专题02 一元二次方程（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义 【解惑】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 3．当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数为（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 2．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 3．已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ． 类型三、一元二次方程的解 【解惑】若是方程的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【融会贯通】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 2．如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ； 3．若关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，则k的值为 ． 类型四、判断一元二次方程根的情况 【解惑】在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【融会贯通】 1．一元二次方程的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．一元二次方程根的判别式的值为 ． 3．若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 类型五、解一元二次方程——直接开平方法 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解方程：． 2．解方程: (1) (2) 3．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 类型六、解一元二次方程——配方法 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解方程：． 2．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 类型七、解一元二次方程——公式法 【解惑】解方程； 【融会贯通】 1．解方程：（用公式法）. 2．解方程∶ (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 类型八、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程：； 【融会贯通】 1．解方程：． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程． (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 【一览众山小】 1．一元二次方程的常数项是（    ） A．2 B．3 C． D．1 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 3．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 5．若是关于x的方程的一个根，则 ． 6．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 7．解方程： (1)； (2)． 8．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义 【解惑】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A、 当时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、，是一元二次方程，故本选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：． 【融会贯通】 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：①，是一元二次方程，故本小题正确； ②时是一元二次方程，故本小题错误； ③，整理后得，即是一元二次方程，故本小题符合题意； ④，是一元二次方程，故本小题符合题意． 故选：C． 2．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：． 3．当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．注意：未知数的最高次数的系数不为根据一元二次方程和一元一次方程的定义计算即可． 【详解】解：当关于x的方程是一元二次方程时，，则． 当关于x的方程是一元一次方程时，且，则． 故答案是：；． 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把右式移到左边，把方程化为一般式，再根据一元二次方程的一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数是，一次项系数为， 故选：． 【融会贯通】 1．关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，， 故选：A． 2．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 【答案】 1 2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项． 先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得，所以二次项系数为，一次项系数为2，常数项是 【详解】解：由得到：， ∴其二次项系数是3，一次项系数为2，常数项为． 故答案为：3，，． 3．已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 根据该方程各项系数之和是，列出方程求出m的值即可． 【详解】解：∵方程的各项系数之和是， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型三、一元二次方程的解 【解惑】若是方程的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】题目主要考查一元二次方程的解，把代入方程求出m即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，把代入方程得，则有，然后整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解及整体代入思想是解题的关键． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选：． 2．如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ； 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 3．若关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，则k的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，把代入已知方程，列出关于k的新方程，解新方程即可求得k的知． 【详解】解：关于x的方程（k为常数）有一个实数根为， ． 解得． 故答案为：7． 类型四、判断一元二次方程根的情况 【解惑】在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据直线不经过第四象限，可得，分情况讨论：当时，方程变为一元一次方程，有1个实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根，即可进行选择． 【详解】解：∵直线不经过第四象限， ∴， 解得， 当时， 关于x的方程化为， ∴方程有1个实数根； 当时， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程的实数根为1或2个， 故选：D． 【融会贯通】 1．一元二次方程的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：． 2．一元二次方程根的判别式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了根的判别式的确定，代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 3．若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 类型五、解一元二次方程——直接开平方法 【解惑】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，化成的形式，当时，直接开平方；当时，原方程无实根；据此即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 2．解方程: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项后直接开方法即可求得答案; （2）移项后配方法即可求得答案． 【详解】（1）解:∵, ∴移项得:, ∴, ∴; （2）解:∵, ∴移项得:, ∴配方得:, ∴整理得:, ∴直接开方得:; ∴移项得:． 3．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键． （1）移项后两边开方，即可求出x； （2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 开方得：， 即，； （2）解：， ， 开方得：， 即，． 类型六、解一元二次方程——配方法 【解惑】解方程：． 【答案】， 【分析】先去括号，再利用配方法即可求解． 【详解】解：去括号，得：， 配方，得：， 开方，得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】， 【分析】用配方法解方程即可． 【详解】解： 或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程；根据系数特点选择恰当的方法是解题的关键． 2．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 类型七、解一元二次方程——公式法 【解惑】解方程； 【答案】无解 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里，，， ， 原方程无解． 【融会贯通】 1．解方程：（用公式法）. 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 整理，得：， ， ， ，． 2．解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）根据公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴ ∴ ∴， ∴，． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟记配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ． 类型八、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， ∴原方程的解为：，． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 左边因式分解得：， 移项得：， 因式分解得：，即， ∴或， 解得：． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【详解】（1）解：， 原方程可变为：， 因式分解得：， 或， 所以，； （2）解：， 移项得：， ， 配方得： ， 开平方得：， 所以． 3．解方程． (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）根据公式法直接求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解； （3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ∵， ∴， ∴； （2）解： 两边都除以2，得． 移项，得． 配方，得， 即， 开平方，得， 即，， ∴，． （3）解：原方程可变形为． ∴． ∴，， ∴，． 【一览众山小】 1．一元二次方程的常数项是（    ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式． 任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】把化成一般式， 得， ∴常数项是 故选：C 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式计算即可选出正确答案． 【详解】解：， ， 此方程有两个相等的实数根． 故选：A． 3．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程是一元二次方程，故符合题意； D、方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 4．一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为， 故答案为：；1；． 5．若是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值．直接把代入方程中即可求出m的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：． 6．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可 ． 【详解】解： 由题意得：， 解得：， 故答案为： 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 原方程的解为：； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的解为：． 8．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ，， ∴ ∴ ∴，； （2） ，， ∴ ∴ ∴，； （3） ∴ ∴或 ∴，； （4） ∴或 ∴，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$