O， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长交于M，设R为的外接圆半径，交于点O． ∵， 同理有：，， 代入， 得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”． （1）如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； （2）记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质可知，利用勾股定理逐一计算即可得到答案；②根据题意，点由两种情况，作轴，根据菱形的性质和面积可知，，利用勾股定理求得的长度，当点在点的上方，得到，当点在点的上方，得到，即可得到点坐标； （2）过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件．根据菱形的性质、等腰三角形性质和三角形内角和可证明，当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”符合题意，此时取得最小值，可根据计算得到；当线段与线段的点与点重叠时，此时t取得最大值，根据点、在可得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①的坐标是 四边形是菱形 点，，， ，，， 点，点的“菱点” 故答案为：，． ②根据题意，点有两种情况， 四边形是菱形 ， 如图所示，作轴交轴于，则 菱形的面积是2 ，即 当点在点的正上方， 当点在点的正下方， 点的坐标为或． 【小问2详解】 如图1，过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件． 图1中，四边形、是菱形， ，，， ，，， ， ， 当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”， 此时取得最小值，如图2所示， 四边形是菱形， ， 又 ， 此时 ，解得： 当线段与线段的点与点重叠时，点有两条“菱线段”，此时取得最大值，如图3所示， 此时点、在 当时，满足条件． 故答案为：． 【点睛】本题考查了理解“菱点”和“菱线段”的定义，菱形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解“菱线段”的定义和熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 25. 在中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，若与相切，求此时的半径r； （3）在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其r的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形性质和同弧所对圆周角相等推出，再结合等腰三角形的性质推出，即可求证； （2）连接并延长交于点H，连接，根据，推出，从而得到，证明，得到，再利用同一个三角形面积不变性求解出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出半径； （3）连接，，，作，根据条件推出，利用垂径定理和圆周角定理推出，再利用三角函数即可求得线段MN和半径r之间的数量关系． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵ ∴ ∵圆内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 如图2，连接并延长交于点H，连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴为的垂直平分线，即 又∵与相切，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在中， 在中，， 即：，解得． 当与相切时，的半径r为． 【小问3详解】 如答图3，连接，，，作， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 即． 【点睛】本题考查了圆的综合题型，涉及到了等腰三角形的性质、垂直平分线的判定、圆周角定理、平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、同一个三角形的面积不变性、三角函数等知识点，解题的关键是能够正确作出辅助线，熟练运用各知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年普陀区三校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 计算结果等于2的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，当时，此函数最大值与最小值的差（    ） A. 与的值都有关 B. 与的值都无关 C. 与的值都有关，与的值无关 D. 与的值都有关，与的值无关 4. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ） A. （1）与（2）的周长之差 B. （3）的面积 C. （1）与（3）的面积之差 D. 长方形的周长 6. 如图，小明同学利用计算机软件绘制函数，，根据学习函数的经验，可以知道的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：____________． 8. 当a，b满足关系式______时，分式的值为． 9. 函数的定义域为_________． 10. 平面直角坐标系中，点沿x轴正方向平移4个单位，得点，则_________． 11. 数学何老师网购了一本《魔法数学》，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多25元．”丙说：“至多20元．”何老师说：“你们三个人中只有一人说对了”．则这本书的价格（元）所在的范围为________． 12. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm． 13. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 14. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百米测试，每人5场测试成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 10 10.1 10 10 2 1.6 2.5 1.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 __． 15. 如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于______． 16. 如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则=_______（用表示） 17. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在AD上，AE=1，连接BE，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点F恰好落在对角线AC上，作FG⊥AC交边AD于点G，则FG=__________________． 18. 如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、C点（A、C点在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交的图象于点，过点C作x轴的垂线交的图象于点E，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则四边形的面积为_____． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：． 21. 如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE． （1）求证：． （2）若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长． 22. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． （1）求线段的函数表达式（写出的取值范围）． （2）当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． （3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 23. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”． （1）如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； （2）记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 25. 在中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，若与相切，求此时的半径r； （3）在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $