专题02 一元二次方程（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的整数解 【解惑】定义表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（    ）      A．0或 B．0或2 C．1或 D．或 【融会贯通】 1．若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a之和是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ． 3．关于x的一元二次方程有两个实数根，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 类型二、配方法的应用 【解惑】（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 2．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求n的值； (3)若整式关于对称，求实数a的值． 3．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 类型三、换元法的应用 【解惑】阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【融会贯通】 1．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 2．阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 3．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 类型四、一元二次方程的规律 【解惑】【观察思考】用同样大小的正方体木块依次堆放成如图1、图2、图3所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去． 【规律总结】 （1）图4有______个正方体； （2）图n有______个正方体（用含n的式子表示）； 【问题解决】 （3）是否存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．[观察思考] [规律发现] 用含n的代数式填空： （1）第n个图案中，“△”的数量有___________； （2）第1个图案中，“○”的数量有；第2个图案中，“○”的数量有；第3个图案中，“○”的数量有；……，第n个图案中，“○”的数量有___________； [规律应用] （3）第n个图案中，若“△”和“○”的数量之和为225，求n的值． 2．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 3．如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为．    (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 类型五、根与系数的对称式 【解惑】阅读与思考 阅读材料并解决下列问题： 材料1 若一元二次方程的两根为，则，． 材料2 已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，， ． 根据上述材料解决下面的问题： (1)一元二次方程的两根为，，则_________，_________． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，且，求的值． 【融会贯通】 1．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为， 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求的值． 2．阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 3．阅读材料： 材料若一元二次方程的两根为、，则， 材料已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料得， 根据上述材料解决下面问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (3)类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． (4)思维拓展：已知实数、满足、，且，求的值 类型六、一元二次方程的新定义 【解惑】请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【融会贯通】 1．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 2．先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 3．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点， 则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的衔生点M始终在直线的图象上，若存在请求出b， c的值；若不存在说明理由． 类型七、一元二次方程与函数结合 【解惑】一次函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)函数的图象与轴交于点，为直线上一点，若，请结合函数图象，直接写出点的坐标为______． 【融会贯通】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点 顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连接．    (1)求点、点的坐标； (2)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式； (3)现有一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时， 为等腰三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y 轴交于点B，， 的长是一元二次方程 的两个根，直线经过y轴负半轴上的点C，且 ．    (1)求直线的函数表达式； (2)直线沿着y 轴平移，平移后的直线与直线交于点D，与 y 轴交于点，连接，求 的面积S 与t 的函数关系式； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移9个单位长度，平移后的直线与x 轴交于点E，M为x 轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点 D 重合），使 与 全等?若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．我们规定：在平面直角坐标系中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k（k为整数）倍，那么点M就是点P的k倍关联点． (1)当点的坐标为时， ①如果点的倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是___________； ②如果点是点的k倍关联点，且满足，，那么k的最大值为___________； (2)如果点的坐标为，且在函数的图像上存在的2倍关联点，求b的取值范围． 类型八、一元二次方程与几何结合 【解惑】已知： 如图，在菱形中，，点E， F分别是上的动点(不与菱形的顶点重合)，． (1)求证∶是等边三角形； (2)探究四边形与菱形的面积关系，并说明理由： (3)若菱形的边长为，则面积的最大值是 (直接写出答案)． 【融会贯通】 1．如图1，点O是的对角线，的交点，过点O作，，垂足分别为H，M，若，我们称是的中心距比． (1)如图2，当，求证：是菱形； (2)如图3，当，且，求的值； (3)如图4，在中，，，动点P从点B出发．沿线段向终点运动，动点Q自C出发，沿线段向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结，以、为邻边作，若的中心距比．求点P的运动时间． 2．如图①，是边长为6的等边三角形．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等边，使点Q和点A在的同侧，再作． (1)当点P在边上运动时，若，则的值为________； (2)如图②，当点P在边上运动时，求证：； (3)当的周长最小时，求的长； (4)当点P在边上运动时，直接写出当线段将四边形的面积分为时线段的长． 3．综合与实践： 综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；再将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．根据以上操作，同学们很快发现，，三点共线，且有以下结论：①；②线段，，之间的数量关系为：． 【深入探究】 操作二：如图2，再将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接、．同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，在这次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现： 一、小曾发现，当点落在折痕上时，设交于点，如图2，则有结论：； 二、小段发现，当点落在折痕上时，是一个定值． 【解决问题】 （1）证明小曾同学结论的正确性：； （2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，矩形中，，，点、分别在边、上，，，求的长度． 【一览众山小】 1．一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知方程，则满足该方程的所有根之和为（    ） A． B． C．0 D．1 3．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为 ． 4．如图，均为直角三角形，，与交于点F，若，，则边的长为 ． 5．我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、． (1)点A坐标为________，线段__________． (2)当矩形的面积为时，求P点的坐标． (3)平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标． 7．设是x轴上的一点，它与点和的距离和是y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中，按照列表、描点、连线的步骤画出y关于x的函数图象； (3)利用（2）中的图象解决问题： ①若直线与图象有两个交点，求k的取值范围； ②点C是图象上一点，点D是平面内一点，是否存在这样的点C，使四边形是菱形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 8．阅读材料：当一个三角形的两个内角有倍数关系时，此三角形会有一些特殊的性质，如图，中，，我们称之为省重三角形，做，小明发现以下性质并给出如下证明： 在上取一点E，使，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即    请直接应用小明发现的规律，完成下列问题： (1)如图1，已知：在省重中，，，，则的面积________． (2)如图2，在省重中，，F为中点，求证： (3)如图3，平行四边形，对角线交于点O，，，，，，求四边形的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的整数解 【解惑】定义表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（    ）      A．0或 B．0或2 C．1或 D．或 【答案】A 【分析】 本题考查了解一元二次方程，以及实数的大小比较．根据新定义和函数图象讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别解关于x的一元二次方程即可解题． 【详解】解：由图知， 当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，无解， 综上所述，方程的解为0或， 故选：A． 【融会贯通】 1．若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和分式方程．先根据一元二次方程根的判别式的意义得到，解得，解分式方程得到，再利用且得到，且，解得且，所以a的取值范围为且，然后确定整数a的值，最后计算所有满足条件的整数a之和． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴方程化为， ∴， 解得， 对于关于x的分式方程， 去分母得， 解得， ∵且， ∴，且， 解得且， ∴a的取值范围为且， 整数a为， ∴所有满足条件的整数a之和为． 故选：C． 2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程相关，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程的解法是解题的关键．由题意根据方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于0得到且，然后求出关于x的一元二次方程的解，进而代入，且，进行分析计算得出整数m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴且， ∵ ∴ ∴， 解得， ∵，且， ∴， ∴ ∴ 又∵，且 ∴ ∵m是整数 ∴． 故答案为：． 3．关于x的一元二次方程有两个实数根，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】17 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及a的取值范围，可得a的所有值，再将其相加即可得出结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得且． 化为整式方程得：， 解得， ∵分式方程有正整数解， ∴a可以取1，6，11， ∵， ∴，即， ∴满足条件的a的值为6，11， ∴满足条件的所有整数a的和为． 故答案为：17． 类型二、配方法的应用 【解惑】（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 【融会贯通】 1．学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 2．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求n的值； (3)若整式关于对称，求实数a的值． 【答案】(1)1； (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解； （2）依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解； （3）依据题意，由，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴多项式关于对称． ∵， ∴多项式关于对称． 故答案为：1；． （2）解：由题意，多项式， ∴多项式关于对称． 又多项式关于对称． ， ． （3）解：由题意：得 ， ∴关于对称． 又∵关于对称， ． 3．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1)有最大值 (2)，见解析 (3)这个三角形的周长为17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合（1）求解即可； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （2）∵， ∴． 由（1）可得， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 类型三、换元法的应用 【解惑】阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （1）利用换元法解方程即可解决问题； （2）利用换元法解方程可得． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得， ， ， ； （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得，， ， ， ， 即斜边的长度为． 【融会贯通】 1．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 2．阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 【答案】(1)B (2)，，， 【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元． （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想； （2）设，则原方程化为，求出y，再求出x即可． 【详解】（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想 故答案为：B； （2）解：原方程变形为 设，那么，于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 3．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 类型四、一元二次方程的规律 【解惑】【观察思考】用同样大小的正方体木块依次堆放成如图1、图2、图3所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去． 【规律总结】 （1）图4有______个正方体； （2）图n有______个正方体（用含n的式子表示）； 【问题解决】 （3）是否存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）28；（2）；（3）存在，第16个图形 【分析】本题考查了几何体中的规律、列代数式、一元二次方程的应用，正确发现变化规律是解题的关键． （1）观察分析图形，得出答案即可； （2）观察发现规律，得出图n正方体个数，整理得出答案即可； （3）根据“它对应的几何体由496个正方体木块组成”，得出求解即可， 【详解】解：（1）图1所示的实心几何体一共有1个小正方体，即， 图2所示的实心几何体一共有6个小正方体，即， 图3所示的实心几何体一共有15个小正方体，即， 图4所示的实心几何体一共有28个小正方体，即， 故答案为：28； （2）由（1）的规律得，图n正方体个数， 故答案为：； （3）存在， 由题意得，， 即， 解得：或（舍去）， ∴存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成，它是第16个图形． 【融会贯通】 1．[观察思考] [规律发现] 用含n的代数式填空： （1）第n个图案中，“△”的数量有___________； （2）第1个图案中，“○”的数量有；第2个图案中，“○”的数量有；第3个图案中，“○”的数量有；……，第n个图案中，“○”的数量有___________； [规律应用] （3）第n个图案中，若“△”和“○”的数量之和为225，求n的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：第1个图案中有1个△， 第2个图案中有4个△， 第3个图案中有9个△， 第4个图案中有16个△， ……， ∴第个图案中有个△， 故答案为：； （2）第1个图案中“○”的个数可表示为， 第2个图案中“○”的个数可表示为， 第3个图案中“○”的个数可表示为， 第4个图案中“○”的个数可表示为， ……， 第n个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； （3）由（1）（2）得：第n个图案中，“△”和“○”的数量之和为： 则， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， 故． 2．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 【答案】（1），；（2）11 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意得：，解出即可． 【详解】解：（1）第1个图案中黑色棋子的个数为4，白色棋子的个数为1； 第2个图案中黑色棋子的个数为9，白色棋子的个数为4； 第3个图案中黑色棋子的个数为16，白色棋子的个数为9； 第4个图案中黑色棋子的个数为25，白色棋子的个数为16； ， 第n个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 故答案为：，； （2）由题意得：， 解方程得： （舍去），， 所以正整数n的值为11． 3．如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为．    (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)45， (2)有66这个数，是第11个数，理由见解析． 【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程： （1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值； （2）当时，得一元二次方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ， ， ， …， ∴， ∴当时，， 故答案为：45；； （2）解：当时，即：， 整理得， 解得，（舍去） 所以，这列数中有66这个数，此时． 类型五、根与系数的对称式 【解惑】阅读与思考 阅读材料并解决下列问题： 材料1 若一元二次方程的两根为，则，． 材料2 已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，， ． 根据上述材料解决下面的问题： (1)一元二次方程的两根为，，则_________，_________． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；理解一元二次方程根与系数的关系，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． （1）中，，，代入 ，，即可求解； （2）由（1）得m，n是方程的两个不相等的实数根，即可求解； （3）由（1）得、是方程的两个不相等的实数根，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 故答案：，； （2）解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ，， ； （3）解：， ， ， ， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ， ， ． 【融会贯通】 1．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为， 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系直接作答即可； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入计算即可； （3）由题意可知，为方程的两个根，根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：． （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）∵实数s、t满足，，且， ∴可以看作方程的两个根， ∴，， ∴． 2．阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 3．阅读材料： 材料若一元二次方程的两根为、，则， 材料已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料得， 根据上述材料解决下面问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (3)类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． (4)思维拓展：已知实数、满足、，且，求的值 【答案】(1)3； (2) (3) (4)13 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值： （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可； （3）根据根与系数的关系得到，由完全平方公式的变形得到，再根据进行求解即可； （4）设，则t、q是方程的两个实数根，由根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， 故答案为：3；； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴， ∴ ； （3）解：由题意得，实数、是方程 的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解；设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴t、q是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 类型六、一元二次方程的新定义 【解惑】请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 【融会贯通】 1．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)倍根方程 (2)c的值是8 (3)方程的两个根是，或， 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 2．先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 【答案】(1)6，（或，6） (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知识．理解题意，熟练掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）由方程 是可分解分式方程，可得 进而可求； （2）由可分解分式方程 的两个解分别为 可得 ，根据代值求解即可； （3）由方程 是可分解分式方程，可得 不妨设 ，则，由可得，可求，由，可得，，进而可得k的值为． 【详解】（1）解： ∵方程 是可分解分式方程， ∴ 故答案为： 6，． （2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为 ∴， ∴的值为． （3）解：方程 是可分解分式方程， ∴ ∵k为实数，不妨设 ， ， ， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴k的值为． 3．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点， 则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的衔生点M始终在直线的图象上，若存在请求出b， c的值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)见解析， (3)存在， 【分析】（1）解方程得到方程的解，即可得到点M的坐标； （2）根据判别式判断方程的根的情况，解方程求出点M的坐标； （3）由直线过定点，根据题意方程的两个根为，代入方程得到关于a，b的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根， ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； （3）存在，理由如下： ∵直线过定点， ∴方程的两个根为， ∴ 解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 类型七、一元二次方程与函数结合 【解惑】一次函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)函数的图象与轴交于点，为直线上一点，若，请结合函数图象，直接写出点的坐标为______． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查求一次函数解析式和勾股定理以及解一元二次方程，掌握一次函数的图像及性质是解题的关键． （1）由直线过点，得，把代入得，求解即可； （2）由，得一次函数为，从而得，设，由构建方程求解得或，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得， ∴， 把代入得， 解得； （2）解：∵， ∴一次函数为， 令，则，解得， ∴， 由为直线上一点，设， ∵，， ∴ 解得或， ∴或． 故答案为：或． 【融会贯通】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点 顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连接．    (1)求点、点的坐标； (2)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式； (3)现有一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时， 为等腰三角形． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，证明，进而可得的坐标，根据平移的性质得出的坐标； （2）设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，得出，根据点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据题意得出，进而分三种情况分析，即可求解． 【详解】（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，    将线段绕点 顺时针旋转到， ， ， ， ，， ， 由题意得，， ； （2）解：直线绕点顺时针旋转， ∴， 如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，，代入得： ， 解得： ， 即直线的解析式为； （3）解：如图所示，    ∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则， ①当时，秒； ②当时， 设， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ， 秒； ③当时，则的横坐标为， 代入，得， ∴， ， 秒， 综上所述：或或秒． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，旋转的性质，因式分解法解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y 轴交于点B，， 的长是一元二次方程 的两个根，直线经过y轴负半轴上的点C，且 ．    (1)求直线的函数表达式； (2)直线沿着y 轴平移，平移后的直线与直线交于点D，与 y 轴交于点，连接，求 的面积S 与t 的函数关系式； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移9个单位长度，平移后的直线与x 轴交于点E，M为x 轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点 D 重合），使 与 全等?若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)， (3)存在， N 的坐标为或 或 【分析】本题考查了一次函数的图像、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像的平移、平面直角坐标系中求图形的面积、求两直线交点坐标，分类讨论，数形结合是解答本题的关键． （1）解方程得到点A，B的坐标，再由，得到，，然后根据直线的解析式可以求得A的坐标，再结合得到C的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据题意求出解析式为：，再求出直线的表达式为，求出交点D的横坐标为，表示面积即可； （3）求出点，得到，当时，过点N作x轴的垂线交x轴于一点F，设，得到，，在中，利用勾股定理求出，则N点坐标可求；当时，由，可知点E为的中点，点坐标可求． 【详解】（1）解：解方程，得 ， ∵，的长是一元二次方程 的两个根， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，分别代入，得， 则， 解得， ∴直线的表达式为， （2）由题意，设平移后的直线解析式为：， ∵直线过点， ∴， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 把点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时， 解得， 即点D的横坐标为， 则点D到y轴的距离为， 由题意，， 则， ∴ （3）解：∵直线：与x轴交于点E， ∴点， ∴， 当时，，过点N作x轴的垂线交x轴于一点F，如图所示：    设， 则，， 在中， 即， 解得， ∴N或； 当时，如图所示：    ∴， ∴点E为的中点， ∵ ，， ∴， 综上，存在，此时点N的坐标为或或． 3．我们规定：在平面直角坐标系中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k（k为整数）倍，那么点M就是点P的k倍关联点． (1)当点的坐标为时， ①如果点的倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是___________； ②如果点是点的k倍关联点，且满足，，那么k的最大值为___________； (2)如果点的坐标为，且在函数的图像上存在的2倍关联点，求b的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）①根据的2倍关联点M在x轴上，利用关联的定义求解即可；②根据点 是点的倍关联点，且满足，，列出不等式，即可求解； （2）将满足的倍关联点的所有点，两点之间的距离公式改写为方程，联立后，根据一元二次方程根的判别式求解即可； 【详解】（1）解：①∵点的坐标为 ∴ 点到原点的距离为， ∴ ∴ ∵点的倍关联点M在x轴上 ∴点M的横坐标为或 ∴点M的坐标是 或 故答案为： 或 ②∵点是点的倍关联点，且， ∴点M的坐标是或，其中 ； 当 时，即 ，解得； 当 时，即，解得 ， ∴ 的取值范围为 ， ∵是整数， ∴的最大值是 故答案为： （2）（2）设在函数的图象上的点是的2倍关联点， 根据题意，得， 化简得， ， 解得． 的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了坐标系中的点之间的距离，一次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式等知识，数形结合是解决此题的关键． 类型八、一元二次方程与几何结合 【解惑】已知： 如图，在菱形中，，点E， F分别是上的动点(不与菱形的顶点重合)，． (1)求证∶是等边三角形； (2)探究四边形与菱形的面积关系，并说明理由： (3)若菱形的边长为，则面积的最大值是 (直接写出答案)． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积等于菱形的面积的一半，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形是菱形，，可得，，可得出和是等边三角形，从而得出，，再证明 ，可得，，再用等边三角形的判定证明即可； （2）由菱形的性质可得，再由，可得，从而得出，可得结论； （3）过点作，交的延长线于，设，可得， 再由，可得，再由，可得，，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，， ，， 和是等边三角形， ，， 又， ， ，， ， 是等边三角形， （2）四边形的面积等于菱形的面积的一半，理由如下： 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 即四边形的面积等于菱形的面积的一半； （3）如图，过点作，交的延长线于， 设， ， ， ， ， ，， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，配方法的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图1，点O是的对角线，的交点，过点O作，，垂足分别为H，M，若，我们称是的中心距比． (1)如图2，当，求证：是菱形； (2)如图3，当，且，求的值； (3)如图4，在中，，，动点P从点B出发．沿线段向终点运动，动点Q自C出发，沿线段向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结，以、为邻边作，若的中心距比．求点P的运动时间． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)秒 【分析】（1）当，利用角平分线的判定可得，再利用平行线的性质可证明，从而证明结论； （2）证明得是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质可得，可得答案； （3）设的对角线交点为O，过O作交于H，过O作交于M，根据，得，列出方程，解方程可得答案． 【详解】（1）证明：， ． ，，垂足分别为，， ， 四边形是平行四边形， ． ． ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：由题意得：四边形是矩形， ∴， ，，垂足分别为，， ， 四边形是矩形， ， ，交于点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，垂足分别为， ， 设，则由勾股定理得， ； （3）解：设的对角线交点为，过作交于，过作交于， 设运动时间为秒，由题意得：，，，， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 化简得：， ，舍， 点运动时间为秒， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握新定义，根据面积法列出方程是解决问题（3）的关键． 2．如图①，是边长为6的等边三角形．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等边，使点Q和点A在的同侧，再作． (1)当点P在边上运动时，若，则的值为________； (2)如图②，当点P在边上运动时，求证：； (3)当的周长最小时，求的长； (4)当点P在边上运动时，直接写出当线段将四边形的面积分为时线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)或4 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，根据三角形的面积公式可得； （2）根据等边三角形的性质得出，，，进而得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）①当点在边 上时，当时周长最小，最小值为，此时；当点 在边 上时，同理可得当时的周长最小，最小值为，此时； （4）根据等边三角形的性质求得，当点在边上时，由（2）可知，得，，，可知，设，过点作，交延长线于，得，，则，求得，当线段将四边形的面积分为时，分两种情况， ，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，是等边三角形 ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 过点作于点，则之间的距离为的长， ∴， 故答案为：； （2）证明：和均为等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）①当点在边 上时， 的周长 当时周长最小，此时，则， ∴最小值为，此时； ②当点在边上时，同理可得， 的周长 当时的周长最小，同理，此时，最小值为，此时 综上，当或时，的周长最小，最小值均为； （4）过点作， ∴，则， ∴， 当点在边上时，由（2）可知， ∴，，， 则， 设，过点作，交延长线于，则， ∴，，则， ∴， 当线段将四边形的面积分为时， 若，即，解得：或， ∴或4； 若，即，此时无解； 综上，当线段将四边形的面积分为时，或4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含直角三角形的性质，勾股定理，理解相关图形的性质是解决问题的关键． 3．综合与实践： 综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；再将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．根据以上操作，同学们很快发现，，三点共线，且有以下结论：①；②线段，，之间的数量关系为：． 【深入探究】 操作二：如图2，再将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接、．同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，在这次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现： 一、小曾发现，当点落在折痕上时，设交于点，如图2，则有结论：； 二、小段发现，当点落在折痕上时，是一个定值． 【解决问题】 （1）证明小曾同学结论的正确性：； （2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，矩形中，，，点、分别在边、上，，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）成立，；（3） 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，根据证明得，进而可证； （2）由折叠的性质可知，．根据求出，进而可求出求出的大小； （3）将三角形沿翻折，使点F落在点G处，连接交与点O，设，则，求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 由折叠的性质可知，，， ∴， 又∵， ∴． 由操作一知， ∴是等腰直角三角形， ∴N， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）成立，理由如下： 由折叠的性质可知，． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）将三角形沿翻折，使点F落在点G处，连接交与点O， ∴，． 由折叠的性质得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 设，则， ∴，． 在中，， ∵， ∴， 整理得， ∴或（舍去）， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【一览众山小】 1．一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：． 2．已知方程，则满足该方程的所有根之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去． 因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去． 解：当时，即，原方程化为：， ∵， ∴，（舍去）， ∴， 当，即时，原方程化为：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴． 则． 故选：A． 3．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了菱形的性质和正方形的性质、勾股定理等知识，得出是解题关键． 利用菱形的性质结合正方形的性质得出，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ， ∵边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移， ∴， ∴，则， ∴设，则， 故在中，， 解得：(不合题意舍去)， 故为：． 故答案为：． 4．如图，均为直角三角形，，与交于点F，若，，则边的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形全等综合，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作交于点，连接，证，进而证，设，则；在中，根据勾股定理，即可求解； 【详解】解：如图所示： 过点C作，交于点G，连接， ∵与是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， 解得（舍去）或， 所以边的长为6． 故答案为：6． 5．我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)原方程组的解为或 (2) 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，读懂题意掌握给出的方法是解题的关键． （1）将前一个方程转化为，代入后一个方程求出x的值，继而利用得出y的值，从而得解； （2）将前一个方程转化为，代入后一个方程得到关于x的方程，然后分所得方程是一元一次方程还是一元二次方程讨论，对于前者直接求解即可，对于后者根据根的判别式与方程的根的关系得出，继而得到关于a的不等式，从而得解． 【详解】（1） 由①，得③ 把③代入②，得． 整理，得． 解得，． 把，代入③，得，． 故原方程组的解为或 （2） 由①得，得③ 把③代入②，得． 整理，得． ①若，则．此时原方程可化为，解得，符合题意； ②若，则且． 解得且． 综上可知，． 6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、． (1)点A坐标为________，线段__________． (2)当矩形的面积为时，求P点的坐标． (3)平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)；4 (2)点的坐标为，或，． (3)点的坐标为，即． 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点、的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出线段的长度； （2）由点在线段上可设出点的坐标，再利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式，代入求出值，将其代入点坐标中即可得出结论； （3）假设存在，根据菱形的性质可得出为等腰三角形，结合的度数即可得出为等边三角形，进而可得出点的坐标，再根据菱形的性质分别以、、为对角线找出点的坐标，此题得解． 【详解】（1）当时，， ； 当时，， ，． ． 故答案为：；4． （2）设点的坐标为，， ． 当时，有， 解得：，． 点的坐标为，或，． （3）假设存在． 以点，，，为顶点的四边形为菱形， 为等腰三角形， ，，， ， 为等边三角形． 点为线段的中点， 点． 以点，，，为顶点的四边形为菱形分三种情况（如图所示） 以线段为对角线时， ，，， 点的坐标为，即； 以线段为对角线时， ，，， 点的坐标为，即； 以线段为对角线时， ，，， 点的坐标为，即． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、矩形的面积、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标；（2）利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式；（3）分以、和为对角线三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键． 7．设是x轴上的一点，它与点和的距离和是y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中，按照列表、描点、连线的步骤画出y关于x的函数图象； (3)利用（2）中的图象解决问题： ①若直线与图象有两个交点，求k的取值范围； ②点C是图象上一点，点D是平面内一点，是否存在这样的点C，使四边形是菱形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①当时，直线与函数图象有两个交点；②存在，当或时，四边形是菱形． 【分析】此题考查了菱形的性质、一次函数的图象和性质、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据的取值范围求出函数解析式即可； （2）按照列表描点连线的方法作出函数图象即可； （3）①求出直线与x轴交于，若与平行，可得其解析式为；若过，则，解得    ，结合函数图象即可得到答案；②分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 当时，； 当时，； 当时，； ∴ （2）列表： x 1 2 5 6 y 5 3 3 5 描点并连线，得图象如下： （3）①如图， 当时，，则， ∴直线与x轴交于 若与平行，可得其解析式为； 若过，则， 解得， ∴为 结合图1可得，当时，直线与函数图象有两个交点 ②若四边形是菱形，则是邻边 ，即， 由图2可知，满足条件的点C有两个： （Ⅰ）当C在上时， 设，可列方程，， 解得，， 结合图2，不合题意，舍去， ， 此时， （Ⅱ）当C在上时， 过作轴于点H， 在中，由勾股定理得， ， 综上，当或时，四边形是菱形． 8．阅读材料：当一个三角形的两个内角有倍数关系时，此三角形会有一些特殊的性质，如图，中，，我们称之为省重三角形，做，小明发现以下性质并给出如下证明： 在上取一点E，使，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即    请直接应用小明发现的规律，完成下列问题： (1)如图1，已知：在省重中，，，，则的面积________． (2)如图2，在省重中，，F为中点，求证： (3)如图3，平行四边形，对角线交于点O，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)22 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在上截取，连接，从而可得是的垂直平分线，进而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）取的中点，连接，，由为的中点，得到为的中位线，利用中位线定理得到等于的一半，且与平行，得到，而，得到，由为直角三角形斜边上的中线，得到，得到，利用三角形的外角性质及等量代换可得出，利用等角对等边可得出，即可得证． （3）设，先证得是省重三角形，可得，可得，再由勾股定理得，从而得出，再列出方程求出x，最后求出四边形的面积． 【详解】（1）在上截取，连接，   ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 中，， ， （2）证明：取的中点，连接，，如图所示：   为的中点， 为的中位线， ，且， ，又， ， 为的外角， ， 又为斜边上的中线， ， ， ， ， 则， ． （3）设， ，， ， 平行四边形， ， ， ， ， ， 是省重三角形， ， ， , ， ， ， 解得：（负值舍去） ，，， 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形的外角性质以及平行线的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$