精品解析：广东省佛山市南海区南海外国语学校2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题

2023～2024学年度七年级第二学期期末测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 计算 a3•a3 的结果等于（ ） A. a9 B. a6 C. a27 D. a0 2. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列事件中，随机事件（ ） A. 水中捞月 B. 明天太阳从西方升起 C. 抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上 D. 三角形的内角和是 4. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为12，则的周长为（ ） A 17 B. 10 C. 12 D. 22 5. 如图，已知，，下列条件中不能判定是（ ） A. B. C. D. 6. 某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（ ） 用电量（千瓦∙时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） … A. 用电量是自变量，应缴电费是因变量 B. 用电量每增加1千瓦∙时，电费增加元 C. 若用电量为5千瓦∙时，则应缴电费元 D. 若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦∙时 7. 已知等腰三角形两边的长分别是6和10，则此三角形的周长是（ ） A. 22或26 B. 22 C. 24 D. 26 8. 如图，AB∥CD , ∠BED=110°，BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,则∠BFD= ( ) A. 110° B. 115° C. 125° D. 130° 9. 若3x＝5，3y＝2，则3x-y的值为（ ） A B. C. 3 D. ﹣3 10. 如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1=48°，则∠2的度数为（ ） A. 138° B. 132° C. 121° D. 111° 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 将0.000705用科学记数法表示为_______． 12. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，则∠AOD度数为______． 13. 某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 9 86 168 426 849 击中靶心频率m/n 0.9 0.86 0.84 0.852 0.849 则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）． 14. 若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝_____． 15. 如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝__°． 三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 计算： 17. 如图，在中，，为边的垂直平分线，与，分别交于点，，平分．请补充完整证明“”的推理过程及证明过程中的依据． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴_____，_____． ∵， ∴ ∵是的平分线，， ∴_________．（______________________） ∵在和中， ∴， ∴． ∵， ∴（______________________________________） 18. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC． 19. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1，y＝2． 四、解答题（二）（本大题共3小题，第20、21题每题8分，第22题10分，共26分） 20. 通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； （1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） （2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 21. 已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得． （1）若线段，求线段的长； （2）如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．请问：是否成立，请说明理由． 22. 在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从市送到市，到达市放下志愿者后立即按原路原速返回市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从市向市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为（h），两人相距（km），如图表示随变化而变化的情况，根据图象解决以下问题： （1）、两市之间的路程为 km；点表示的实际意义是 ； （2）小张开车的速度是 km/h；小李骑摩托车的速度是 km/h． （3）试求出发多长时间后，两人相距60km． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E． （1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC； （2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由． 24. 已知中， （1）如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． （2）如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． （3）如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度七年级第二学期期末测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 计算 a3•a3 的结果等于（ ） A. a9 B. a6 C. a27 D. a0 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：a3•a3＝a6， 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，能熟记法则的内容是解此题的关键，注意：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 2. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查轴对称图形识别，熟记轴对称图形的定义是关键． 3. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 水中捞月 B. 明天太阳从西方升起 C. 抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上 D. 三角形的内角和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意； B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意； C、抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上，是随机事件，故符合题意； D、三角形的内角和是，是必然事件，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为12，则的周长为（ ） A. 17 B. 10 C. 12 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合， ∴， ∵，的长为12， ∴的周长， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键． 5. 如图，已知，，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握、、、、是解答本题的关键．根据三角形全等的判定定理、、、、逐条验证即可． 【详解】解：、，符合，能判定，故A选项不符合题意； B、，得出，符合，能判定，故B选项不符合题意． C、，符合，能判定，故C选项不符合题意； D、根据条件，，，不能判定，故D选项符合题意； 故选：D． 6. 某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（ ） 用电量（千瓦∙时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） … A. 用电量是自变量，应缴电费是因变量 B. 用电量每增加1千瓦∙时，电费增加元 C. 若用电量为5千瓦∙时，则应缴电费元 D. 若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦∙时 【答案】D 【解析】 【分析】根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可． 【详解】解：A、用电量是自变量，应缴电费是因变量，故本选项叙述正确，不符合题意； B、若用电量每增加千瓦∙时，则电费增加元，故本选项叙述正确，不符合题意； C、若用电量为5千瓦∙时，则应缴电费元，故本选项叙述正确，不符合题意； D、若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦·时，故本选项叙述错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系． 7. 已知等腰三角形两边的长分别是6和10，则此三角形的周长是（ ） A 22或26 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】因为等腰三角形的两边分别为6和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当6为底时，其它两边都为6，10、10可以构成三角形，周长为26； 当6为腰时，其它两边为6和10，可以构成三角形，周长为22． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 8. 如图，AB∥CD , ∠BED=110°，BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,则∠BFD= ( ) A. 110° B. 115° C. 125° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数． 【详解】解：如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD∥FN， ∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， ∵∠BED＝110°， ∴∠ABE+∠CDE＝250° ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE， ∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝125°， ∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF， ∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 9. 若3x＝5，3y＝2，则3x-y的值为（ ） A. B. C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】先逆用同底数幂除法的运算性质，将变为，再将3x＝5，3y＝2，代入原式中即可． 【详解】解：， 将3x＝5，3y＝2，代入可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂除法的运算性质，整体代入思想，能够熟练的逆用同底数幂运算性质是解决本题的关键． 10. 如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1=48°，则∠2的度数为（ ） A. 138° B. 132° C. 121° D. 111° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得：AD∥BC，∠3=∠4，∠D==90°，可得到∠4=∠6，再由邻补角的性质可得∠5=132°，再根据四边形的内角和等于360°，可得∠4+∠6=138°，从而得到∠6=69°，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：AD∥BC，∠3=∠4，∠D==90°， ∴∠3=∠6， ∴∠4=∠6， ∵∠1=48°， ∴∠5=132°， ∴∠4+∠6=360°--∠4=360°-90°-132°=138°， ∴∠6=69°， ∴∠2=180°-∠6=111° 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，四边形的内角和定理，邻补角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 将0.000705用科学记数法表示为_______． 【答案】7.05×10−4 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000705=7.05×10−4． 故答案为：7.05×10−4． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数为______． 【答案】125° 【解析】 【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC与∠EOC互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC的度数；再由∠AOD与∠AOC互补，即可得出∠AOD的度数． 【详解】解：∵EO⊥AB， ∴∠AOE=90°， 又∵∠EOC=35°， ∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°， ∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°， 故答案为：125°． 【点睛】本题主要考查补角、余角和垂直的定义．解题的关键是熟练利用补角、余角关系求角的度数． 13. 某射击运动员同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 9 86 168 426 849 击中靶心频率m/n 0.9 086 0.84 0.852 0.849 则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）． 【答案】0.85 【解析】 【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知随着射击次数的增多,频率都在0.85上下波动， 所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85， 故答案为：0.85． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 14. 若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】用完全平方公式将原式展开，然后代入求值． 【详解】解：（x﹣y）2＝ 当x2+y2＝8，xy＝2， 原式=8-2×2=4 故答案为：4． 【点睛】本题考查完全平方公式的计算，掌握完全平方公式的结构正确计算是本题的解题关键． 15. 如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝__°． 【答案】52.5． 【解析】 【分析】利用三角形内角和、角平分线的性质求出∠FBC+∠FCB的度数，问题即可解决． 【详解】解：∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°， ∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE， ∴∠FBD+∠FCD＝×50°＝37.5°， ∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°， ∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°， 故答案为52.5． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，关键是熟练掌握这些基本知识，这是基本的题型． 三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】根据零指数幂、负指数幂及绝对值性质直接计算即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查零指数幂、负指数幂及绝对值性质，解题的关键是熟练掌握，． 17. 如图，在中，，为边的垂直平分线，与，分别交于点，，平分．请补充完整证明“”的推理过程及证明过程中的依据． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴_____，_____． ∵， ∴ ∵是的平分线，， ∴_________．（______________________） ∵在和中， ∴， ∴． ∵， ∴（______________________________________） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，，然后即可角平分线的性质得，，再利用可证，结合全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴ ∵是的平分线，， ∴，．（角平分线的性质） ∵在和中， ∴， ∴． ∵， ∴（等量代换）． 18 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可． 【详解】解：△DEF即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1，y＝2． 【答案】； 【解析】 【分析】先按照运算顺序进行化简，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解： = = =． 将x＝﹣1，y＝2代入得： 上式=． 【点睛】本题考查整式的化简求值，正确的化简是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，第20、21题每题8分，第22题10分，共26分） 20. 通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； （1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） （2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 【答案】（1）作图及理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，根据图示，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，画出图形，运用整式运算即可求解； （2）根据整式的运算法则展开，几何图形面积的特点即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 图形的面积为：， ∴当都不为0时，； 【小问2详解】 解： ， ∴， 故答案为：． 21. 已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得． （1）若线段，求线段的长； （2）如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．请问：是否成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由“AAS”可证，可得，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 如图1，过点B作于H， ，， ， 平分， 又，， ， ， ； 【小问2详解】 成立，理由如下： 如图2，过点B作于H， 由（1）可得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22. 在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从市送到市，到达市放下志愿者后立即按原路原速返回市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从市向市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为（h），两人相距（km），如图表示随变化而变化的情况，根据图象解决以下问题： （1）、两市之间的路程为 km；点表示的实际意义是 ； （2）小张开车的速度是 km/h；小李骑摩托车的速度是 km/h． （3）试求出发多长时间后，两人相距60km． 【答案】（1）240；出发2小时小张与小李相遇；（2）80；40；（3）出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km． 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据解答即可； （2）根据题意和函数图象中的数据可以求得小张开车的速度和小李骑摩托车的速度； （3）由（2）的结论分情况列方程解答即可． 【详解】解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇； 故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇； （2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2−80＝40（km/h）． 故答案为：80；40； （3）设出发x小时两人相距60km．有三种情况： 相遇前：80x＋40x＋60＝240，解得x＝1.5； 相遇后小张未到达B市前：80x＋40x−60＝240，解得x＝2.5； 小张返回途中：40x−80（x−3）＝60，解得x＝4.5； 答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E． （1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC； （2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）BM＝CO，见解析 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质和等角代换可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的判定证明△BAO≌△CAE便可得结论； （2）根据余角的性质和等角代换可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的判定证明△BOM≌△CNO便可得BM＝CO． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABO+∠AOB＝∠DCO+∠DOC＝90°， ∵∠AOB＝∠DOC， ∴∠ABO＝∠DCO， ∵∠EAC＝180°﹣∠BAC＝90°， ∴∠BAO＝∠EAC， 在△BAO和△CAE中， ， ∴△BAO≌△CAE（ASA）， ∴BO＝CE； （2）相等．理由如下： ∵∠MON＝∠BAC＝90°， ∴∠AMO+∠AOM＝∠AOM+∠AON＝90°， ∴∠AMO＝∠AON， ∴∠BMO＝∠NOC， 由（1）知∠ABO＝∠DCO， 在△BOM和△CNO中， ， ∴△BOM≌△CNO（AAS）， ∴BM＝CO． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，涉及到等角代换、余角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 24. 已知中， （1）如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． （2）如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． （3）如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解； （3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决． 【小问1详解】 解：∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得， 连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$