精品解析：福建省部分学校2025届新高三暑期成果联合质量检测数学试卷

2025届新高三暑期成果联合质量检测解析版 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两集合的交集定义即得. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 2. 复数，则z的虚部为（ ）． A. 3 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复数， 所以 的虚部为 故选：B. 3. 已知等比数列为递增数列，若，，则公比（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【详解】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选:：D 4. 已知函数，满足，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将的值依次代入解析式，解出的值即可求解. 【详解】， 即，则. 故选：. 5. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或 或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用不同放置方式体积相等，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】设当底面水平放置时，液面高为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，， 所以水的体积， 解得. 故选：B. 7. 已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则 ， 所以，故的离心率为. 故选：C. 8. 某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为，第二个月为，第三个月为，则平均每个人摇上需要的时间为（ ）个月. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】表示每个人摇上需要的时间及其对应概率后，借助期望公式与错位相减法计算即可得. 【详解】设表示摇上需要的时间，则可能取、、、、、， 则，， ，， ， ，， 故 ， 则 ， 故 即， 当时，，故平均每个人摇上需要的时间为9个月. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为实数，随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质得到 ，再由基本不等式判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】因为随机变量，且， 由正态曲线的对称性，可得 ，因为 ， 所以，故A正确； ，故B正确； ，即，故C错误； 由于当，时，满足 ，但是，故D错误． 故选：AB． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量 ，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即 的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 11. 利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：令，代入可得，运算整理即可；对于B：可得，令，可得，运算整理即可；对于C：取特值检验即可；对于D：令，可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】对于不等式，当且仅当时，等号成立， 对于选项A：令，则， 可得， 其中 ， 所以，A正确； 对于选项B：将x替换为，可得，当且仅当时等号成立． 令，可得，整理可得， 故， 即， 所以，故B正确； 对于选项C：令，可得，即， 这显然不成立，故C错误； 对于选项D：等价于证明， 将中的x替换为，其中，，则，即， 可得，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求和进而放缩证明. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，根据三角形外心性质，得，由重心性质得，再根据数量积运算即可求解. 【详解】设的中点为，连接， 由点G为的外心，可得， 由点O为重心，可得， 故 . 故答案为：. 13. 已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的解析式求得即可． 【详解】，若对任意实数x都有恒成立， 则，或， 由，得， 因为，令，得， 由，得， 因为，令 ，得， 所以满足条件的一组有序数对为或. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知为数列的前项和，若 . （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1） 证明：由 可得， 当时， ，解得 ， 当时， ，即 ， 则 ，即 ， 即 ，即 ， 又 ， 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式可得 ，即 ，即可得证. （2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得 ，令，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， 设， 则 令，得， 即 ，即 ， 又， ， ， 所以满足条件的最大整数为为5. 16. 在中，内角的对边分别是，若，且满足. （1）求的值； （2）设，求外接圆的半径. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再用余弦定理构造方程，求解即可； （2）先用（1）的结论，解出，得到是边长为1的正三角形.后借助三点共线，余弦定理求出，再借助正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，结合正弦定理，得. 因为，所以. 由余弦定理的推论，得， 所以，所以， 整理，得， 解得（舍去）. 【小问2详解】 由（1），知，解得 . 又，所以是边长为1的正三角形. 由，知 三点共线，且 . 由，知三点共线，且. 在中，由余弦定理， 得，解得. 设外接圆的半径为，由正弦定理，得， 所以，即外接圆的半径为. 17. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为 ，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】（1）证明如下： 因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为 ，且 平面，所以平面， 由分别是 的中点，所以 ， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明平面，再证明，即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和 的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面 的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得 ， ，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得： ，即 ， 所以，即. 18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ； （2）存在定点 【解析】 【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解的值，进而得到椭圆方程； （2）假设在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称，设，，再设直线： ，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合列式，求解的值，得到结论． 【小问1详解】 由题意得，解得， 椭圆的标准方程为 ； 【小问2详解】 在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称， 设，，直线： ，， 联立，得，则，， 因为，恰好关于轴对称，所以，即 ， 即 ，即 整理可得， 则，即得，即 ． 故在轴上存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称. 19. 已知 （1）将， ，，按由小到大排列，并证明； （2）令 求证: 在内无零点. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，结合导数研究单调性，即可比较； （2）将问题转化为，结合(1)可转化为证明，令，利用导数证明即可. 【小问1详解】 令， 则，令， 则， 因为，所以， 则在上单调递增， 则， 所以当时，，则， 所以在上单调递增， 则， 即当时，， 又，当时，， 即当时， 综上： 【小问2详解】 要证在内无零点， 只需证 由（1）知 只需证； 即证：， 即证：， 令， 则。 令，则， 当时，，则在上单调递增； 所以当时，， 则在单调递增， 所以 即在内无零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届新高三暑期成果联合质量检测解析版 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ）． A. 3 B. C. i D. 3. 已知等比数列为递增数列，若，，则公比（ ） A. B. 6 C. D. 4. 已知函数，满足，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为，第二个月为，第三个月为，则平均每个人摇上需要的时间为（ ）个月. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为实数，随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 11. 利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则______． 13. 已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为______. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知为数列的前 项和，若 . （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数 . 16. 在中，内角的对边分别是，若，且满足. （1）求的值； （2）设，求外接圆的半径. 17. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为 ，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19. 已知 （1）将， ，，按由小到大排列，并证明； （2）令 求证: 在内无零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $