精品解析：上海市闵行区四校联考2023-2024学年九年级下学期3月自适应性练习数学试题

2024学年闵行区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3.考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5.本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 保持不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来一半 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是将扩大后字母代入化简与原来进行比较．将x、y分别以、代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值不变， 故选：A． 2. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2a D. 1﹣2a 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1， ∴a>0， a-1<0， ∴原式=|a|+1+1-a =a+1+1- a =2． 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键． 3. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由勾股定理可得，结合，，，即可得出，进而得出AD的长是方程的一个正根． 【详解】由题意可知：设，根据勾股定理得： ， 整理得：， 则该方程的一个正根是AD的长， 通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、勾股定理，数形结合是解题的关键． 4. 某批电子产品进价为200元/件，售价为350元/件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价x元，则可列不等式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．根据利润率不低于列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 5. 如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ） A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外 C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外 【答案】C 【解析】 【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可 【详解】 ∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1 ∴圆A的半径为5 ∵<5 ∴点D在圆A内 在Rt△ABC中， ∴点C在圆A上 故选：C 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键 6. 已知在平面直角坐标系中，点为，点为，将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C.  或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得到二次函数图象绕原点旋转得到抛物线的解析式．先得出该二次函数绕原点旋转得到抛物线的解析式，再把点A和点B分别代入，求出m的值，即可解答． 【详解】解：将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线：，即， 当抛物线经过点时，则，解得； 当抛物线经过点时，则，解得， 当抛物线与轴有一个交点时，则， ， 解得， 此时，与轴的交点为，不合题意， 若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是． 故选：A． 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解： _____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0， 故答案为x≥-1且x≠0． 9. 一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为 _____个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程在概率中的应用，根据频率估计出红球的概率，设袋子中白球有x个，根据题意得：，据此即可求解． 【详解】解：设袋子中白球有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以袋子中白球的个数约为个， 故答案为： 10. 设、是方程的两个实数根，若，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．首先根据题意得到，然后根据根与系数的关系得到，结合求出，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， 解得， 的取值范围为． 故答案为：． 11. 用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法是解题关键．将，代入原方程组即可． 【详解】将，代入原方程组， 得：． 故答案为：． 12. 点A与点B的纵坐标相同，横坐标不同，则直线AB与y轴的位置关系______． 【答案】垂直 【解析】 【分析】由点A与点B的纵坐标相同，横坐标不同，可知直线AB与y轴的关系是垂直． 【详解】解：∵点A与点B的纵坐标相同，横坐标不同， ∴直线AB与y轴垂直． 即直线AB与y轴的关系是垂直． 故答案为垂直 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与y轴垂直的直线上所有的点的纵坐标相等，横坐标不同． 13. 两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，点P是的黄金分割点，且，设，则，则，即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】由题意知，点P是的黄金分割点，且，设，则， ∴， ∴， 化简得：， 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解． 【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB， ∴， ∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴△AFH的周长， 故答案为：6． 【点睛】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 15. 观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律探索，从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 16. 如图，点E、F在对角线上，且，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，根据，得到，进而得到，利用三角形法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； 故答案为： 17. 七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的如图，有一块边长为的正方形厚纸板，做成如图所示的一套七巧板（点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，），将图示七巧板拼成如图所示的“鱼形”，则“鱼尾”的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质即可求解．本题考查正方形，等腰三角形，平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键． 【详解】解：在等腰直角三角形中， ， ， 点、分别为、的中点， ， 又， ， ． 故答案为：． 18. 如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在延长线上，，，交x轴于点F，边交反比例函数的图象于点P，记的面积为S，若，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作轴于点N，过点D作轴于点M，过点E作轴于点Q，设点，先证明，得出，，再根据反比例函数图象上的点特征得出，从而得出为等腰直角三角形，得出，根据三角形的面积公式得出，根据在反比例函数图形上，得出，求出的值，进而求出点的坐标，求出直线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于点N，过点D作轴于点M，过点E作轴于点Q． 设点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 则， ∴， 同理可得：， ∴，， 则， ∴， ∵点C，D恰好都落在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，则，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，则，， ∴， ∵， ∴， ∵在反比例函数图形上， ∴， 联立得：， 解得：． ∴，，，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 令， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，二次根式的运算等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形对应边相等． 三.解答题（满分78分） 19. 计算：； 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊三角形函数值，负整数指数幂，绝对值的运算，根据负整数指数幂，绝对值的运算，特殊三角形函数值，计算各项，再算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解不等式组：并写出其自然数解 【答案】，自然数解为0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而写出其自然数解即可． 【详解】解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴自然数解为0，1． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点，P点在x轴上，且，求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先把A点代入（k为常数，且）中求出k得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得与x轴的交点Q的坐标，利用求得的长度，从而求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入（k为常数，且）得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， ∴B点坐标为， 把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：连接交x轴于点Q， 设直线的解析式为， 把A、C的坐标代入得， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P点的坐标或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式． 22. 如图，在中，点P为弧的中点，弦、互相垂直，垂足为F，分别与、相交于点D、E，连接，． （1）求证：． （2）和的长度是一元二次方程的两根（），，求线段的长． 【答案】（1） ∵点P为弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，，推得，根据对顶角相等可推得，根据相似三角形的判定即可证明； （2）根据题意和一元二次方程的解可得，，过点作于点，根据勾股定理可得，根据相似三角形的判定和性质可得，，推得，根据相似三角形的判定和性质可得，，，，根据勾股定理求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 整理得： ， 解得：，， ∵和的长度是一元二次方程的两根（）， ∴，， 过点作于点，如图： 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，弦、互相垂直， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，对顶角相等，求解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 阅读与应用 我们知道，即，所以（当且仅当时取等号）． 阅读1：若为实数， 且， （当且仅当时取等号） 阅读2：若函数（为常数）， ， 由阅读1的结论可知，即 当时，函数有最小值，最小值为． 阅读理解以上材料，解答下列问题： （1）当____时，函数有最小值，最小值为_______． （2）疫情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最短？ （3）随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，已知每台机器人的运营成本包含以下三个部分：一是进价为25000元；二是材料损耗费，每小时为7元；三是折旧费，折旧费y（元）与运营工作时间t（小时）的函数关系式为．当运营工作时间t长达多少小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？ 【答案】（1）2，4 （2）这个矩形隔离区域的长是8m，宽是4m时，所用隔离带的长度最短； （3）当运营工作时间t长达500小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是107元． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料2，即可求解； （2）设这个矩形隔离区域的长为xm，宽为ym，所用隔离带的长度为S，可得，从而得到，再由阅读材料2，即可求解； （3）根据题意可得每台机器人平均每小时的运营成本为，再由阅读材料2，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴当时，函数有最小值，最小值为4， 此时x=2，x=-2（舍去）， 即x=2时，函数有最小值，最小值为4； 故答案为：2，4 【小问2详解】 解：设这个矩形隔离区域的长为xm，宽为ym，所用隔离带的长度为S，根据题意得： xy=32， ∴， ∴， ∴当时，函数S有最小值，最小值为16， 此时x=8，x=-8（舍去）， 即这个矩形隔离区域的长是8m，宽是4m时，所用隔离带的长度最短； 【小问3详解】 解：根据题意得：每台机器人平均每小时的运营成本为 ， ∴当时，运营成本最低，最低运营成本是107元， 此时t=500或t=-500（舍去）， 即当运营工作时间t长达500小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是107元． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，分式方程的应用，明确题意，理解阅读材料是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解； （3）分BC为菱形的边、菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过， ∴ ∴ ∴ （2）设，将点代入 ∴ 过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F 设点，则 由铅垂定理可得 ∴面积最大值为 （3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5， 则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5， 联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）； 设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC为菱形的边时， 点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D）， 即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②， 当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③， 当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④， 联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）； 联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）； ②当BC为菱形的对角线时， 则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤， 此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥， 联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3， 故点E（1，−3）， 综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）． ∴存在， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD． （1）求证：CE2＝BE•DE； （2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长； （3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】（1） 证明：如图1，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）DE＝ （3）（） 【解析】 【分析】（1）证明两个角相等证明，列比例式可得结论； （2）如图2，过作于，根据是等腰直角三角形，得，由平行线分线段成比例定理得，计算和的长，利用勾股定理计算和的长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得：，设，，代入比例式可得结论； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明，得，证明，得，证明，列比例式得，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据，是上一点，，可知当点与重合时，最大为，可得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，过作于， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，，， ， ， 由勾股定理得：， 由（1）知：， ， 设，， ， ， ； 【小问3详解】 如图3，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 中，， ， ，是上一点，， 当点与重合时，最大为， ， ， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年闵行区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3.考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5.本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 保持不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来一半 D. 无法确定 2. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2a D. 1﹣2a 3. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 4. 某批电子产品进价为200元/件，售价为350元/件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价x元，则可列不等式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ） A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外 C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外 6. 已知在平面直角坐标系中，点为，点为，将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C.  或 D. 或 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解： _____ 8. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 9. 一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为 _____个． 10. 设、是方程的两个实数根，若，则的取值范围是______ ． 11. 用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组__． 12. 点A与点B的纵坐标相同，横坐标不同，则直线AB与y轴的位置关系______． 13. 两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 15. 观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是________． 16. 如图，点E、F在对角线上，且，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______ 17. 七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的如图，有一块边长为的正方形厚纸板，做成如图所示的一套七巧板（点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，），将图示七巧板拼成如图所示的“鱼形”，则“鱼尾”的长为______ ． 18. 如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在延长线上，，，交x轴于点F，边交反比例函数的图象于点P，记的面积为S，若，则的面积为______． 三.解答题（满分78分） 19. 计算：； 20. 解不等式组：并写出其自然数解 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点，P点在x轴上，且，求出点P的坐标． 22. 如图，在中，点P为弧的中点，弦、互相垂直，垂足为F，分别与、相交于点D、E，连接，． （1）求证：． （2）和的长度是一元二次方程的两根（），，求线段的长． 23. 阅读与应用 我们知道，即，所以（当且仅当时取等号）． 阅读1：若为实数， 且， （当且仅当时取等号） 阅读2：若函数（为常数）， ， 由阅读1的结论可知，即 当时，函数有最小值，最小值为． 阅读理解以上材料，解答下列问题： （1）当____时，函数有最小值，最小值为_______． （2）疫情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最短？ （3）随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，已知每台机器人的运营成本包含以下三个部分：一是进价为25000元；二是材料损耗费，每小时为7元；三是折旧费，折旧费y（元）与运营工作时间t（小时）的函数关系式为．当运营工作时间t长达多少小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD． （1）求证：CE2＝BE•DE； （2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长； （3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $