第一章 特殊平行四边形 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（特殊平行四边形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列命题中，为真命题的是（    ） A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2．菱形的周长为20cm，那么菱形的边长是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm 3．如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的周长为52，对角线的长为10，E是线段上一点，过点E作，交于点F，则线段的长为（   ） A． B．8 C． D．10 8．如图，矩形的边上有一动点，连接，，以，为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 9．如图，在中，，，过点作，延长至点，使得，在平面上有一动点，使，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 12．如图，直线l是四边形的对称轴，请再添加一个条件： ，使四边形成为菱形（不再标注其他字母） 13．将长方形纸条按如图所示的方式折叠，折痕为，点落到点处，点落到点处．若，则 ． 14．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长为 ． 15．小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，则A，B两个活动区域的总面积为 ． 16．如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则 ． 17．如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是 ． 18．如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）    20．如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 21．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 22．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为一边，画一个矩形． (2)在图②中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形． 23．如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：． 24．如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 25．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 26．【问题情境】：如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转α度点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】： (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（特殊平行四边形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列命题中，为真命题的是（    ） A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，涉及了轴对称与中心对称图形，矩形，菱形，正方形的判定定理，熟练掌握有关定理是解题的关键． 根据矩形，菱形，正方形的判定定理以及轴对称与中心对称图形即可作出判断． 【详解】解：A、三个角是直角的四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、正方形是轴对称图形是轴对轴图形，但也是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题正确，是真命题，符合题意． 故选D． 2．菱形的周长为20cm，那么菱形的边长是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四个边长相等， 菱形的边长为， 故选B． 3．如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉矩形的判定定理是解题的关键；根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形即可作出判断． 【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加，使得是矩形；其它选项的条件都不能使得是矩形； 故选：D． 4．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出的长度，先证明≌，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用的面积减去的面积，即可得到答案． 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：C． 6．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识．由作图可知垂直平分线段，推出，设，则有，解方程可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由作图可知垂直平分线段， ， 设，则有， 解得， ， ． 故选：B． 7．如图，菱形的周长为52，对角线的长为10，E是线段上一点，过点E作，交于点F，则线段的长为（   ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．连接，交于O，利用菱形的性质和勾股定理得到，，，再利用平行线间的距离处处相等得到是菱形边上的高，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，交于O， ∵菱形的周长为52，对角线的长为10， ∴，，，，， 在中，，则， ∵，， ∴是菱形边上的高， ∴由得， 解得， 故选：A． 8．如图，矩形的边上有一动点，连接，，以，为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．由矩形的性质可得，由平行四边形的性质可得，即． 【详解】解：四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：D． 9．如图，在中，，，过点作，延长至点，使得，在平面上有一动点，使，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由，，得 ，，，从而得，由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知始终不变，则要使有最小值，通过根据三角形的三边关系可知，当点在线段上时最小，最小值为，从而求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴始终不变， ∴要使有最小值，根据三角形的三边关系可知，当点在线段上时最小，最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，所对直角边是斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质；证明两三角形全等并得到是解题的关键；证明，根据全等三角形的性质得到，从而推出，根据勾股定理得到，由，两边平方得①；由空白部分面积为13，得，即②；解①、②组成的方程组消去即可求得． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 在与中， ， ， ； ； 在中，，则， ， ， ①； ， 即②； 得：， ； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 【答案】/30平方厘米 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得斜边长为，进而利用三角形的面积公式求解面积即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长， ∴斜边长为， ∵斜边上的高长是， ∴该三角形的面积为， 故答案为：． 12．如图，直线l是四边形的对称轴，请再添加一个条件： ，使四边形成为菱形（不再标注其他字母） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查菱形的判定定理．根据菱形的判定定理添加条件即可求解．掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线l是四边形的对称轴， ∴，， ∴当添加或时，，则四边形成为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 13．将长方形纸条按如图所示的方式折叠，折痕为，点落到点处，点落到点处．若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折变换，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 由推知，然后由折叠的性质和邻补角的定义作答． 【详解】解：在矩形中，，则． 根据折叠的性质知：． 所以． 故答案为：． 14．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质．根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ． 故答案为：18． 15．小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，则A，B两个活动区域的总面积为 ． 【答案】360 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的性质，算术平方根等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用正方形的面积公式，属于基础题． 根据正方形的面积公式求出、、、即可解决问题． 【详解】 解：如图由题意，正方形的面积为， ， 正方形的面积为， ， 区的面积为，区的面积， ，两个活动区域的总面积为， 故答案为：． 16．如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了矩形的性质，根据垂直的定义及角的和差求出，根据矩形的性质推出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．熟记矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，即， 故答案为：． 17．如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及垂线段最短，解题的关键是求出的取值范围； 连接，由矩形的性质可得，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：连接． ， ， ∵四边形为矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ， ， ， ∴的长能取到的所有整数值为5或6或7． 故答案为：． 18．如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质、角平分线的性质、分类讨论等知识点，熟练掌握翻折变换的性质和角平分线的性质是解题的关键． 设，由折叠的性质得，分点在的下方和上方两种情况，分别由角的关系求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合， ∴， ①如图1：当点在的下方时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：； ②如图2：当点在的上方时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）    【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分．根据正方形的性质，即可解答． 【详解】解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形； 如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形； 如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形．    20．如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而推出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形； 21．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 22．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为一边，画一个矩形． (2)在图②中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——应用与设计作图、正方形和矩形的判定与性质： （1）根据矩形的性质按要求作图即可． （2）利用网格，结合勾股定理作边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：如图①，矩形即为所求． （2）解：如图②，正方形即为所求． 23．如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质．欲证明，只要证明四边形是矩形即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ． ，分别平分，， ． ， 同理：，， ， 四边形是矩形， ． 24．如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得，则，同理，即可得出结论； （2）利用勾股定理可求得的长，再结合（1）的结论可求得的长； （3）只要保证四边形是平行四边形即可，则可知为的中点时，满足条件． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：、分别平分和， ，， ， ， ， 即的长为6.5； （3）解：当在的中点时，四边形是矩形，理由如下： 当为中点时，则， 由（1）可知，， ， 四边形为平行四边形，， ， 平行四边形为矩形． 25．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；；；② (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用： （1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的的长即可； （2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，则，据此列出方程求解即可； （3）根据题意可得四边形为平行四边形，则，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动9秒后停止，即， ∴， 故答案为：；； （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：；；； ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形， ∴此时有， ∴， 解得； （3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得． 26．【问题情境】：如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转α度点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】： (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①正方形；理由见解析   ② (3) 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点C作于点G，证，得，则，再由勾股定理求解即可； （）当点的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； ②过点C作于点G，如图3所示： 则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上， ∴的最小值为， 当落在的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$