专题3.2利用导数研究函数的单调性（九大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题3.2利用导数研究函数的单调性 题型一 函数与导函数图象的关系 题型六 讨论函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型七 函数在区间上单调求参数 题型三 识别函数图象 题型八 函数在区间上存在递增（减）求参数 题型四 比较大小 题型九 函数在区间上不单调求参数 题型五 解不等式 知识点1函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 知识点2求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 题型一 函数与导函数图象的关系 例1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 练习1．（多选）在区间上，已知，下列图像中不能表示函数的是（    ）． A． B． C． D． 练习2．已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（   ）    A． B． C． D． 练习4．（多选）题图为的图像，下列判断中正确的是（    ）． A．函数在区间上是严格减函数 B．函数在区间上是严格减函数 C．函数在区间上是严格增函数 D．函数在区间上是严格增函数 题型二 求函数的单调区间 例3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 例4．求函数的单调区间． 练习1．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 练习2．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 练习3．定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 练习4．已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 题型三 识别函数图象 例5．已知函数的图象如图所示，经过点，.则函数的解析式可能是（    ） A．. B． C． D． 例6．（多选）已知，函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 练习1．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 练习2．如图，已知函数的图象关于原点对称，则的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 练习3．函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 练习4．（多选）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 比较大小 例7．若函数，.设，试比较的大小． 例8．已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 练习1．已知，试比较的大小关系（    ） A． B． C． D． 练习2．已知，，，比较a，b，c的大小： （用“<”连接） 练习3．（多选）以下数量关系比较的命题中，正确的是（    ） A． B． C． D． 练习4．比较这三个实数的大小，说明理由． 题型五 解不等式 例9．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 例10．已知函数，则不等式的解集是 ． 练习1．若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，则不等式的解集为 . 练习4．已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为 . 题型六 讨论函数的单调性 例11．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 例12．已知函数，. (1)当时，求函数的零点； (2)讨论的单调区间. 练习1．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 练习2．已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 练习3．已知函数，讨论函数的单调性. 练习4．已知函数．讨论的单调性． 知识点3函数在区间上单调 若单调递增；若单调递减. 题型七 函数在区间上单调求参数 例13．若函数在上是单调函数，则a的最大值是（    ） A．0 B．3 C．1 D．－1 例14．已知函数 (1)若，求函数的单调减区间； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. 练习1．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 练习4．已知函数，，若的图象在点处的切线方程为， (1)求函数的解析式； (2)若在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 题型八 函数在区间上存在递增（减）求参数 例15．若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例16．已知函数，若函数在存在单调增区间，则实数的范围为 . 练习1．若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是 练习2．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 练习3．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 . 练习4．已知函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围． 题型九 函数在区间上不单调求参数 例17．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例18．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 练习2．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习3．（多选）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 2．已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．已知函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 8．已知函数，.对于不相等的实数，，设，，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意不相等的实数，，都有 B．对于任意的a及任意不相等的实数，，都有 C．对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 D．对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 三、填空题 9．函数的单调递增区间是 ． 10．已知函数．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 11．证明：函数在区间上是严格增函数． 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 13．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 14．设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2利用导数研究函数的单调性 题型一 函数与导函数图象的关系 题型六 讨论函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型七 函数在区间上单调求参数 题型三 识别函数图象 题型八 函数在区间上存在递增（减）求参数 题型四 比较大小 题型九 函数在区间上不单调求参数 题型五 解不等式 知识点1函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 知识点2求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 题型一 函数与导函数图象的关系 例1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由导函数图象可知原函数应是先增后减再增的，故在B、C中选择，随着的增大，导函数越来越大，故原函数增长越来越快，应选C. 故选：C 例2．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【详解】因为， 由图象知，时，，又，所以当时，， 即在上单调递减， 当时，，又，所以当时，， 即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B． 练习1．（多选）在区间上，已知，下列图像中不能表示函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题设，在区间上，由，得函数图象上每一点处切线的斜率均应大于1， 对于A：曲线越来越“陡峭”，区间上各点处的切线斜率始终到大于1，故可表示函数； 对于B：曲线由“陡峭”到“平缓”，区间上右半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数； 对于C：曲线由“平缓”到“陡峭”，区间上左半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数； 对于D：曲线越来越“平缓”，区间上点处的切线斜率始终到小于1，故不可表示函数． 故选：BCD 练习2．已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意恒成立，且只有一个点使得，所以在实数域上单调递增，由此可排除BC， 设的根为，则当时，，当时，，即先单调递减再单调递增，故排除D，经检验A符合题意. 故选：A. 练习3．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别表示曲线在处切线的斜率， 结合图象可知，当时，是一个大于0的常数， 当时，小于0且随着x的增大而减小， 所以． 故选：B. 练习4．（多选）题图为的图像，下列判断中正确的是（    ）． A．函数在区间上是严格减函数 B．函数在区间上是严格减函数 C．函数在区间上是严格增函数 D．函数在区间上是严格增函数 【答案】AC 【详解】对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确； 对B：在区间上有正有负，故B错误； 对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确； 对D：在区间上有正有负，故D错误； 故选：AC. 题型二 求函数的单调区间 例3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，所以函数的单调递增区间是. 故选：B 例4．求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】因为定义域为R， 所以． 因为，所以， 所以当时，，当时， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 练习1．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，定义域为， ， 令得，所以的增区间为， 故选：B． 练习2．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：D 练习3．定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【详解】由可得， 令, 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得； 因此可得在的单调递减区间是和. 故选：D 练习4．已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）因为的导数为， 所以在处的切线斜率为，而 故所求的切线方程为，即． （2）因为，定义域为 所以 解得，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型三 识别函数图象 例5．已知函数的图象如图所示，经过点，.则函数的解析式可能是（    ） A．. B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，其定义域为， 有，函数为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于B，，有，， 当时，，其导数， 在区间上，，函数为减函数， 在区间上，，函数为增函数，符合题意，故B正确； 对于C，，有，， 当时，，其导数， 在区间上，，函数为减函数， 在区间上，，函数为增函数，不符合题意，故C错误； 对于D，，有，不符合题意，故D错误. 故选：B. 例6．（多选）已知，函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，， ，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立， 又，A正确； 对于B，当时，， ，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 又，B正确； 对于C，当时，，， ，的定义域为， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 在上单调递减，且当时，恒成立； 由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确； 对于D，由图象可知：，即在处有意义，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 此时图象应为B中图象，D错误. 故选：ABC. 练习1．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以是非奇非偶函数，图象不关于轴或原点对称， 排除B，C选项； ， 当时，， 所以在区间上单调递减，排除D选项， 故选：A. 练习2．如图，已知函数的图象关于原点对称，则的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的定义域,， 所以是偶函数， 对于B，的定义域,， 所以是奇函数， 当时，，，所以在上单调递增， 对于C，的定义域,，所以是偶函数， 对于D，的定义域,，所以是奇函数， 当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 由的图象关于原点对称，可知是奇函数，因此可以排除A和C； 又对于B选项，当时，单调递增，故排除B， 故选：D. 练习3．函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故选：B． 练习4．（多选）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 当时，，函数在上单调递增，故B正确； 当时，，，所以在上单调递增，故D正确； 当时，当时，；当时，； 故A正确；C错误. 故选：ABD. 题型四 比较大小 例7．若函数，.设，试比较的大小． 【答案】 【详解】由， 得， 设， 则. ∵，∴，即函数在上是减函数． ∴，即， 故函数在上是减函数， ∴当时，有， 即． 例8．已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． 练习1．已知，试比较的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 当时，，单调递减， 所以有， 因为， 所以， 设， 设， 当时，，函数单调递减， 因为， 所以， 因为函数是正实数集上的增函数， 故， 即，所以， 故选：C 【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键. 练习2．已知，，，比较a，b，c的大小： （用“<”连接） 【答案】 【详解】令，恒成立，当且仅当取等号，所是增函数， 当时，，即，所以， 又，又因为，所以，故由的单调性知，，所以，从而， 又易知，又由函数的单调性知，，所以. 故答案为： 练习3．（多选）以下数量关系比较的命题中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A：设，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以，所以，即， 所以 ，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，即，故B正确； 对于CD：设，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以，即，故C正确； 又，所以，故D错误； 故选：ABC 练习4．比较这三个实数的大小，说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】构造辅助函数,则， 令，解得， 则当时,,函数在上单调递增， 令，解得， 则当时,,函数在上单调递减， 又,则,即. 题型五 解不等式 例9．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象知，当或时，；当时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 例10．已知函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】，且的定义域为全体实数， 所以是奇函数， 而，所以单调递增， 从而， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 练习1．若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知在上单调递减，且也是奇函数， 所以在上也单调递减， 所以对任意的，， 所以当时，， 当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 注意到时，没有定义，， 综上所述，不等式的解集是. 故选：A. 练习2．已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则， 所以在上单调递减． 因为当时，， 所以当时，；当时，． 由于当时，且，所以； 当时，且，所以； 当时，因为，令，得，所以在上恒成立． 故选：C． 练习3．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题可知的定义域为， 因为，所以是偶函数， 当时，， 所以， 所以在上单调递增. 由不等式， 可得，， 所以， 解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 练习4．已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意可知，令，则， 所以在定义域内单调递增. 因为， 所以关于的不等式可化为， 即. 因为，所以， 即不等式的解集为. 故答案为：. 题型六 讨论函数的单调性 例11．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由，可得， 则且， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 例12．已知函数，. (1)当时，求函数的零点； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1)2和； (2)答案见解析 【详解】（1）令，即. 因为，所以. 又，所以，解得，. 所以函数有且只有两个零点2和. （2），令，即， 解得或. 若，则，恒成立，单调递减区间为，无增区间. 当，列表得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，①若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ②若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 综上，当，单调递减区间为，无增区间， 当时，单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，. 练习1．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 练习2．已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1），，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； （2）的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 练习3．已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 当时，， 由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 当时， 若，即，则由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 若，即，则恒成立，因此函数在上单调递增； 若，即，则由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是，递减区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 练习4．已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析. 【详解】的定义域为，且， 当时，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，则有： 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 知识点3函数在区间上单调 若单调递增；若单调递减. 题型七 函数在区间上单调求参数 例13．若函数在上是单调函数，则a的最大值是（    ） A．0 B．3 C．1 D．－1 【答案】B 【详解】，对于任意给定的，当充分大时，有， 例如当时，， 函数在上是单调函数， 所以只能在上恒成立， 即在上恒成立，所以，即a的最大值是3. 故选：B. 例14．已知函数 (1)若，求函数的单调减区间； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，求导得， 由，解得， 所以函数的单调减区间为. （2）由函数，求导得， 由在上单调递减，得，， 函数在上单调递减，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 练习1．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 练习2．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以或， 解得或 综上可得， 故选：A 练习3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 可得， 因为在区间上单调递减， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立(*). 令， 则 所以在上单调递增， 所以， 所以为使（*）成立，必须且只需， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 练习4．已知函数，，若的图象在点处的切线方程为， (1)求函数的解析式； (2)若在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）函数的图象在点处的切线方程为， 又，则，即， 又，即切点为，于是，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，在上是减函数， 则对恒成立，即对恒成立， 又在上为减函数，则在上为减函数， 当时，取得最小值，因此，解得， 所以实数的取值范围是． 题型八 函数在区间上存在递增（减）求参数 例15．若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 例16．已知函数，若函数在存在单调增区间，则实数的范围为 . 【答案】 【详解】由题可知，则在上有解， 即有解，所以在内有解， ，则. 故答案为： 练习1．若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是 【答案】 【详解】， 函数在上存在严格减区间，则在区间上有解． 即在区间上有解， 令，因为在区间上严格递减， 所以，故有． 故答案为：. 练习2．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故答案为：. 练习3．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 函数在上存在单调递减区间，得，即在有解， 当时，，，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 练习4．已知函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围． 【答案】 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为， 因为存在单调递减区间，则在上有解， 即在上有解，可知， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围是 ． 题型九 函数在区间上不单调求参数 例17．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，因在上不单调， 故导函数在上必有变号零点. 令，得，再令，则， 由，得即在上单调递增，所以， 故只需，即， 对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件， 而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A． 例18．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 练习1．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 练习2．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，函数定义域为， 当时，函数单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 若函数在区间不单调，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B. 练习3．（多选）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】， 若在上不单调，令， 对称轴方程为，则函数与轴在上有交点． 当时，显然不成立； 当时，有，即，解得或． 四个选项中的范围，为的真子集， ∴在上不单调的一个充分不必要条件是和. 故选：BC． 练习4．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， 若函数在上单调，则或， 当时，恒成立， 当，转化为，或， 设，则或恒成立， 即或， ， 所以， 所以函数在上不单调，则. 故选：B 一、单选题 1．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ， 令，可得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 2．已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，单调递增，且切线的斜率在减小，则，且在单调递减， 当时，单调递增，且切线的斜率在增大，则，且在单调递增， 所以排除BCD， 故选：A 3．已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，当时，， 所以在单调递增， 因为，所以，即. 故选：D 4．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得在上恒成立， 则有在上恒成立，由在上单调递增， 则有，故. 故选：C. 5．已知函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，的定义域为，， 因为， 所以为偶函数， 当时，令，则， 因为和在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，得，所以， 两边平方并整理，得，解得． 故选：B． 6．已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令函数，因为，所以在R上单调递增． 因为，所以不等式等价于， 所以． 故选：B. 二、多选题 7．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 8．已知函数，.对于不相等的实数，，设，，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意不相等的实数，，都有 B．对于任意的a及任意不相等的实数，，都有 C．对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 D．对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 【答案】AC 【详解】对于A，由对数函数的单调性可得在R上递增，即有，则A正确； 对于B，由二次函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 则不恒成立，则B错误； 对于C，由，可得，即， 考查函数，， 对于函数，时，，， 故先单调递减后单调递增，所以C正确； 对于D，由，可得， 即 考查函数，， 当时，，此时函数单调递增，不符合要求，所以D不正确. 故选：AC. 三、填空题 9．函数的单调递增区间是 ． 【答案】/ 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 10．已知函数．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由， 得． 又在区间上单调递增， 所以时恒成立，即在区间上恒成立． 令， 函数图象的对称轴为直线． 当，即时，， 解得，又此时无解； 当，即时，， 解得，故； 当，即时，， 解得，故． 综上可得，实数a的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 11．证明：函数在区间上是严格增函数． 【答案】证明见解析 【详解】证明：， 由，得， 所以，所以， 所以函数在上是严格增函数． 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，，则， 又，所以， 所以在处的切线方程为， 即. （2）因为在上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，单调递增，， 所以，所以单调递增，所以，所以， 所以的取值范围为. 13．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 14．设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【答案】(1)函数在上是“上凸函数”，理由见解析 (2) 【详解】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$