专题3.3利用导数研究函数的极值、最值（八大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题3.3利用导数研究函数的极值、最值 题型一 根据函数图象判断极值（点） 题型五 求函数的最值 题型二 求函数的极值（点） 题型六 利用导数解决实际应用 题型三 已知极值（点）求参数 题型七 根据函数的最值求参数 题型四 根据极值点的个数求参数 题型八 单调性、极值、最值的综合 知识点1函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 题型一 根据函数图象判断极值（点） 例1．已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 例2．（多选）在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列图象一定不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   练习1．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 练习2．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 练习3．（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有三个极大值点 D．函数在内可能没有零点 练习4．（多选）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则函数的极大值点为（   ） A． B． C．0 D． 题型二 求函数的极值（点） 例3．若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例4．已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 练习1．已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习2．函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 练习3．函数的所有极值之和为 . 练习4．已知函数. (1)若在处的切线与x轴平行，求实数a的值； (2)是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由. 题型三 已知极值（点）求参数 例5．若是函数的一个极值点，则a的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 例6．已知函数在处取得极大值，求实数的取值范围． 练习1．若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 练习2．若函数，在时有极大值，则的极小值为（    ） A．0 B． C． D． 练习3．已知函数在处有极小值，则实数（    ） A．3 B． C．1 D． 练习4．已知是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 题型四 根据极值点的个数求参数 例7．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 例8．若函数在上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是 ． 练习1．已知函数，则“有两个极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 练习3．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．设，函数． (1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程： (2)是函数的两个极值点，证明：为定值． 知识点2函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点3函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 题型五 求函数的最值 例9．已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数，． (1)求的单调递增区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 练习1．函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（    ） A． B．1 C．9 D．4 练习2．（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 练习3．函数的最小值为 ，最大值为 ． 练习4．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值． 题型六 利用导数解决实际应用 例11．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为 ． 例12．（多选）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系 A．当时间从0变化到时，运动员高度的平均变化率为0 B．运动员在时间处高度的瞬时变化率为 C．运动员在跳水时先上升后下降 D．运动员在时间处取得高度的最大值 练习1．如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离. (1)将表示为的函数，并注明定义域； (2)此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？ 练习2．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    练习3．突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. (1)写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； (2)该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 练习4．已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 题型七 根据函数的最值求参数 例13．函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 例14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值3，求a的值． 练习1．已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 练习2．已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 练习3．已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 练习4．已知函数. (1)若函数在上为增函数，求的取值范围； (2)若在的最小值为，求的值. 题型八 单调性、极值、最值的综合 例15．若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 例16．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 练习1．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 练习2．函数，若关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 练习4．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 一、单选题 1．已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（    ） （1）函数一定有三个零点；        （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值；            （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点．    A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数，则的最大值为（     ）. A．2 B． C． D． 3．已知函数在处取得极值，则（    ）. A． B．2 C． D．或2 4．，均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，AC边上的高为BH，且，矩形DEFG的顶点D，G分别在边BA，BC上，E，F都在边AC上，以AC为轴将旋转一周，则矩形DEFG旋转形成的几何体的最大体积为（    ） A． B． C． D． 6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．为极值点 D．为极值点 8．已知函数，若的零点为，极值点为，则（    ） A． B． C．的极小值为 D．最小值为 三、填空题 9．已知函数在处取得极值，则的值为 . 10．已知曲线与直线相切，则 ． 四、解答题 11．已知函数． (1)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)求的单调区间和极小值． 12．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 13．已知函数， (1)求函数的单调区间和极值； (2)讨论关于方程的解的个数. 14．已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3利用导数研究函数的极值、最值 题型一 根据函数图象判断极值（点） 题型五 求函数的最值 题型二 求函数的极值（点） 题型六 利用导数解决实际应用 题型三 已知极值（点）求参数 题型七 根据函数的最值求参数 题型四 根据极值点的个数求参数 题型八 单调性、极值、最值的综合 知识点1函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 题型一 根据函数图象判断极值（点） 例1．已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【详解】根据导函数图像知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，，单调递减，则，则A正确； 对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误； 对于C，不能确定零点个数，则C错误； 对于D，函数有两个极值点，则D错误. 故选：A． 例2．（多选）在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列图象一定不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】CD 【详解】当时，是单调递增的； 当时，是单调递减的． A，B中函数的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的； 而C，D中导函数为负的区间内相应的函数不是单调递减的，故C，D错误． 故选：CD. 练习1．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 练习2．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【详解】对A，由图象知，当时，，此时单调递增，故A正确； 对B，当时，，此时单调递减，故B正确； 对C，的左右两侧导函数符号不变，故C错误； 对D，当时，，当时，，则函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ABD. 练习3．（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有三个极大值点 D．函数在内可能没有零点 【答案】BD 【详解】对于AB，设的根为，且， 则由图可知，当时，当时，当时， 当时， 所以函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 在内单调递减， 所以函数在区间内有极小值， 当时，是函数在区间内的最小值， 所以A错误，B正确； 对于C，函数在区间内有极大值， 即函数在内有两个极大值点，所以C错误； 对于D，当时，函数在内没有零点，所以D正确． 故选：BD． 练习4．（多选）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则函数的极大值点为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AD 【详解】由图可知，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以的单调递增区间为,,，单调递减区间为,. 故的极大值点为和. 故选：AD. 题型二 求函数的极值（点） 例3．若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为是函数的一个极值点， 所以， 因为是函数的一个零点， 所以， 设单调递增， 因为， 所以. 故选：B. 例4．已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 【详解】（1）由题意可知，， ； （2）， ； 即函数在上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，无极小值. 练习1．已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】函数，定义域为， ，在上恒成立， 则函数在上单调递增，无极值点，极值点个数为0. 故选：A. 练习2．函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【详解】由条件知的定义域为，关于原点对称， 当时，， 当时，，则， 所以为偶函数， 当时，；当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以先增后减，有一个极值点， 故选：B. 练习3．函数的所有极值之和为 . 【答案】4 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得或，由，得或， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的所有极值之和为. 故答案为：4 练习4．已知函数. (1)若在处的切线与x轴平行，求实数a的值； (2)是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【详解】（1）由，得， ∵在处的切线与x轴平行， ∴，解得. （2）函数的定义域为，. 当时，对任意的，都，此时函数在上单调递增，无极值点； 当时，令，可得， 由，可得，由，可得. 此时，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取得极小值，无极大值. 综上所述， 当时，函数无极值点； 当时，函数的极小值点为，无极大值点. 题型三 已知极值（点）求参数 例5．若是函数的一个极值点，则a的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】由，得， 依题意可得，解得， 当时．，， 令，解得， 列表 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值， 故选：A. 例6．已知函数在处取得极大值，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】令，由，知. 当时，，故在上单调递增； 当时，； 从而的解集是，的解集是. 这表明在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 由于有. 当时，由前面单调性讨论结论，知在上单调递增，在上单调递减.这意味着当时，；当时，. 故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件； 当时，由前面结论，知在上单调递增， 而，故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由前面结论，知在上单调递增， 故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由前面结论，知在上单调递减. 注意到此时，故当时，； 当时，. 从而在上单调递增，在上单调递减， 这说明是的极大值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 练习1．若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为在时有极小值， 所以，即，解得， 此时， 或时，，时，， 在时有极小值成立，所以，，. 故选：B. 练习2．若函数，在时有极大值，则的极小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由题意可知，，， 即，解得：， 当时，，令， 得或， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极小值为. 故选：D 练习3．已知函数在处有极小值，则实数（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，而函数在处有极小值， 所以，故，解得或， 当时，， 令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 此时在处有极大值，不符合题意，排除， 当时，， 令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 此时在处有极小值，符合题意，故D正确. 故选：D 练习4．已知是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知的定义域为，且， 若是函数的极值点， 则，解得； 若，则， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则是函数的极值点，即符合题意； 综上所述：. 故选：B. 题型四 根据极值点的个数求参数 例7．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为，则， 因为有两个极值，所以有两个不等的实数解， 由，得， 令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示，    由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题. 例8．若函数在上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，令， 由题意可知，在内先减后增或先增后减， 结合函数的图像特点可知，在内先减后增，即，或，解得. 所以a的取值范围是 故答案为： 练习1．已知函数，则“有两个极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 若满足题意，则有两个正的穿越零点， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又，，当趋近于正无穷时，趋近于， 若有两个正的穿越零点，则，解得， 即有两个极值的充要条件是：， 根据选项，则有两个极值的一个充分不必要条件是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对，分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，从而求得有两个极值点的充要条件. 练习2．已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由可知， 因为函数的两个极值点分别为和2，所以和2是的零点， 故和2是的实数根，，，． 当，即时， 当，当， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时极大值为，，； 当，即时， 当，当， 函数在上单调递增，在上单调递减， 此时极大值为，，， 只要，无论a取何值，始终成立， 故选：B． 练习3．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根， 令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 又， 所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，的取值范围是． 故选：B． 练习4．设，函数． (1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程： (2)是函数的两个极值点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，则导数． 设切点为，则， 所以切线方程为． 又切线过点，则， 整理得，，解得． 所以过点且与曲线相切的直线方程为． （2）证明：依题意，，令，得． 0 0 极大值 极小值 不妨设，则． 所以为定值． 知识点2函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点3函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 题型五 求函数的最值 例9．已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知有，即，即， 因为，令，，易知在上单调递增， 因，所以，故，即. 所以，令，可得， 又因在上小于零，故y在单调递减， 在上大于零，故y在单调递增， 故当时，y取极小值也是最小值为e. 故选：A 例10．已知函数，． (1)求的单调递增区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调增区间为和，极大值为，极小值为 (2)最大值为1，最小值为 【详解】（1），令，得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以单调增区间为和，单调减区间为， 所以的极大值为，极小值为． （2）由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为1，最小值为． 练习1．函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（    ） A． B．1 C．9 D．4 【答案】C 【详解】因为函数， 所以， 因为在时取得极值， 所以，解得， 所以，， ， 令，则，解得或（舍）， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值为. 故选：C. 练习2．（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 练习3．函数的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 【详解】，令，令，得， 令，得或，所以函数在上单调递增， 在，上单调递减，所以的极小值为，极大值为． 又当时，，当时，，所以的最小值为，最大值为1． 故答案为：，1. 练习4．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)增区间是，减区间是，最大值是1，最小值是 【详解】（1）当时，， 则，，又， 所以切线方程为，即 （2），由题意， 所以，， 或时，，时，， 所以的增区间是，，减区间是， 由此也说明满足题意． 时，在上递增，在上递减， ，又，， 所以在上最大值是1，最小值是． 题型六 利用导数解决实际应用 例11．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为 ． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，由体积得高为， 则圆柱的表面积为， ， 令，得，单调递减，令得，单调递增． 所以在时取得最小值，要使得用料最省，底面半径为. 故答案为：. 例12．（多选）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系 A．当时间从0变化到时，运动员高度的平均变化率为0 B．运动员在时间处高度的瞬时变化率为 C．运动员在跳水时先上升后下降 D．运动员在时间处取得高度的最大值 【答案】ACD 【详解】对于A项，当时间从0变化到时，运动员高度的平均变化率为，故A项正确； 对于B项，，所以运动员在时间处高度的瞬时变化率为，故B项错误； 对于C项，因为，所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以运动员在跳水时先上升后下降，故C项正确； 对于D项，由C项知，当时，运动员取得高度的最大值，故D项正确. 故选：ACD. 练习1．如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离. (1)将表示为的函数，并注明定义域； (2)此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？ 【答案】(1) (2)此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少. 【详解】（1）由题意可得： （2），由解得 在上递增，列表如下： 0 + 单调递减 最小值 单调递增 所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少. 练习2．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    【答案】 【详解】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 练习3．突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. (1)写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； (2)该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 【答案】(1)， (2)2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元 【详解】（1）由题意得，生产该产品的投入为万元， 所以， 其中. （2）， 令，得或3， 当时，，在单调递增； 当时，在单调递减， 当时，取得最大值. 该产品2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元. 练习4．已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元 【详解】（1）由题意当时，， 当时，， 综上可得. （2）①当时，， 则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元. 题型七 根据函数的最值求参数 例13．函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【答案】A 【详解】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 例14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值3，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，解得． 练习1．已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，则，由， 换元可得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 因为函数的最小值为0，所以有解， 当时，不符合题意，当时，则，即有解. 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以或. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据函数最小值求参数范围问题，常常构造函数结合函数导数判断函数单调性得到最值，结合参数的分类讨论得到参数范围； 练习2．已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 其定义域为， ， 令，解得， 函数的增区间为． （2）由，得， 若，则，单调递增； 若，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 当时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， ，即，不满足题意， 综上，的取值范围是. 练习3．已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，所以． 由，得，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，且，， 若存在零点，则只需要即可，所以， 故实数的取值范围是． （2）由（1）知，，且． 函数的定义域为，， 当时，，故在上为减函数; 当时，，故在上为增函数，故． 因为和有相同的最小值， 所以，整理得到，其中， 设，，则 故为上的减函数，而，故的唯一解为， 故的解为． 综上，． 练习4．已知函数. (1)若函数在上为增函数，求的取值范围； (2)若在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 因为在上为增函数， 所以在上恒成立， 又因为， 所以在上恒成立， 即， 因为， 所以， 所以， 故的取值范围为； （2）由（1）知，， 令得，， ①当，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 解得，（舍去）； ②当，即时， 令，得， 令，得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 解得； ③当，即时，在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 解得（舍去）； 综上，的值为. 题型八 单调性、极值、最值的综合 例15．若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 【答案】 【详解】，即在内有一个根． 即，与在内有一个交点. , 解得，单调递减；单调递增. 因此.当时，；当时，， 的图象与在内有一个交点.则，则. , 即， 令，解得，则的零点之和为 故答案为：. 例16．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． (2) 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 令，，则， 所以在上单调递减， 又，所以要使，即，则． 又因为， 所以在上有一个零点， 又， 令，，则， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以， 所以在上也有一个零点． 综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是． 【点睛】知识点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题． 练习1．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数，若对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立． 当时，，显然成立； 当时，化为恒成立. 令，则, 由于，则，则在上单调递增，则. 令， 则时， 单调递增，则. 因此对于任意时恒成立，则. 故答案为：. 练习2．函数，若关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对函数求导可得，令，解得，令，解得或， 所以的递增区间为，递减区间为和，，当时，，当时， 作出图象如图所示：    当时，由，可得，由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由无解，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 又， ，，， 由的递增区间为，递减区间为和，所以， 所以要使有四个整数解，整数解只能是2，3，4，5，则，即 所以关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是 故选：D 练习3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求出得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. （2）当时，，令， 函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，则， 所以. 练习4．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递减， 当时，令，解得：， 令，则在上单调递增． 令，则在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，，要证明：； 即证：，即证：， 设， 令，解得：， x 1 0 单调递减 0 单调递增 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，， ．即：， ； （3）由题意得：在上恒成立， 整理得：， 参变分离即证在上恒成立， 令，则只要证明的最大值即可． ． 令解得：， （列表如下） x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 在上单调递增，在上单调递减， ， 则实数b取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要借助导数研究函数的单调性和极值最值.第一问需要对导数分类讨论；第二问需要构造新函数，转化为最值问题；第三问采取参变分离后构造新函数，求导讨论单调性，进而得到最值.考查分类讨论，转化思想，综合性较强，属于中档题. 一、单选题 1．已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（    ） （1）函数一定有三个零点；        （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值；            （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据导函数的图象可知， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以都是函数的极值点，因此（2）的说法正确； 函数的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）的说法错误； 由以上分析知，函数的图象不一定过原点，即（5）的说法错误； 由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值， 因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值， 所以（3）的说法正确，（4）的说法错误． 综上可得，只有（2）（3）的说法正确． 故选：B． 2．已知函数，则的最大值为（     ）. A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由于，则， 令,即，解得，,即，解得， 因此在单调递增，在单调递减， 故， 故选：B 3．已知函数在处取得极值，则（    ）. A． B．2 C． D．或2 【答案】B 【详解】由得，所以， 又，解得或2； 当时，，此时， 此时不是函数的极值点，不合题意，故. 故选：B 4．，均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 5．如图，在中，AC边上的高为BH，且，矩形DEFG的顶点D，G分别在边BA，BC上，E，F都在边AC上，以AC为轴将旋转一周，则矩形DEFG旋转形成的几何体的最大体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，是等腰直角三角形， 设，则，所以， 因为，所以，可得，所以， 可得， 所以矩形DEFG旋转形成的几何体的体积为 ， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以. 故选：C. 6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根， 即关于的方程在上有两个不同的实数根， 令，则， 所以关于的方程在上有两个不同的实数根， 令， 因为在上单调递增，故在上的值域为， 因为在上单调递减，故在上的值域为， 而，从而实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 7．已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．为极值点 D．为极值点 【答案】BC 【详解】由的图象可得 当或时，， 当或时，， 所以在和上递增，在和上递减， 所以和为极大值点，为极小值点. 所以AD错误，BC正确. 故选：BC 8．已知函数，若的零点为，极值点为，则（    ） A． B． C．的极小值为 D．最小值为 【答案】BC 【详解】当时，，此时函数无零点， 当时，，函数的零点为，所以，故A错误； 当时，， 由得，由，得， 所以在为减函数，在为增函数， 即函数在处取得极小值，极小值点为，极小值为， 当时，为递增函数，此时无极值，也无最大值， 所以，所以，故BC正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．已知函数在处取得极值，则的值为 . 【答案】 【详解】由题， 因为在处取得极值，所以，所以， 此时，为增函数， 令，所以当时，；当时，， 所以函数在处取得极值，故. 故答案为：. 10．已知曲线与直线相切，则 ． 【答案】2 【详解】由，求导得， 设直线与曲线的切点为， 则，整理得， 令，求导得，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 则函数有唯一零点，该零点在内，又， 于是方程的解为，所以. 故答案为：2 四、解答题 11．已知函数． (1)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)求的单调区间和极小值． 【答案】(1) (2)的增区间为，，减区间为；的极小值为 【详解】（1）因为，定义域为， 所以，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令得，令得， 故所求三角形的面积为． （2）因为，， 令得或， 令得或，令得， 又函数的定义域为， 所以的增区间为，，减区间为， 所以的极小值为． 12．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 13．已知函数， (1)求函数的单调区间和极值； (2)讨论关于方程的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；有极小值，无极大值 (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为 令，解得 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，有极小值，且极小值为. 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为； 有极小值，极小值为，无极大值. （2）令，解得； 当时，；当时，. 当时，，当时，， 结合（1）中分析可得，的大致图象如图所示， 方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 由（1）可得当时，有最小值； 由图可得，当时，方程无解； 当或时，方程有1个解； 当时，方程有两个解. 14．已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$