1.1集合讲义-2025届高三数学一轮复习

专题1.1 集 合 课标要求 考情分析 核心素养 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 新高考 近3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 直观想象 2024(Ⅰ)卷 1 交集运算 2024(Ⅱ)卷 / / 2023(Ⅰ)卷 1 交集运算 2023(Ⅱ)卷 2 由集合关系求参 2022(Ⅰ)卷 1 交集运算 2022(Ⅱ)卷 1，17 交集运算， 元素个数概念 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 (或) (5)集合的分类：有限集、无限集和空集. 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合中所有元素都在集合中(即若，则) (或) 真子集 集合是集合的子集，且集合中至少有一个元素不在集合中 (或) 集合相等 集合A，中的元素相同或集合，互为子集 重要结论： ⑴若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. ⑵空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合 补集 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合 重要结论： ⑴. ⑵ ⑶. ⑷ ⑸ ⑹ 1.【人教A必修一P35复习参考题1 T8】若集合，集合，则 A. B. C. D. ， 2.【人教B版必修一P14练习B T2】（多选）已知，，，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 考点一 集合的基本概念 【典例精讲】 例1.(2024·福建省孝感市月考)（多选） 下列四个命题中正确的是(    ) A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 与集合，，相等的是，， D. 中含有三个元素 例2.(2024·北京市市辖区期中考试) 已知集合，且，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或或 【方法储备】 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2.利用集合元素的条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【拓展提升】 练1-1(2024·山东省枣庄市月考) 已知，，则可表示不同点的个数是(    ) A. B. C. D. 练1-2(2024·浙江省瑞安市月考) 已知集合，，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为           考点二 集合间的基本关系 【典例精讲】  例3.(2023·江苏省无锡市月考)（多选）下列说法正确的是(    ) A. 是由的所有实数组成的集合，是由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合，、均不存在 B. ，是由个组成的集合，则 C. ，，则可能有个 D. ，，用列举法表示集合为 例4. (2024·河北省石家庄市联考)（多选）已知集合， ，则下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若时，则或 【方法储备】 1.集合间基本关系的判断 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系； (2)用列举法、图示法表示各集合，从元素中寻找关系. 2.根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素:首先，对子集是否为空集进行分类讨论；其次，是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常借助数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 注意：在列不等式（组）时，注意端点值能否取到． 【拓展提升】 练2-1(2023·江西省南昌市模拟)（多选）若集合，，则正确的结论有(    ) A. B. C. D. 练2-2(2024·浙江省瑞安市周考) 已知函数的定义域是关于的不等式的解集的子集，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点三 集合的运算 【典例精讲】 例5.(2024·河南省新乡市模拟)（多选）已知集合则(    ) A. B. C. D. 例6.(2023·福建省三明市月考) 若、是全集的真子集，则下列四个命题： ①；      ②；   ③ ；     ④ 中与命题等价的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 例7.(2024·湖南省长沙市模拟)集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 或 【方法储备】 1.集合基本运算的思路 确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件； 化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，清晰的表示集合； 运算求解：利用集合运算的定义求解，可借助数轴或Venn图. 2.数形结合思想的应用 ⑴离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施； ⑵连续的数集间的运算，常利用数轴进行； 本质上都是数形结合思想的体现和运用． 【拓展提升】 练3-1(2024·湖北省荆州市期末)（多选） 给定集合，，定义，且， 若，，则(    ) A. B. C. D. 练3-2(2023·山东省青岛市模拟) 设集合，，则下列说法一定正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有个元素 D. 若，则 练3-3(2024·江苏省徐州市模拟) 则           ． 1.(2024·湖南省长沙市模拟) 若集合满足：若则，则称集合是一个“偶集合”已知全集，那么下列集合中为“偶集合”的是(    ) A. B. C. D. 2.(2024·辽宁省辽阳市联考)（多选）已知集合，则(    ) A. B. C. D. 3.(2024·河北省石家庄市模拟)设，若，则的取值范围为          ；集合中有两个元素的充要条件是          ． 【答案解析】  1.【人教A必修一P35复习参考题1 T8】 解：集合表示纵坐标为的点集，集合表示横坐标为的点集，所以，故选B． 2.【人教B版必修一P14练习B T2】（多选） 解：由题意，，，由于，，所以．，由于，所以为偶数，因此，故，所以，D正确，，C错误．故选BD． 例1. 解：解：分别取，同正、同负和一正一负时， 可以得到的值分别为，，，故A正确； 由得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，；当时，， 所以集合含有四个元素，，，，故D错误， 故选ABC． 例2. 解：因为，且， 所以或，解得或或． 当时，，即集合不满足集合元素的互异性，故 当时，集合不满足集合元素的互异性，故 当时，满足条件． 故选A． 练1-1. 解：由题意，可表示，，，，，，共个点． 故选C． 练1-2. 解：由中不等式变形得：，解得：或，即 由，，且中恰有个整数元素，知方程有两个实数根． 设，则的轴对称，且对应方程的根，，满足，取， 中恰有的两个整数元素为，， ，解得， 的取值范围为 故答案为：  例3. 解：对，由的所有实数组成的集合是空集， 由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，故、都存在，故错误； 对，，由个组成的集合， 根据集合中元素的互异性，故，故正确； 对，， 因为，故含有、且是的子集， 可能为，，，，共有个，故正确； 对，，故错误． 故选． 例4. 解：由题意得， 若，则且，解得，故A正确； 故当时，，故D不正确； 若，则且，解得，故B正确； 当时，得，解得或，故C正确． 故选：． 练2-1. 解：依题意， 而 或， 故A，故可得，则， 故选：． 练2-2. 解：由函数的定义域为可得，解答， 所以关于的不等式的解集为， 因为 或， 所以可得或解得． 故答案为． 例5. 解：由可得或，即或 ， 对于项，，故 A项错误； 对于项， ，故B项正确； 对于项，因或，故，故 C项正确； 对于项，结合，可知，故 D项正确． 故选：． 例6. 解：由得图， ①② ③④ 故和命题等价的有①③， 故选B． 例7. 由等价于，解得或， 所以或，又，所以， 当时，即无解，此时，满足题意． 当时，即有解， 当时，可得，即，要使，则需要，解得． 当时，可得，即，要使，则需要，解得． 综上，实数的取值范围是． 故选A． 练3-1. 解：，，故，故A正确 由新定义可知，，故B正确 ，故C错误，故D正确． 故选：． 练3-2. 解：当时，， 当时，，， 若，则或或，可能为空集，也可能不为空集，，B错误； 若，则，，但可能，可能有个元素，也可能有个元素，C错误； 若，则或，，D正确． 故选：． 练3-3. 解：设，由题意可得， 两边同除，可得，所以， 由，一定有，，即， ，则或， 代入可得或 所以或， 故答案为：或 1.解：因为  ，所以  ， 因为  ，但  ，故A错误，  ，因为  ，但  ，故B错误，  ，所以   ，不合题意，所以选项C的说法是不正确的，  ，所以  ， 满足对 , ，所以  是一个“偶集合”，所以D正确， 故选D． 2.解：解：由题意得 ， 故，， 故A错误，B正确； 由于，故， 则，故 C正确； 若，则能取到所有的正数， 即，则或， 即，故 D正确， 故选： 3.解：因为，，所以，即无解， 当时，不成立 当时，，解得综上可知，的取值范围为 集合中有两个元素，即有两个不等的实数根， 当时，不成立 当时，，解得． 因此集合中有两个元素的充要条件是且 故答案为：；且 共10页/第10页 学科网（北京）股份有限公司 $$