精品解析：上海市浦东模范中学2023-2024学年九年级上学期数学阶段练习卷

浦东模范中学2023年九年级第一学期数学（1） （时间：100分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 3. 如图，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点分别在上，以下能推得的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在梯形中，，点是的中点，与交于点，那么和的面积比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为______千米． 8. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 9. 在中，点分别在的延长线上，，已知，则______． 10. 在中，点分别在上，，则______． 11. 中，，则的内接正方形的边长是______． 12. 如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么______． 13. 已知菱形的边长是4，点在直线上，，连接与对角线交于点，则______． 14. 如图，梯形中，，若，，则______． 15. 如图，在中，，则______． 16. 如图，在中，的平分线分别交于，那么______． 17. 在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积______． 18. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，则______． 三、解答题（19—22题每题10分，23—24题每题12分，25题14分，满分共78分） 19. 已知，求． 20. 如图，四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交边于点F，交对角线于点．求证：是与的比例中项． 21. 如图，是上一点，，若是上的点，，求的值． 22. 如图，已知与相交于点O，连接． （1）如果，，，求：． （2）分别将、、记为、、，如果是与的比例中项，求证：． 23. 如图，已知． （1）请在图中的边上求作点，满足（尺规作图） （2）在（1）的条件下，过点作，交于点，平分，若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； （3）在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 25. 如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． （1）写出关于的解析式； （2）当取何值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东模范中学2023年九年级第一学期数学（1） （时间：100分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解． 【详解】解：设， , 故选：A． 2. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键． 3. 如图，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，逐一判断即可． 【详解】解：A、∵AB∥CD∥EF， ∴，故错误； B、∵AB∥CD∥EF， ∴，故正确； C、∵AB∥CD∥EF， ∴，故错误； D、∵AB∥CD∥EF， ∴， ∴AC•DF=BD•CE，故错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系． 4. 如图，点分别在上，以下能推得的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的判定证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：A、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； B、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； C、，即，为公共角，可判定，即能证明，能推得，故符合题意； D、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； 故选：C． 5. 如图，，，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线等分线段定理即可解答; 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为C. 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，即：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 6. 如图，在梯形中，，点是的中点，与交于点，那么和的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质，延长交于G，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到，通过，得到，设，求得，由，得到，由，得到，即可得到结论． 【详解】解：如图延长交于G， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积比为：， 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值．根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【详解】解：设、两地的实际距离为千米． 根据题意得到：， 解得：千米． 故答案为：． 8. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9. 在中，点分别在的延长线上，，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，根据题意作出示意图，证明，利用三角形相似的性质即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， , 故答案为：． 10. 在中，点分别在上，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，正确写出对应线段线是解题的关键．利用平行线分线段成比例可得到，代入可求得，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 11. 中，，则的内接正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．根据正方形的性质可得出，进而可得出，设正方形的边长为a，则，利用相似三角形的性质可得出关于a的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 设正方形的边长为a， ， ， ，即， ， 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形是平行四边形，可得，即可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知菱形的边长是4，点在直线上，，连接与对角线交于点，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为在线段上与在的延长线上两种情况，小心不要漏解． 首先根据题意作图，注意分为在线段上与在的延长线上，然后由菱形的性质可得，则可证得，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 【详解】解：∵菱形的边长是4， ， 如图1：当在线段上时， ， ， ； 如图2，当在的延长线上时， ∴， ， ∴． ∴的值是或． 故答案为：或． 14. 如图，梯形中，，若，，则______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，连接交于点G，证明，，利用相似三角形的性质求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定与性质，设，则，根据，证明，，得到，，推出，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，的平分线分别交于，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 17. 在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积______． 【答案】##6平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质及三角形中位线的性质，根据点是的中点，得到的面积为，再由是重心，求出，即可求解． 【详解】解：点是的中点，的面积为， 的面积为， 是重心， ， 的面积为：， 故答案为：． 18. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 又∵点R是中点， ∴， ， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（19—22题每题10分，23—24题每题12分，25题14分，满分共78分） 19. 已知，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键． 由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结论． 【详解】解： ∵， ， ， ， ． 故． 20. 如图，四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交边于点F，交对角线于点．求证：是与的比例中项． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是与的比例中项． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定与性质及平行四边形的性质，正确写出对应线段线是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，是上一点，，若是上的点，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过作，得出，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】解：过作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 22. 如图，已知与相交于点O，连接． （1）如果，，，求：． （2）分别将、、记为、、，如果是与的比例中项，求证：． 【答案】（1）6； （2）证明：分别将、、记为、、， ∵是与的比例中项， ∴， ∴， 过A作AF⊥BD于F， ∴AF是△AOD的高，也是△BOA的高， ∴， 由（1）知， ∴， ∵∠AOD=∠COB， ∴△AOD∽△COB， ∴∠ADO=∠CBO， ∴． 【解析】 【分析】（1）由，易证，由性质得，从而推出，过B作BE⊥AC于E，利用同高两三角形面积比等于底的比即可； （2）、、记为、、，由是与的比例中项，得把等积变比例，利用面积比等于同高的底的比，，则，由夹角是对顶角，证出△AOD∽△COB，利用对应角相等推出即可． 【详解】（1）∵， ∴∠DAO=∠C，∠D=∠OBC， ∴， ∴， ∴， 过B作BE⊥AC于E， ∴BE是△BOC的高，也是△BOA的高， ∴， ∴； （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质综合运用问题，掌握相似三角形的证明方法，相似三角形的性质，会利用平行证相似，利用性质推面积比，进而求面积，还会由面积比证相似再证平行正反思维训练． 23. 如图，已知． （1）请在图中的边上求作点，满足（尺规作图） （2）在（1）的条件下，过点作，交于点，平分，若，求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，点E为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）作射线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点G，再以点G为圆心，长为半径画弧，交于点H，再以点H为圆心，长为半径画弧，交于点I，再以点I为圆心，长为半径画弧，交于点J，再以点J为圆心，长为半径画弧，交于点K，连接，以点K为圆心，小于长为半径画弧，分别交于点M，N，以点H为圆心，长为半径画弧，其中一条弧交于点Q，以点Q为圆心，长为半径画弧，与另外一条弧交于点P，连接并延长交于点E即可； （2）先根据平行线的性质及角平分线的定义证明，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 由作图可得：，， ； 【小问2详解】 解：如图， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段n等分点，作平行线，平行线分线段成比例，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； （3）在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为 （2）点的坐标为 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像与一次函数图像的交点问题、用待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数图像上点的坐标特征，难度适中．求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）把点的横坐标代入反比例函数中，可以求出点的纵坐标，再把点的横纵坐标代入一次函数中，以此即可求解； （2）设点，则点，代入中可求出的值，以此即可求解． （3）根据待定系数法求出直线的解析式，再根据两直线平行以及经过点，再求出直线的解析式即可求解； 【小问1详解】 解：∵横坐标为3的点在反比例函数的图像上， ， ∴点的坐标为， 将代入， 得， ， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点， ∵， 则点， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， 解得：， ∵根据题意点在第一象限内， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：由（1）（2）知点的坐标为，点的坐标为，点， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， 故直线的解析式为， 令，则， 故点的坐标为． 25. 如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． （1）写出关于的解析式； （2）当取何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，过点A作，垂足为H，由，求出，根据，证明，用x表示，根据，证明，用x表示，根据矩形的面积公式即可得出结果； （2）连接，利用勾股定理求出，当时，证明，得到，根据四边形是矩形，推出，根据，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作，垂足为H， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， 当时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $