精品解析：湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题（一）

湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2022-2023学年七下数学 期末模拟卷（一） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 在实数，0，，3.1415926，，，，，1.353353335…中，无理数个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，已知，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（　　） A 0.4 B. 0.36 C. 0.3 D. 0.24 4. 若，，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（ ） A. 相等 B. C. 互补 D. 互余 6. a，b是两个连续整数，若，则分别是（ ） A. 8 B. 6 C. 9 D. 7 7. 已知点，直线轴，且，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知是方程解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 线段由线段平移得到，点的对应点为，则的对应点的坐标是______． 14. 小江为了估计某山区上鸟群的数量，先捕捉40只鸟给它们分别作上标志，然后放回，第二次捕捉120只鸟，发现其中4只有标志，那么该山区上鸟群约有___只． 15. 若与是同一个正数的平方根，则=______，=______ 16. 将三角形ABC按点B到点C的方向平移得到三角形DEF，AB=10，DH=4，平移距离为8，则阴影部分的面积是_______________ 17. 定义一种新运算“※”，规定※，其中、为常数，等式右边是通常加法和乘法运算．若1※，2※，则2※_____． 18. 若关于x的不等式组有2整数解，则m的取值范围是_______ 三．解答题（共11小题，满分66分） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 22. 解不等式组：． 23. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-5，2），C（-1，0）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）将沿y轴负方向平移3个单位得到，请画出． （2）求出的面积． 24. 为推进“健康中国行”，某地积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图． （1）本次调查的样本容量是______人，扇形统计图中“较少了解”部分的圆心角是______°． （2）补全条形统计图； （3）已知该小区有居民4000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数． 25. 请补全下面的证明： 如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：DF∥AC． 解：∵∠1＝∠2（ ） ∠2＝∠3（ ） ∴∠1＝∠3（等量代换） ∴BD∥ （ ） ∴∠C＝∠DBA（ ） 又∵∠C＝∠D（ ） ∴∠DBA＝ （等量代换）， ∴DF∥AC（ ） 26. 如图，已知直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，FG平分∠DFE． （1）AB与CD平行吗？请说明理由； （2）若∠3＝110°，求∠2度数． 27. 对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的A、B两种新型运输车运输土方．已知4辆A型运输车与3辆B型运输车一次共运输土方64吨，2辆A型运输车与4辆B型运输车一次共运输土方52吨． （1）请问一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该运输集团决定派出A、B两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且B型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？ 28. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． （1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为________； （2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； （3）若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标． 29. 已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°． （1）当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）； （2）当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）； （3）在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2022-2023学年七下数学 期末模拟卷（一） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 在实数，0，，3.1415926，，，，，1.353353335…中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见无理数的构成：带根号的要开不尽方，无限不循环小数，含的数等，然后逐项判断即可确定选择项． 【详解】解：无理数有、、1.353353335…共3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，含及其倍数的也是无理数． 2. 如图，已知，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【点睛】利用两直线平行内错角相等和角平分线性质求得所求角的度数． 【详解】∵，∴， ∵平分，∴， 故选B． 【分析】本题考查内错角和角平分线性质，掌握这些是本题关键． 3. 如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（　　） A. 0.4 B. 0.36 C. 0.3 D. 0.24 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据乘车的人数和频率，求出总人数，再根据直方图给出的数据求出步行的人数，从而得出步行的频率． 详解：∵乘车的有20人，它的频率是0.4， ∴总人数是=50人， ∴步行的频率为=0.36； 故选B． 点睛：此题考查了频数（率）分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 4. 若，，则下列不等式不一定成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，，则，故本选项正确，不符合题意； B、若，，则，故本选项正确，不符合题意； C、若，则 ，若，则，故本选项正确，不符合题意； D、若，，当 时，，故本选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（ ） A. 相等 B. C. 互补 D. 互余 【答案】D 【解析】 【分析】由对等角相等可知，由两直线平行，内错角相等可知，由平角可知，故有，进而可得答案． 【详解】解：如图 由题意可知，， ∴ ∴与互余 故选D． 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，余角等知识．解题的关键在于找到角度的数量关系． 6. a，b是两个连续整数，若，则分别是（ ） A. 8 B. 6 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先确定的范围，再利用不等式的性质确定a、b的值． 【详解】∵ ∴ ∵a，b是两个连续整数，若， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考差了无理数估算，掌握不等式的性质是解决本题的关键． 7. 已知点，直线轴，且，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的上边与下边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：轴，点的坐标为， 点的横坐标为3， ， 点在点的上边时，纵坐标为， 点在点的下边时，纵坐标为， 点的坐标为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线是上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论． 8. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将方程的解代入原方程，解关于k的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 化简得：， 移项得：， 即：， 两边同时除以， 解得：， 因此，k的值为4， 故选：B． 9. 用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将第一个方程中x的表达式代入第二个方程即可得到正确结果． 【详解】解： 将①代入②可得 ． 10. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出每个不等式的解集，再取每个不等式解集的公共部分，求出不等式组的解集，即可求解． 【详解】解：① ， 移项得： ， 系数化为1得： ； ②， 移项合并同类项得： ， 系数化为1得： ， ∴不等式组的解集为： ． 则在数轴上表示为： 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，数轴上表示解集，熟练掌握解不等式一般步骤是解题的关键． 11. 已知不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式②可知，由此即可确定m取值范围． 【详解】解：由②得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是不等式组参数取值范围问题，掌握其解题方法“找范围，定边界”，是解题的关键． 12. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案． 【详解】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点， 可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0； ∵2022÷6＝337， ∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0， 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 线段由线段平移得到，点的对应点为，则的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据点的对应点为可得点的坐标的变化规律，则点的坐标的变化规律与点的坐标的变化规律相同即可． 【详解】解：点的对应点为， 点是点横坐标，纵坐标得到， 点的对应点坐标为，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 14. 小江为了估计某山区上鸟群的数量，先捕捉40只鸟给它们分别作上标志，然后放回，第二次捕捉120只鸟，发现其中4只有标志，那么该山区上鸟群约有___只． 【答案】1200 【解析】 【分析】用40除以第二次捕捉120只鸟中有标志的鸟所占的百分比即可． 【详解】解：40÷=1200， 所以该山区的鸟群数量约1200只， 故答案为：1200． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是求出有标志的鸟所占的比，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想． 15. 若与是同一个正数的平方根，则=______，=______ 【答案】 ①. 1 或 −3 ②. 4或100 【解析】 【分析】根据一个数的平方根相等或互为相反数，即可求出m的值． 【详解】解：∵ 2m−4 与 3m−1 是同一个数的平方根， ∴ 2m−4+3m−1=0 或 2m−4=3m−1 ， 解得： m=1 或 m=−3 ； 当m=1时，a=4 当m=-3时，a=100 故答案为：① 1 或 −3②4或100． 【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 16. 将三角形ABC按点B到点C的方向平移得到三角形DEF，AB=10，DH=4，平移距离为8，则阴影部分的面积是_______________ 【答案】64 【解析】 【分析】利用平移的性质得到S△ABC=S△DEF，DE=AB=10，BE=8，再利用得到． 【详解】解：∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置， ∴S△ABC=S△DEF，DE=AB=10，BE=8， ∴HE=DE-DH=10-4=6， ∵， ∴=×（6+10）×8=64． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 17. 定义一种新运算“※”，规定※，其中、为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．若1※，2※，则2※_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，列出方程组，解方程组，继而代入2※即可求解． 【详解】解：∵1※，2※， ∴， ①×2-②得：， 解得， 将代入②，解得， ， 2※． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值，理解新定义运算求得，的值是解题的关键． 18. 若关于x的不等式组有2整数解，则m的取值范围是_______ 【答案】4<m5 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，由不等式组有2个整数解，确定出m的范围即可． 【详解】解： 解①得：x＜m， 解②得：x>2， 则不等式组的解集是：2<x＜m． 不等式组有2个整数解，则整数解是3，4． 则4<m5． 故答案是：4<m5． 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 三．解答题（共11小题，满分66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．绝对值：． 20. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解．解二次一次方程组的思想是“消元”，方法主要有代入消元法和加减消元法． 【详解】解： 整理得 得，， ∴． 把代入①得， ∴． 21. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】答案见解析 【解析】 【详解】试题分析：先去分母和去括号得到6-x+3>2x，然后移项后合并同类项，再把x的系数化为1即可，接着用数轴表示解集； 解：6-(x-3)>2x， 6-x+3>2x, -x-2x>-3-6, -3x>-9， x<3. 点睛：解一元一次不等式的基本步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.在用数轴表示不等式的解集时，用实心点表示包含分界点，用空心圆表示不包含分界点. 22. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，， 则不等式组的解集是：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-5，2），C（-1，0）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）将沿y轴负方向平移3个单位得到，请画出． （2）求出的面积． 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、 C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积的方法计算△ A1B1C1的面积． 【小问1详解】 解：如下图，将点A沿y轴负方向平移3个单位得到A1，同理可得B1、 C1，连接点A1、B1、 C1，即可得△A1B1C1； 【小问2详解】 ， ． 【点睛】本题考查了平移作图，解题的关键是要掌握平移图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 24. 为推进“健康中国行”，某地积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图． （1）本次调查的样本容量是______人，扇形统计图中“较少了解”部分的圆心角是______°． （2）补全条形统计图； （3）已知该小区有居民4000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数． 【答案】（1）100；36 （2）见解析 （3）1200 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可以得到，完全了解的有30人，占调查人数的30%，可求出调查的总人，即样本容量；结合条形统计图即可求得较少了解的人数，进而求出较少了解所占的百分比乘以360°即可； （2）利用（1）中求得的“较少了解”的人数即可补全统计图即可； （3）用小区居民总人数乘以“完全了解”所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 较少了解的人数为：， ∴扇形统计图中“较少了解”部分的圆心角是， 故答案为：100；36 【小问2详解】 补全统计图如图所示： 【小问3详解】 （人） ∴该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为1200人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取有用信息是解题的关键．样本估计总体是统计中常用的方法． 25. 请补全下面的证明： 如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：DF∥AC． 解：∵∠1＝∠2（ ） ∠2＝∠3（ ） ∴∠1＝∠3（等量代换） ∴BD∥ （ ） ∴∠C＝∠DBA（ ） 又∵∠C＝∠D（ ） ∴∠DBA＝ （等量代换）， ∴DF∥AC（ ） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线判定定理去分析推理即可． 【详解】解：∵∠1＝∠2（已知 ）， ∠2＝∠3（对顶角相等/对顶角）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠DBA＝∠D等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，灵活选择适当的方法去判定是解题的关键． 26. 如图，已知直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，FG平分∠DFE． （1）AB与CD平行吗？请说明理由； （2）若∠3＝110°，求∠2的度数． 【答案】（1）平行；见解析 （2）40° 【解析】 【分析】（1）根据对顶角的性质推出∠FEB＝∠2，即可判定AB∥CD； （2）根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 解：AB∥CD，理由如下： ∵∠1＝∠FEB，∠1＝∠2， ∴∠FEB＝∠2， ∴AB∥CD． 【小问2详解】 ∵AB∥CD， ∴∠3+∠DFG＝180°， ∵∠3＝110°， ∴∠DFG＝70°， ∵FG平分∠DFE， ∴∠DFE＝2∠DFG＝140°， ∵∠2+∠DFE＝180°， ∴∠2＝40°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握同位角相等两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键． 27. 对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的A、B两种新型运输车运输土方．已知4辆A型运输车与3辆B型运输车一次共运输土方64吨，2辆A型运输车与4辆B型运输车一次共运输土方52吨． （1）请问一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该运输集团决定派出A、B两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且B型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？ 【答案】（1）一辆A型运输车一次运土10吨，一辆B型运输车一次运土8吨 （2）有两种派送方案，方案一：派出A型号的新型运输车13辆，B型号的新型运输车5辆；方案二：派出A型号的新型运输车14辆，B型号的新型运输车4辆． 【解析】 【分析】（1）设一辆A型运输车一次运土a吨，一辆B型运输车一次运土b吨，根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次不等式组，然后求解即可，注意x为整数． 【小问1详解】 解：设一辆A型运输车一次运土a吨，一辆B型运输车一次运土b吨， 由题意可得：， 解得， 答：一辆A型运输车一次运土10吨，一辆B型运输车一次运土8吨； 【小问2详解】 解：派出A型号的新型运输车x辆，则B型号的新型运输车（18﹣x）辆， 由题意可得：， 解得12.5≤x≤14， ∵x为整数， ∴x＝13或14， ∴有两种派送方案， 方案一：派出A型号的新型运输车13辆，B型号的新型运输车5辆； 方案二：派出A型号的新型运输车14辆，B型号的新型运输车4辆． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． （1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为________； （2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； （3）若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据派生点的定义，结合点的坐标计算后即可得出结论； （2）根据派生点的定义，结合点的坐标列出二元一次方程组，计算后即可得出结论； （3）先根据点的平移特点得出点的坐标为，再由派生点的定义和点的“阶派生点”位于坐标轴上，分在轴和轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：根据新定义，点P的“3阶派生点”的坐标为 即：； ∴点的“3阶派生点”的坐标为． 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 ∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ∴点 ∴的“阶派生点”为： 即 当点在y轴上 ， 解得：； 此时； 当点在x轴上 ， 解得：； 此时； ∴点的坐标或． 【点睛】本题考查了新定义下求点的坐标，平移的坐标表示等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29. 已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°． （1）当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）； （2）当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）； （3）在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度． 【答案】（1）∠MAB+∠D＝90°；见解析 （2）∠MAB﹣∠D＝90° （3）∠MAB＝∠EMD；45 【解析】 【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论； （2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论； （3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论． 【小问1详解】 解：如图①，过点M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ∴∠D＝∠NMD． ∵MN∥AB， ∴∠MAB+∠NMA＝180°． ∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°． ∵∠AMD＝90°， ∴∠MAB+∠DMN＝90°． ∴∠MAB+∠D＝90°； 小问2详解】 解：如图②，过点M作MN∥AB， ∵MN∥AB， ∴∠MAB+∠AMN＝180°． ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD． ∴∠D＝∠NMD． ∵∠AMD＝90°， ∴∠AMN＝90°﹣∠NMD． ∴∠AMN＝90°﹣∠D． ∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°． ∴∠MAB﹣∠D＝90°． 即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°． 故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°． 【小问3详解】 解：如图③， ∵ME⊥AB， ∴∠E＝90°． ∴∠MAE+∠AME＝90° ∵∠MAB+∠MAE＝180°， ∴∠MAB﹣∠AME＝90°． 即∠MAB＝90°+∠AME． ∵∠AMD＝90°， ∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD． ∵MF平分∠EMA， ∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA． ∵MG平分∠EMD， ∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD． ∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF， ∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）． ∵∠EMD﹣∠EMA＝90°， ∴∠FMG＝45°． 故答案为：∠MAB＝∠EMD；45． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $