第08讲 相似三角形的性质（四类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第08讲 相似三角形的性质（九大题型） 学习目标 1、掌握相似三角形的性质； 2、学会解决相似三角形性质的实际应用； 3、利用相似三角形的性质与其他几何知识解决问题。 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 【方法规律】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 如图24—43,已知△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC与△△A1B1C1的相似比为k,AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线.那么 的值是否也等于k? 为什么? 由已知条件可知△ABD、A1B1D1, 有两个角对应相等，于是可推出结论是肯定的. 推导过程如下： ∵△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ∴ ∠B=∠B,∠BAC=∠B1A1C1 (相似三角形的对应角相等). ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线， 即 ∴∠BAD=∠B1A1D1. 在△ABD 与A1B1D1中， ∴ △ABD∽△A1B1D1 (两角对应相等，两个三角形相似). 得 (相似三角形的对应边成比例), 即 用类似的方法可以得到，相似三角形的对应高的比、对应中线的比也等于相似比. 3.相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 【方法规律】相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【方法规律】测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【方法规律】　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【即学即练1】如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键．据相似三角形的周长的比等于它们的相似比，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可． 【解析】解：两个相似三角形的周长比为， 它们的相似比为． ∴它们的对应中线的比为， 故选：C． 【即学即练2】如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，关键是熟练掌握相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形对应边的比叫相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解析】解：两个相似三角形对应边之比是， 两个相似三角形的相似比为， 它们对应面积之比为． 故选：C． 【即学即练3】已知在梯形中，，交于，若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟练掌握相似三角形面积比为相似比的平方是解题的关键，根据题意作图，已知，可以得到，再根据相似三角形面积比为相似比的平方，即可得到． 【解析】解：根据题意作图可得： ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【即学即练4】如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 设的高为h， ， 设为，则为，为， ， ∴ ， 故选：B． 【即学即练5】清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：设这座方城每面城墙的长为里， 由题意得，，，，里，里， ， ， ，即， ， ∴这座方城每面城墙的长为8里， 故答案为：8． 题型1：直接利用相似三角形的性质求解 【典例1】．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解． 【解析】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长之比等于． 故答案为：． 【典例2】．如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于，得到相似比为，即可得到它们的面积比等于． 【解析】解：∵两个相似三角形的周长的比等于， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积比等于． 故答案为： 【典例3】．如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 【解析】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为：． 【典例4】．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴三角形的相似比为， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为， 故答案为：． 【典例5】．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为得到相似比为，利用“相似三角形的对应中线的比等于相似比”解本题是关键． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比， ∴中线的比为． 故答案为：． 【典例6】．已知：，若，，则与的相似比为 ，它们的面积比为 ． 【答案】 /0.5 /0.25 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【解析】解：，若，， 与的相似比为：，它们的面积比为： 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键． 【典例7】．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应中线的比等于相似比，求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可． 【解析】解：由题意，得两三角形的周长比为， 设两三角形的周长分别为，， 由题意，得，解得， ，， 即这两个三角形的周长分别为， 故答案为：． 【典例8】．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 【答案】12 【分析】先计算出的周长，进而得出相似比为，进而得出答案． 【解析】解：∵的三边长分别为2、3、4， ∴的周长为：9 ∵与相似，且周长为54， ∴与的周长比为， ∴与的相似比为， 设的最短边的长是x ，则： ， 解得∶． 故答案为∶12． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 题型2：已知两三角形相似，结合其他几何知识求解 【典例9】．已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可． 【解析】解：在中，， ∴， ∵与相似， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【典例10】．如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了相似三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，再由相似三角形的性质，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵相似比为， ∴， 故答案为： 【典例11】．如图，方格中的，则相似比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格与勾股定理，求相似三角形的相似比． 先由勾股定理求出、的长，再根据相似三角形相似比等于对应边的比求解即可． 【解析】解：由勾股定理得：，， ∵ ∴相似比为：， 故选：B． 【典例12】．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为 ． 【答案】 【分析】设，根据相似三角形的对应边成比例分别表示出，继而求解即可． 【解析】设， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能够用同一个字母表示的长度是解题的关键． 【典例13】．如图，已知． (1)若平分，，求的度数； (2)若，求AC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识点，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）根据相似三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由即可解答； （2）根据相似三角形的性质可得，然后代入求值即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 【典例14】．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】首先画出图形，然后根据相似三角形的性质得到，得到，然后结合列方程求解即可． 【解析】如图所示， 设 ∵相似系数等于2 ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 题型3：相似三角形的判定与性质—求含平行线的相似三角形问题 【典例15】．如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 【典例16】．如图，相交于点O，是的中位线．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【解析】解：∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：4． 【典例17】．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【解析】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【典例18】．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【解析】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 题型4：相似三角形的判定与性质—面积（比）问题综合 【典例19】．如图，在中，D，E分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据已知得是三角形的中位线，从而可得到，进一步得出，从而可出． 【解析】解：∵D，E分别为，的中点 ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【典例20】．如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．3 【答案】A 【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，等高三角形面积比等于底的比性质， 由平行四边形性质证明利用三角形相似判定与性质得出MN：AN=MD：AB=1：2，进一步得出进行求解即可. 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵M为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【典例21】．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据得到，，再结合相似比是，因而面积的比是，问题得解． 【解析】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为． 【典例22】．如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键． 过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到． 【解析】解：过作于，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例23】．如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【答案】 6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． （1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果． （2）由相似三角形的性质可得结果． 【解析】解：（1）， ， ， ，是的三等分点， ， ， ， 故答案为：6； （2）， ，是的三等分点， ， ， ； 故答案为：． 【典例24】．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【解析】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 【典例25】．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到，然后根据平行得到，进而得到计算是解题的关键． 【解析】解：∵是边上的中线， ∴， 又∵为的重心，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5：相似三角形的实际应用 【典例26】．如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 【答案】6.4m 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：， 故答案为：6.4m． 【典例27】．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 【典例28】．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    【答案】/ 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【解析】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 题型6：网格问题 【典例29】．如图，在的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）．    (1)在图1中画出，使它由绕着点B旋转得到； (2)在图2中找到格点M，N，使得与相似，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-相似变换，旋转变换等知识: （1）根据要求作出图形； （2）根据对应边的比为，构造相似三角形即可． 【解析】（1）解：如图，即为所作：    （2）解：如图，即为所作：    【典例30】．如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【解析】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 【典例31】．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【解析】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 题型7：根据相似求点的坐标 【典例32】．在直角坐标系中有两点，点C为的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，使得． 【答案】/ 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，根据题意，画出图形，利用相似三角形对应边对应成比例，进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 当时：， 即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例33】．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可． 【解析】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=， 如图：（1）当时， ， OA=AB=2， b=4， P(2，)； （2）当时， ， ， 解得：b=9±， P(2，3±)； 综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)． 故答案为：(2，)，(2，3±)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键． 题型8：动点问题（分类讨论；求参数范围） 【典例34】．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【解析】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 【典例35】．如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的长． 【解析】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 若边上存在点，使与相似，那么分两种情况： 若，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 若，则， 即， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 或， 故答案为：或． 【典例36】．如图，矩形中，，，点在边上，，过点作交于点，若线段上存在个不同的点，使得与相似，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式即可求解，利用分类讨论思想是解题的关键． 【解析】当时， 则 ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴存在一点时，， 当时，则， ∴， ∴， ∵要有两个点使， ∴， ∴， 当时，线段上存在个不同的点，使与相似， 当时，线段上存在个不同的点，使与相似， 当时，线段上存在个点，使与相似， ∴当且时，线段上存在个不同的点，使得与相似， 故答案为：且． 题型9：根据三角形相似求对应线段成比例 【典例37】．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【解析】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 【典例38】．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于． 求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根据相似三角形对应变成比例即可． 【解析】证明：∵AB∥DC， ∴△AOB∽△COE ∴ ∵AD∥BC， ∴△AOF∽△COB ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两组对应边的比例相等是解决本题的关键． 【典例39】．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【解析】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 一、单选题 1．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答． 【解析】解：∵对应高之比是1：2， ∴相似比=1：2， ∴对应周长之比是1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比． 2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得． 【解析】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为， 则另一个三角形的第三个内角为， 因此，另一个三角形的最小内角为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 3．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（   ） A． B． C．相似比为 D．相似比为 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论． 【解析】解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立； ∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比， ∴相似比为，∴D一定成立， 故选D ．　　　 【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．　 4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质判断即可． 【解析】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2， ∴，A正确； ∴，B错误； ∴，C错误； ∴OA：OC＝3：2，D错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5．如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，故A、B不符合题意，C符合题意； ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 6．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行得内错角相等，由相似三角形判定可得，再由相似三角形的的性质得，再根据全等三角形的判定得，即，设，即，可得，根据线段边的关系得，，，即可得出最后的结果． 【解析】如图： ∵，为边上的高线， ∴且，，， 在和中， ，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于H，交于M，如图，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为x，则，再证明，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可． 【解析】解：如图，过点A作于H，交于M， ∵的面积是32，， ∴， ∴， 设正方形的边长为x，则， ∵， ∴， ∴ ， ，解得∶， 即这个正方形的边长是4． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 8．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴△ADC∽△CDB∽△ACB ∴AC2=AD·AB，BC2=BD·AB， 故，A正确，B错误； ∵△ADC∽△CDB ∴ ∴，,C,D选项正确； 故选B. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定. 9．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由BE、CD是△ABC的中线， 可得 即，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝△BOC中上的高的倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得，由②和③知，，从而可判断④． 【解析】解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ 即， 故①正确； ②∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴， 故②错误； ③∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵△DOE∽△COB， ， ∴， 故③正确； ④∵△ABC的中线BE与CD交于点O， ∴点O是△ABC的重心， 根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝3△BOC中上的高， 且△ABC与△BOC同底（BC）， ∴， 由②和③知，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是AC的中点， ∴ ∴． 故④错误． 综上，①③正确． 故选B． 【点睛】本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E．若F为CE中点，则△BEF的周长是（    ） A．＋2 B．2＋2 C．2＋2 D．6 【答案】C 【分析】首先证明得，代入数据求出，再由勾股定理求出，根据直角三角形性质证明，进一步可得出结论． 【解析】解：∵四边形是矩形，设与交于点，如图， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 在矩形中， ∵CE平分OB， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∵为CE中点， ∴ ∴的周长等于 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，运用相似三角形的性质求出是解答此题的关键． 二、填空题 11．已知∽，它们的面积比为，则对应角的角平分线的比等于 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【解析】解：∵∽，它们的面积比为， ∴它们的对应角的角平分线的比为 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键． 12．如果的三边长分别是3、4、5，与其相似的的最长边为15，那么的周长是 . 【答案】36 【分析】根据两三角形相似，对应线段成比例求的另外两边长即可得出周长. 【解析】设的另两边长为， ∵ ∴ 解得： ∴的周长 故填：36. 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握性质是关键. 13．如图，点E是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点F，若，则 ． 【答案】 【分析】根据四边形是平行四边形可得，，根据相似三角形的性质即可求出的长度． 【解析】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质和判定，找出相似三角形是解题的关键． 14．一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米． 【答案】24 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大， 设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是分米，分米， ， ，， 其他两条边的长分别是8分米，10分米， ， 做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米， 做出的三角形的面积为（平方分米）． 故答案为：24． 15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则 ． 【答案】 【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可 【解析】解：作AE⊥BC，CF⊥BD ∵ ∴△ABD和△BCD等高，高均为AE ∴ ∵AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∴ ∵△BOC和△DOC等高，高均为CF ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键 16．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，点、在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为 ． 【答案】/2.5 【分析】连接交于，易证得，可得，由勾股定理求得的长，求得的长，证，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解析】解：连接交于，如图： 四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在与中， ， ， ， 中，，， ， ， ，， ， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键． 17．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，可证明得到，，利用可得点D的横坐标为3，设，则根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m值，即可得到点D坐标，从而得到k值． 【解析】解：如图，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，    ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵与四边形的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵D、C在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：12． 18．如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ． 【答案】 【分析】先求出，证△≌△得，，再证△∽△，利用三角形相似的性质可得得长；过点作于点，先求出，，，证△∽△，得，进而得，再证△∽△，利用相似三角形性质得，，进而得，最后在中，由勾股定理可求得． 【解析】解：∵四边形为正方形，且边长为， ， ， ， ∵点是的中点， ∴， 中， ，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∵， 在△和△中， ∴△≌△， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴△∽△， ∴， 即， ∴， 过点作于点，如图： 在△和△中， ， ∴△≌△， ∴， ∴， 中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴△∽△， ∴， 即 ∴， ∵，， ∴， ∴△∽△， ∴， ∴， ∴，， ∴， 中，，， 由勾股定理得： 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 三、解答题 19．如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF的边EF上的高和面积． 【答案】的边EF上的高为3，面积为 【分析】证明△ABC∽△DEF，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【解析】解：在和中， ∵，， ∴． 又， ∴，与的相似比为． ∵的边BC上的高为6，面积为， ∴的边EF上的高为，面积为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质定理的应用问题；解题的关键是准确判断、深刻分析、灵活论证． 20．如图，在和中，G，H分别是边和的中点，已知． （1）中线与的比是多少？ （2）与的面积比是多少？ 【答案】（1）中线与的比是2∶1；（2）与的面积比是4∶1． 【分析】（1）先证明△BAC∽△EDF，推出∠B=∠E，，再证明△ABG∽△DEH，即可求出答案； （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出答案． 【解析】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴△BAC∽△EDF， ∴∠B=∠E，， ∵G，H分别是边和的中点， ∴BC=2BG，EF=2EH， ∴， ∴△ABG∽△DEH， ∴，即中线与的比是2∶1； （2）∵△BAC∽△EDF， ∴，即与的面积比是4∶1． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理并运用证明是解题的关键． 21．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长． 【答案】PQ的长为120m 【分析】证△PQR∽△PST，利用对应边成比例建立方程求解即可． 【解析】解：设PQ＝xm， 由题意可知QR∥ST， ∴△PQR∽△PST ∴． ∴， 解得：x＝120． ∴PQ的长为120m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用对应边成比例建立方程是解题的关键． 22．如图，在中，点D，E分别在边和上，且． （1）若，则等于多少？ （2）若，则，各等于多少？ 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，可得，依据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，由图形中的三角形、四边形的关系即可得出面积比； （2）由（1）得：且，可得：，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出三角形的相似比，即：，然后再根据图形中AD、DB、AB之间的关系即可得出答案． 【解析】解：（1）∵DE//BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】题目主要考查相似三角形的相似比及面积比之间的关系，熟练掌握相似三角形的基本性质是解题关键． 23．如图，是上一点，，若是上的点，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过作，得出，根据相似三角形的性质即可求解； 【解析】解：过作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 24．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【解析】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 25．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 26．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．已知． (1)如图，点 为边 上任意一点，点 在边上，且 与 相似．请在图中画出所有符合题意的 （不必尺规作图）；若 ，试用 的代数式表示 的长； (2)点 分别在边、上，且 与 相似，若 ，试求当符合题意的 唯一时，的取值范围是__________． 【答案】(1)作图见解析，或． (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的定义、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． （1）过点D做的平行线，，再结合公共角，即可作出；同理作出做也可作出；再利用相似三角形对应边成比例，将代入计算即可； (2)当时， 与相似总是存立，只要求出点N与点C重合，且时的长即可，当 (N与C重合)时，有，当符合题意的唯一时，然后求得x的取值范围即可． 【解析】（1）解：如图：过点D作的平行线， ∴， 由公共角， 则； ∴， ∴，解得：； 如图：先作出， 由公共角， 则， ∴，即， 解得：． 综上，的长为或． （2）解：当时，与相似总是存立， ∴只要求出点N与点C重合，且时的长即可， 当 (N与C重合)时，有， ∴，即： ， 解得． ∴当符合题意的唯一时， x的取值范围是． 故答案为：． 28．如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线经过点，求得，得到，令，则，即得； （2）设直线解析式为，把，代入，解方程组得到，根据，得到，求出，得到直线解析式为，当时，，即得； （3）过点C作于点G，过点P作于点H，得到，得到，求出，，, ，根据勾股定理得到，设，得到，根据得到，求得，得到，求得，得到，得到，得到，即得． 【解析】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴； （2）根据题意作图如下， 设直线解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 设和的边上的高分别为和， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （3）过点C作于点G，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，，, ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，同底等积三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 29．如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 66 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的性质（九大题型） 学习目标 1、掌握相似三角形的性质； 2、学会解决相似三角形性质的实际应用； 3、利用相似三角形的性质与其他几何知识解决问题。 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 【方法规律】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 如图24—43,已知△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC与△△A1B1C1的相似比为k,AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线.那么 的值是否也等于k? 为什么? 由已知条件可知△ABD、A1B1D1, 有两个角对应相等，于是可推出结论是肯定的. 推导过程如下： ∵△AB C∽△A1B1C1， 顶点 A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ∴ ∠B=∠B,∠BAC=∠B1A1C1 (相似三角形的对应角相等). ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线， 即 ∴∠BAD=∠B1A1D1. 在△ABD 与A1B1D1中， ∴ △ABD∽△A1B1D1 (两角对应相等，两个三角形相似). 得 (相似三角形的对应边成比例), 即 用类似的方法可以得到，相似三角形的对应高的比、对应中线的比也等于相似比. 3.相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 【方法规律】相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【方法规律】测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【方法规律】　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【即学即练1】如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】已知在梯形中，，交于，若，则的值为 【即学即练4】如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【即学即练5】清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里． 题型1：直接利用相似三角形的性质求解 【典例1】．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【典例2】．如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【典例3】．如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【典例4】．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【典例5】．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【典例6】．已知：，若，，则与的相似比为 ，它们的面积比为 ． 【典例7】．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 【典例8】．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 题型2：已知两三角形相似，结合其他几何知识求解 【典例9】．已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 【典例10】．如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 【典例11】．如图，方格中的，则相似比为（    ）． A． B． C． D． 【典例12】．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为 ． 【典例13】．如图，已知． (1)若平分，，求的度数； (2)若，求AC的长． 【典例14】．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是 ． 题型3：相似三角形的判定与性质—求含平行线的相似三角形问题 【典例15】．如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【典例16】．如图，相交于点O，是的中位线．若，则的长为 ． 【典例17】．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【典例18】．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 题型4：相似三角形的判定与性质—面积（比）问题综合 【典例19】．如图，在中，D，E分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【典例20】．如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．3 【典例21】．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 【典例22】．如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 【典例23】．如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【典例24】．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【典例25】．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ． 题型5：相似三角形的实际应用 【典例26】．如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 【典例27】．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米． 【典例28】．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    题型6：网格问题 【典例29】．如图，在的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）．    (1)在图1中画出，使它由绕着点B旋转得到； (2)在图2中找到格点M，N，使得与相似，且相似比为． 【典例30】．如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例31】．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型7：根据相似求点的坐标 【典例32】．在直角坐标系中有两点，点C为的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，使得． 【典例33】．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 题型8：动点问题（分类讨论；求参数范围） 【典例34】．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【典例35】．如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 【典例36】．如图，矩形中，，，点在边上，，过点作交于点，若线段上存在个不同的点，使得与相似，则的取值范围为 ． 题型9：根据三角形相似求对应线段成比例 【典例37】．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【典例38】．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于． 求证：． 【典例39】．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 一、单选题 1．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（    ） A． B． C． D．不能确定 3．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（   ） A． B． C．相似比为 D．相似比为 4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（    ） A．4 B．8 C． D． 8．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E．若F为CE中点，则△BEF的周长是（    ） A．＋2 B．2＋2 C．2＋2 D．6 二、填空题 11．已知∽，它们的面积比为，则对应角的角平分线的比等于 ． 12．如果的三边长分别是3、4、5，与其相似的的最长边为15，那么的周长是 . 13．如图，点E是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点F，若，则 ． 14．一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米． 15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则 ． 16．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，点、在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为 ． 17．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．    18．如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ． 三、解答题 19．如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF的边EF上的高和面积． 20．如图，在和中，G，H分别是边和的中点，已知． （1）中线与的比是多少？ （2）与的面积比是多少？ 21．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长． 22．如图，在中，点D，E分别在边和上，且． （1）若，则等于多少？ （2）若，则，各等于多少？ 23．如图，是上一点，，若是上的点，，求的值． 24．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 25．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 26．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 27．已知． (1)如图，点 为边 上任意一点，点 在边上，且 与 相似．请在图中画出所有符合题意的 （不必尺规作图）；若 ，试用 的代数式表示 的长； (2)点 分别在边、上，且 与 相似，若 ，试求当符合题意的 唯一时，的取值范围是__________． 28．如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 29．如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$