精品解析：安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第一次集体练习数学试题

2023-2024学年度第二学期第一次集体练习 高一数学 满分：150分；考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是 A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C. 向量的大小与方向有关 D. 向量的模可以比较大小 【答案】D 【解析】 【详解】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确. 考点：平面向量的概念. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接计算得到答案. 【详解】，. 故选：A 3. 已知向量 ， .那么“”是“ ”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由向量平行求出,再讨论充要性． 【详解】向量， ， ，则解之得, 则“”是“”的充分而不必要条件. 即向量 ,.那么“”是“ ”的充分而不必要条件. 故选：A． 4. 在直角梯形中，，，，为的中点，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方形，结合向量的线性运算可知，展开运算即可得出答案. 【详解】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方形，， 根据题意得 . 故选:B. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将，再利用诱导公式计算的值即可. 【详解】因为 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 6. 向量， 则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为向量， 所以 在上的投影向量是, 故选：C 7. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，且，所以， 即. 故选：D 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，化简后可求出，在中利用正弦定理可求出，则可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圆的半径，从而可求出圆的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 所以， 所以，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 因为， 所以，得， 所以 在中，由余弦定理得， ， 所以， 设外接圆半径为，则由正弦定理得， 所以， 所以的外接圆的面积是， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本初等函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上为单调递减函数， 当在定义域内不是单调递减函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又由函数在定义域上为单调递减函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，其图象如图所示， 函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，所以D符合题意. 故选：CD. 10. 已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则判断A，根据数量积的定义判断B，根据数量积的运算律判断C、D； 【详解】解：因为，， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，则，故C正确： 对于D：，即，故D错误； 故选：AC 11. 已知正的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足，有，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出，利用平面向量的坐标运算得到，再结合角的范围逐一验证各选项. 【详解】以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则，，，； 因为，所以点在以为圆心、1为半径的圆上， 设，则， ，， 又因为， 所以， 即，即， 又因为，所以，即； 对于A：因为，所以， 则，即的最小值为， 即选项A正确； 对于B：因为，所以， 则，即的最大值为， 即选项B正确； 对于C、D：因为且， 所以， 因为，所以 所以，所以， 即的最小值为，最大值为， 即选项C错误，选项D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三点共线的位置关系列出向量等式，结合向量的坐标表示求解答案. 【详解】 A，B，C三点共线，可设 由得： A，B，C三点共线，可设 故答案为：3. 13. 的内角的对边分别为，若，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角. 【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA. ∴2sinBcosB＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝. ∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝. 又0<B<π，∴B＝. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 14. 如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】 ，且. 即 设与的夹角为，则. 因为，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量平行关系和模长公式得到方程组，求出或； （2）根据向量垂直关系得到方程，求出，进而利用夹角余弦公式得到夹角. 【小问1详解】 设，根据，可得， 又，解得或， 当时，，当时，， 故或； 【小问2详解】 ， ，故，即， 故， ，故， 故与的夹角. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的值； （2）若，， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出； （2）（ⅰ）由正弦定理可求出的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式求出，最后由两角差的余弦公式求出的值． 【小问1详解】 由正弦定理得：，化简得：， 由余弦定理得：，又，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，又，， 由正弦定理可得：； （ⅱ）因为，所以， 所以，， 所以 . 17. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： （1）轮船D与观测点B的距离； （2）救援船到达D点所需要的时间． 【答案】（1）海里；（2）1小时. 【解析】 【分析】 （1）结合图形利用正弦定理转化求解的长； （2）利用余弦定理求出，然后求解出该救援船到达点所需的时间． 【详解】解：（1）由题意可知：在中，，，则， 由正弦定理得：， 由， 代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理得： ， ，， 即该救援船到达点所需的时间小时. 【点睛】方法点睛：正弦定理以及余弦定理是解决这类问题的常用方法. 18. 已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且 （1）求函数f(x)的解析式； （2）判断当x∈（﹣1，1）时函数f(x)的单调性； （3）解不等式f（t2﹣1）+f（t）＜0． 【答案】（1） （2）f(x)在（﹣1，1）上为增函数； 在（﹣1，1）上任取，， 所以 所以在单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质和建立等量关系即可得解； （2）利用定义法判定单调性； （3）根据奇偶性和单调性求解不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数， 所以，即：，所以， ，解得 所以，显然，是奇函数. 综上： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题：在单调递增且为奇函数， f（t2﹣1）+f（t）＜0 即 所以解得 所以 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数，根据定义判断单调性，奇偶性和单调性的综合应用，关键的点在于： 一是要熟记奇函数的重要结论，定义域内有0，那么； 二是根据定义判断单调性的化简过程要准确，最后的符号判定要正确； 三是转化与化归思想的应用，利用奇偶性和单调性求解不等式. 19. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解； （2）①设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，从而得解； ②设，利用向量的线性运算得到，从而将转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域，由此得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ①. 设，又，所以， 则 所以 ， 因为，则， 所以，则 故； ②设， 则， 所以，由得， 即，整理得， 所以， 所以. 所以. 令， ， ，令， 则， 因为， 则，即， 所以在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期第一次集体练习 高一数学 满分：150分；考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是 A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C. 向量的大小与方向有关 D. 向量的模可以比较大小 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 已知向量 ， .那么“”是“ ”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在直角梯形中，，，，为的中点，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 向量， 则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足，有，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_________. 13. 的内角的对边分别为，若，则 ________． 14. 如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的值； （2）若，， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 17. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： （1）轮船D与观测点B的距离； （2）救援船到达D点所需要的时间． 18. 已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且 （1）求函数f(x)的解析式； （2）判断当x∈（﹣1，1）时函数f(x)的单调性； （3）解不等式f（t2﹣1）+f（t）＜0． 19. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $