第二章第05讲 解题技巧专题：与绝对值的有关的化简(7类热点题型讲练)-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）

第05讲 解题技巧专题：与绝对值的有关的化简 (7类热点题型讲练) 目录 【题型一 已知参数的范围化简绝对值】 1 【题型二 利用绝对值非负性进行求解】 2 【题型三 化简含绝对值的多重符号】 4 【题型四 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 6 【题型五 利用绝对值的定义求解绝对值方程】 9 【题型六 利用绝对值的性质分类讨论】 12 【题型七 利用绝对值的几何意义化简绝对值】 16 【题型一 已知参数的范围化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性，是解题的关键．根据负数的绝对值是正数，绝对值的非负性进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023七年级上·福建·专题练习）若，则 ；当时， ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及化简，由，可得，由绝对值的性质，即可求得的值；由，即可求得的值，又由绝对值的性质，即可求得的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． 故答案为：，5． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查绝对值的性质，当时，；当时，，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．由，根据绝对值的性质可得，然后然后合并同类项即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：4 4．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 【题型二 利用绝对值非负性进行求解】 例题：（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若与互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握非负数和平方的非负性，以及只有符合不同的数互为相反数．先根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，与互为相反数， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 3．（23-24七年级上·四川内江·期中）当 时，代数式有最大值为 ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值，最大值为3， 故答案为：1，3． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【详解】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 【题型三 化简含绝对值的多重符号】 例题：（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）化简： （1）           （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据相反数的含义可得 答案； （2）先求绝对值，再求解相反数即可． 【详解】解：（1）， （2）； 故答案为：、 【点睛】本题考查的是相反数的含义，求解一个数的绝对值，熟记概念是解本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的性质，求3的相反数即可解答，再确定的绝对值即可． 【详解】解：，． 故答案为：；． 2．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）用“＞”“＜”“＝”号填空： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值和相反数； （1）先化简绝对值，再进行比较； （2）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案； （3）先化简绝对值，去括号，再进行比较． 【详解】解：（1）因为，， 所以； （2）因为，，且， 所以； （3）因为，， 所以； 故答案为：（1）；（2）；（3）． 3．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 【答案】 5 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值的意义，根据多重符号化简和绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 4．（23-24七年级上·河南濮阳·期中）有理数中，负整数是 ，非负数是 ． 【答案】 ， ，，， 【分析】本题考查的是绝对值的化简，化简双重符号，有理数的分类，掌握负整数，非负数的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴负整数是，； 非负数是，，，； 故答案为：，；，，，； 【题型四 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】 本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏·周测）有理数a、b、c在数轴上位置如图，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较，绝对值的化简．熟练熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 由题意知，，即，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， ∴的值为． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 3．（20-21七年级上·广东阳江·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减． （1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）由数轴可得：，， ∴，，． 故答案为：＜，＜，＞ （2）∵，， ∴ ． 4．（23-24七年级上·湖南常德·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．    (1)用“”连接：0，a，b，c； (2)化简代数式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值和有理数大小比较等知识点，能根据数轴得出和是解此题的关键． （1）根据数轴比较即可； （2）根据数轴得出，再去掉绝对值符号，最后求出答案即可． 【详解】（1）从数轴可知：； （2）从数轴可知：， 所以 ． 【题型五 利用绝对值的定义求解绝对值方程】 例题：（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ． 【答案】8或2/2或8 【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于一个正数的数有2个求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或2． 故答案为：8或2． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意即可.根据题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． ∴或 故答案为：3或． 3．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 4．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）阅读材料：如图，，，，若A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，则．例如，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)，则______． (2)，则______． (3)，则______． (4)式子的最小值为______． (5)若，则______． 【答案】(1)4或； (2)3或 (3)1 (4)2 (5)6或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的意义，可知表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离为2，即可求解； （3）根据绝对值的意义，结合数轴可知：数对应的点是3和对应点的中点时，，进而即可求解； （4）根据绝对值的意义，结合数轴可知：当数在数3和之间时，的值最小，进而即可求解； （5）分三种情况：当时，当时，当时，化简绝对值进行解答即可． 解答此类问题要用到数形结合和分类讨论的思想，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可知：表示与原点两数在数轴上所对的两点之间的距离为4， ∴或， 故答案为：4或； （2）根据绝对值的意义可知：表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离为2， 结合数轴可知：或， 故答案为：3或； （3）根据绝对值的意义可知：表示与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离， ∵， 结合数轴可知：数对应的点是3和对应点的中点， ∴， 故答案为：1； （4）根据绝对值的意义可知：表示与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离， 则表示，与3，1两数在数轴上的距离之和， 结合数轴可知：当数在数3和之间时，的值最小， 则，此时：， 故答案为：2； （5）∵， 当时，，解得：； 当时，，此时不存在是的； 当时，，解得：； 综上，或． 故答案为：6或． 【题型六 利用绝对值的性质分类讨论】 例题：若，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的值为3或， 故答案为：3或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）对于有理数x，y，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【详解】解：∵ ∴异号． ∴， ∴， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 4．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）当时，，当时，； （2）由数轴可知：，根据，计算求解即可； （3）若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况：①若n，m，p都为正数；②若n，m，p有两个正数；③若n，m，p有一个正数；④若n，m，p都为负数；分别化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知：， ∴， ∴的值为； （3）解：若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况： ①若n，m，p都为正数，即，，，则； ②若n，m，p有两个正数，不妨设，，，则； ③若n，m，p有一个正数，不妨设，，，则； ④若n，m，p都为负数，即，，，则； 综上，若有三个均不为零的数n，m，p，则的值为或． 【点睛】本题考查了化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小．解题的关键在于分情况求解． 【题型七 利用绝对值的几何意义化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_______和_______，B，C两点间的距离是________； (2)若点A表示的整数为x，则当x为__________时，与的值相等； (3)要使代数式取最小值，相应的x的取值范围是_____________． 【答案】(1)，，8； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离、用数轴表示有理数、解绝对值方程、化简绝对值等知识点，掌握数轴与绝对值的相关知识是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可确定点B表示的数，再根据数轴确定点C表示的数先，然后根据两点间的距离公式求得B、C两点之间的距离； （2）根据题意得到，解绝对值方程即可解答； （3）根据绝对值的意义即可解答． 【详解】（1）解：的相反数是，即点B表示的数为； 点C表示的数为，B、C两点间的距离是． 故答案为：，，8． （2）解：∵与的值相等， ∴①，此种情况等式不成立； ②，解得：． 故答案为：． （3）解：∵值最小， ∴在数轴上可以看作表示x的到的距离与x到2的距离和最小， ∴x只能在与2之间，包括与2两个端点， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 【答案】 （1）（2）为或 【分析】考查数轴上两点之间的距离． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为，得知此题为动点问题，因此通过数轴上表示的点的左边和右边，得到与的距离为的点即可． 【详解】（1）因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）因为数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【答案】(1)；1；9； (2)； (3)①6，中任一个数都可以；②1，12． 【分析】（1）根据题意及非负数的性质求解即可； （2）先求出的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为：；1；9； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）①表示数轴上的点到5和-1的距离之和， ∴的最小值为， 此时x可以取的值为中任一个数都可以； 故答案为：6；（中任一个数都可以）； ②由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建漳州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，若表示一个有理数，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 解决问题： 如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，点表示的有理数互为相反数    (1)请在数轴上标出原点，则点所表示的有理数分别是______，______，______； (2)若，则______； (3)若点到点、点的距离之和为10，求点所对应的数； (4)对于任何有理数是否有最小值，如果有，直接写出最小值，并求出此时能使取最小值的所有整数的和；如果没有，说明理由 【答案】(1)数轴见解析； (2)或 (3)或 (4)有最小值，最小值为； 【分析】（1）根据点表示的有理数互为相反数，在中点找到原点，再判断点所表示的有理数即可； （2）根据代数式的几何意义求出即可； （3）根据题意，列出代数式，再利用代数式的几何意义求出即可； （4）根据代数式的几何意义得到最小值，再把此时所表示的数列举出来进行求和即可； 本题主要考查数轴和绝对值，熟练掌握用绝对值求数轴上两点之间的距离是解题的关键． 【详解】（1）解：点表示的有理数互为相反数 点到的距离和点到的距离相同    根据数轴： 点所表示的有理数分别是． （2）解：根据题意： 所表示的是所表示的数到2的距离是5， 或 故或 （3）解：设点所对应的数是 根据题意： 即： 故点所对应的数是或． （4）解：的意义是所表示的数到，的距离之和 有最小值，最小为值为： 使取最小值的所有整数为： 和为 综上所述：有最小值，最小值为，所有整数的和为． 4．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时，；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵， ∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， ∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解题技巧专题：与绝对值的有关的化简 (7类热点题型讲练) 目录 【题型一 已知参数的范围化简绝对值】 1 【题型二 利用绝对值非负性进行求解】 2 【题型三 化简含绝对值的多重符号】 4 【题型四 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 6 【题型五 利用绝对值的定义求解绝对值方程】 9 【题型六 利用绝对值的性质分类讨论】 12 【题型七 利用绝对值的几何意义化简绝对值】 16 【题型一 已知参数的范围化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则化简 ． 【变式训练】 1．（2023七年级上·福建·专题练习）若，则 ；当时， ． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 4．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【题型二 利用绝对值非负性进行求解】 例题：（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则 ， ． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若与互为相反数，则 ． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 3．（23-24七年级上·四川内江·期中）当 时，代数式有最大值为 ． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【题型三 化简含绝对值的多重符号】 例题：（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）化简： （1）           （2） ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）化简： ， ． 2．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）用“＞”“＜”“＝”号填空： （1） ； （2） ； （3） ． 3．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 4．（23-24七年级上·河南濮阳·期中）有理数中，负整数是 ，非负数是 ． 【题型四 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏·周测）有理数a、b、c在数轴上位置如图，求的值． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 3．（20-21七年级上·广东阳江·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 4．（23-24七年级上·湖南常德·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．    (1)用“”连接：0，a，b，c； (2)化简代数式：． 【题型五 利用绝对值的定义求解绝对值方程】 例题：（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知，那么 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 4．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）阅读材料：如图，，，，若A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，则．例如，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)，则______． (2)，则______． (3)，则______． (4)式子的最小值为______． (5)若，则______． 【题型六 利用绝对值的性质分类讨论】 例题：若，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）对于有理数x，y，若，则的值是 ． 2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 4．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【题型七 利用绝对值的几何意义化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_______和_______，B，C两点间的距离是________； (2)若点A表示的整数为x，则当x为__________时，与的值相等； (3)要使代数式取最小值，相应的x的取值范围是_____________． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 3．（23-24七年级上·福建漳州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，若表示一个有理数，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 解决问题： 如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，点表示的有理数互为相反数    (1)请在数轴上标出原点，则点所表示的有理数分别是______，______，______； (2)若，则______； (3)若点到点、点的距离之和为10，求点所对应的数； (4)对于任何有理数是否有最小值，如果有，直接写出最小值，并求出此时能使取最小值的所有整数的和；如果没有，说明理由 4．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$