2.1.1 直线的倾斜角与斜率（8大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.1 直线的倾斜角与斜率 知识点 1 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点 2 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 知识点 3 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，利用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 3、解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 4、利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 题型一 求直线的倾斜角 【例1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图中能表示直线l的倾斜角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·江西·月考）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 题型二 求直线的斜率 【例2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·江苏南京·月考）若将直线沿轴正方向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【变式2-3】（23-24高二上·陕西西安·月考）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 题型三 斜率与倾斜角的概念辨析 【例3】（22-23高二上·广西玉林·月考）下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【变式3-1】（223-24高二上·山东菏泽·月考）（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 【变式3-2】（22-23高二上·湖南郴州·期中）（多选）在下列四个命题中，错误的有（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 【变式3-3】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·月考）（多选）下列四个命题中，错误的有（    ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 题型四 斜率与倾斜角的变化关系 【例4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·江西南昌·月考）若直线的倾斜角为，且，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·江苏南京·月考）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 直线的方向向量与斜率关系 【例5】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·广东东莞·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若点，已知的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-3】（23-24高二下·江苏扬州·月考）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（    ） A．0 B．7 C． D．3 题型六 利用直线斜率处理共线问题 【例6】（23-24高二上·浙江仁怀·月考）三点在一条直线上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式6-2】（23-24高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【变式6-3】（22-23高二上·安徽六安·月考）已知，，若在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七 直线与线段有公共点问题 【例7】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·福建福州·月考）已知点，，若过斜率为的直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式7-2】（23-24高二上·福建福州·月考）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 【变式7-3】（23-24高二上·广东江门·月考）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 题型八 直线斜率的几何意义应用 【例8】（21-22高二上·北京·月考）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【变式8-2】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【变式8-3】（23-24高二上·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 知识点 1 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点 2 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 知识点 3 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，利用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 3、解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 4、利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 题型一 求直线的倾斜角 【例1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图中能表示直线l的倾斜角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由倾斜角的定义，直线向上的方向与x轴正向之间所成角为倾斜角， 可知只有选项A中的表示直线l的倾斜角.故选：A 【变式1-1】（23-24高二上·江西·月考）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的倾斜角为，与垂直，所以的倾斜角为.故选：B. 【变式1-2】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为.故选：C. 【变式1-3】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系， 得， 所以直线的倾斜角为. 题型二 求直线的斜率 【例2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】直线l的斜率.故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·江苏南京·月考）若将直线沿轴正方向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设是直线上任意一点，则平移后得点， 于是直线l的斜率.故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【解析】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 【变式2-3】（23-24高二上·陕西西安·月考）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【解析】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得，. 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 题型三 斜率与倾斜角的概念辨析 【例3】（22-23高二上·广西玉林·月考）下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【解析】直线倾斜角的范围是，①正确； 直线倾斜角为，当时，值域为，当时， 值域为，因此，②正确； 因为倾斜角为的直线没有斜率， 因此任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，③不正确，④正确， 所以给定命题正确的有①②④.故选：C 【变式3-1】（223-24高二上·山东菏泽·月考）（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 【答案】AB 【解析】当时，其斜率，所以A正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角， 由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确； 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为， 且，故C不正确； 直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB. 【变式3-2】（22-23高二上·湖南郴州·期中）（多选）在下列四个命题中，错误的有（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在,所以A错误; 对于B,直线的倾斜角的取值范围为,所以B正确; 对于C,因为且，所以,所以C错误; 对于D,倾斜角为的直线斜率不存在,所以D错误.故选：ACD 【变式3-3】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·月考）（多选）下列四个命题中，错误的有（    ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】ACD 【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以， 当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确； 对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；故选：ACD 题型四 斜率与倾斜角的变化关系 【例4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【变式4-1】（23-24高二上·江西南昌·月考）若直线的倾斜角为，且，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线倾斜角为时，斜率为1，直线倾斜角为时，斜率为， 当倾斜角为时，斜率不存在， 因为在上是增函数，在上是增函数， 所以当时，的取值范围是.故选：D 【变式4-2】（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为，且，直线的倾斜角，则，， 因为正切函数在、上均为增函数， 当时，即，此时，； 当时，即，此时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围为.故选：B. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏南京·月考）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由图可得，，故A、D正确.故选：AD. 题型五 直线的方向向量与斜率关系 【例5】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为， 由直线的方向向量可知直线的斜率，所以.故选：D. 【变式5-1】（23-24高二上·广东东莞·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线l的一个方向向量是，故斜率为 设直线l的倾斜角是，则， 故.故选：C 【变式5-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若点，已知的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】的方向向量坐标为，即. 又也是的方向向量，. 【变式5-3】（23-24高二下·江苏扬州·月考）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（    ） A．0 B．7 C． D．3 【答案】B 【解析】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 则，解得， 所以.故选：B. 题型六 利用直线斜率处理共线问题 【例6】（23-24高二上·浙江仁怀·月考）三点在一条直线上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，即，解得.故选：B 【变式6-1】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得．故选：D. 【变式6-2】（23-24高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【答案】 【解析】由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 【变式6-3】（22-23高二上·安徽六安·月考）已知，，若在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在线段上， 所以，且， 即，所以， 设， 所以当时，.故选：D. 题型七 直线与线段有公共点问题 【例7】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出图象如下图所示， ， 所以直线的斜率的范围是， 对应倾斜角的取值范围是.故选：D 【变式7-1】（23-24高二上·福建福州·月考）已知点，，若过斜率为的直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】如图，若与线段相交，直线范围从到， 直线的斜率，直线的斜率， 故，故选：C 【变式7-2】（23-24高二上·福建福州·月考）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 【答案】 【解析】由、、，得，， 如图所示： 因为过点C的直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率或， 即直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围 故答案为： 【变式7-3】（23-24高二上·广东江门·月考）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，设，则，. 故若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是. 故答案为： 题型八 直线斜率的几何意义应用 【例8】（21-22高二上·北京·月考）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，故选：C. 【变式8-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【解析】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足.故选：C. 【变式8-2】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式8-3】（23-24高二上·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数的大致图象，如图所示： 由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小， 由，得．故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$