第六章：数列（模块综合调研卷）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第六章：数列（模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知等差数列中，，，则（    ） A．600 B．608 C．612 D．620 2．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 3．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ） A．或 B．或 C． D． 4．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（    ） A．5或16 B．5或32 C．5或16或4 D．5或32或4 7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 10．已知数列满足，，则（    ） A．数列单调递减 B． C． D． 11．如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k= 13．已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 14．已知函数，数列满足，，，则 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．数列满足，且 (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，． (1)求，，； (2)求数列的前n项和． 17．已知数列中， (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围. 18．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，． (1)求，的通项公式； (2)已知，求：； (3)求证：． 19．若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章：数列（模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知等差数列中，，，则（    ） A．600 B．608 C．612 D．620 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式并求出和. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 因此，， 显然构成等差数列， 所以. 故选：B 2．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】 根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可； 【详解】 法一：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由，得，即，所以， 解得，则. 故选：C. 法二：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，， 所以，所以. 故选：C. 3．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据在时取得极值，可求得，，代回验证可得，，再根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意， 因为在时取得极值， 所以， 解得或， 当，时， ， 所以在上单调递增，不合题意， 当，时， ， 所以时，， 时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得极小值，满足题意， 所以， 又，，同号， 所以. 故选：. 4．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和的性质及和与项的关系即可求解. 【详解】由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， ， 所以. 故选：C 5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的关系式可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再由是递增数列可得恒成立，即可得. 【详解】当时，，解得； 当时，由，得， 两式相减得， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得，所以； 因为数列是递增数列，所以对于任意的恒成立， 即，即恒成立， 因为时，取得最小值3，故， 即的取值范围是. 故选：C. 6．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（    ） A．5或16 B．5或32 C．5或16或4 D．5或32或4 【答案】B 【分析】根据“角谷猜想”的规则，由倒推的值. 【详解】由题知，因为，则有： 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则； 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，； 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且； 若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且； 若为奇数，则，可得；若为偶数，则. 综上所述：或32. 故选：B 7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 【答案】A 【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析判断. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，， 则，解得， 令， 可得，此时满足只有成立； 若，则， （1）若为奇数，则，不满足； （2）若为偶数，则，且， 即，可得，即不成立； 综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1. 故选：A. 8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义求得数列的递推公式，然后代入可得的递推公式，根据递推公式可知为等比数列，然后由等比数列求和公式可得. 【详解】由可得，， ，则两边取对数可得. 即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 故选：A. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 【答案】BCD 【分析】根据题意，分别求得，，，得到数列构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解． 【详解】解：由题意，数列满足， ， 当时，，当时，，A错误； 当时，； 若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，. 所以数列是以4为周期的周期数列. 故，B正确： 又由，故递增，C正确； 由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确． 故选：BCD． 10．已知数列满足，，则（    ） A．数列单调递减 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A：通过计算得到，则有，即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得；对C：通过计算、找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得. 【详解】对A选项：由，，则， 依次类推可得当时，有， 故，故数列单调递减，即A正确； 对B选项：由， 则， 由，当时，， 故， 即，故B正确； 对C选项：，则，， 即，故C错误； 对D选项：由，故， 即， 故有，，， ， 累加有，即，故，， 故，即有， 又， 故当时，， ，，， 又， 累加有，， 即， 即，故， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用. 11．如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出，再求和，判断C；利用与的关系，即可判断D. 【详解】根据图形生成的规律可知， ，，，故A正确； ，，，故B正确； 根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为， 所以当 故C错误； 根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为， ，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计算. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k= 【答案】6 【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出，再解方程，即可求得答案. 【详解】因为成等比数列，所以 ， 由于数列的通项公式为: ， 故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为， 所以 ，所以 (舍去负值)， 所以 (舍去负值)， 故答案为：6 13．已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和. 【详解】由，有， ，两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，则， 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知函数，数列满足，，，则 ． 【答案】2 【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出. 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．数列满足，且 (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用定义法即可证明等比数列. （2）利用等比数列求和公式化简即可. 【详解】（1）由已知，，所以 故，又因为，所以 所以数列是首项为，公比为的等比数列 （2）由（1）知，令 ，所以 所以 故 16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，． (1)求，，； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，，10507 (2) 【分析】（1）首先利用数列与的关系，求得，再赋值求，再利用时，，即可求得； （2）由（1）可知，，再利用分组转化，以及错位相减法求和. 【详解】（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．当时，，所以 当时，，所以， ，两式相减可得，， ∴ ； （2）由（1）可知，， 设， 当时，数列的前项和为28， 当，数列的前项和为， 设         ， 两式相减得， ， 解得：， ， 所以，， 所以. 17．已知数列中， (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可. 【详解】（1）两边同时除以， 数列是首项，公差为2的等差数列， ， . （2），可得， ，即，即恒成立. . 18．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，． (1)求，的通项公式； (2)已知，求：； (3)求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见详解 【分析】（1）由题意可得数列为等差数列，数列为等比数列，再分别求解公差与公比即可求； （2）代入化简可得，再分组根据错位相减与裂项相消求和即可； （3）放缩可得，再裂项相消求和即可. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，设公差为， 因为，所以数列为等比数列，设公比为，且， 因为，，， 所以，即， 解得， 所以，. （2）由（1）可知，由， 记 作差, 得: 所以, ∴. （3）令， 因为，且，所以成立； 因为， 所以 ， 因为，所以，故， 综上，所以. 19．若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)10. 【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到； 法二：由得到； （2）法一：由题意得，从而得到，证明出； 法二：考虑反证法，假设，得到，进而推出，假设不成立； 法三：得到，且，利用累加法得到，证明出结论； （3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化简得：，显然符合题意，此时，综上，的最大值为10． 【详解】（1）法一：由题意得：，∴， ∴，，，，， 将以上式子累乘得：，也即成立． 法二：由题意得：， ∴，∴成立． （2）法一：∵，∴， ∴， 则， ∴， ∴． 法二：考虑反证法，假设， 由得， ∴，∴， 同理：， ∴，∴， 同理可证：，，…，， 综上可得：，与条件矛盾， ∴假设不成立，∴成立． 法三：∵，∴，也即， 同时，由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：， 也即，同理可得： ， ， …… ， 将以上式子累加得：， ∴，∴，∴成立． （3）由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：，① 另外，，，…，， 将以上式子累加得：，② 结合①②式可得：， ∴，化简得：， 另外，显然有符合题意，此时， 综上，的最大值为10． 【点睛】思路点睛：数列的性质可参考这类下凸函数进行理解，不等式相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第六章：数列（模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知等差数列中，，，则（    ） A．600 B．608 C．612 D．620 2．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 3．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ） A．或 B．或 C． D． 4．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（    ） A．5或16 B．5或32 C．5或16或4 D．5或32或4 7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 10．已知数列满足，，则（    ） A．数列单调递减 B． C． D． 11．如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k= 13．已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 14．已知函数，数列满足，，，则 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．数列满足，且 (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，． (1)求，，； (2)求数列的前n项和． 17．已知数列中， (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围. 18．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，． (1)求，的通项公式； (2)已知，求：； (3)求证：． 19．若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$