精品解析：江西省上饶市铅山致远中学2023-2024学年高二下学期6月数学测试题

江西省上饶市铅山致远中学2023-2024学年高二下学期6月数学测试卷 （考试范围：北师大版（2019）选择性必修第二册） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 24 2. 已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 5. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 8. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. 该数列的公差d<0 C. a7=0 D. S12>0 10. 下列结论中不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，，则（ ） A. 函数在上的最大值为3 B. ， C. 函数在上没有零点 D. 函数的极值点有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______． 13. 用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共___项． 14. 已知，，对任意的都有，则的取值范围是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 18. 已知函数，的定义域为． （1）求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数存在唯一极小值点，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间： （2）若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市铅山致远中学2023-2024学年高二下学期6月数学测试卷 （考试范围：北师大版（2019）选择性必修第二册） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质，得，，是函数的两个极值点，则是方程的两个相异正根，结合韦达定理求的值． 【详解】为等比数列，则有，解得，所以． 函数，定义域为，有． 令，即． 由题意得，是方程的两个相异正根， 则，此时符合题意． 此时，两 正根为2和8，经验证，符合题意， 故选：C． 2. 已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项的应用即可判断充分性成立，举反例否定必要性即可. 【详解】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立， 设等差数列首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立， 无法推出，可得必要性不成立， 则“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值. 【详解】因为， 所以，则 又因为， 所以，当且仅当时，等号成立； 所以的最大值为25. 故选：C 5. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作曲线在点，，处的切线，结合导数的几何意义比较的大小，可得结论. 【详解】作曲线在点，，处的切线，记其斜率依次为， 结合图象可得， 由导数的几何意义可得， 所以. 故选：D. 6. 已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果． 【详解】记，， 由图易知，所以． 故选：C． 7. 设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由函数，可得，则， 因为直线的斜率为2，可得. 故选：B. 8. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则逐项判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. 该数列的公差d<0 C. a7=0 D. S12>0 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】由可得，， 可得 可得，所以等差数列的公差，故选项B正确. 所以为正，，从第8项起均为负. 故选项C正确. 所以，故选项A不正确. ,故选项D正确. 故选：BCD 10. 下列结论中不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若，则，故D错误. 故选：ACD 11. 已知，，则（ ） A. 函数在上的最大值为3 B. ， C. 函数在上没有零点 D. 函数的极值点有2个 【答案】AC 【解析】 【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假. 【详解】对A,B，因为，. 所以，. 设，，则，因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增， 且，， 所以，使得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， ，因为， 所以， 因为，所以.故A正确，B错误； 对D，又，. 所以，. 设，则，，所以在恒成立. 所以在上单调递增， 所以至多一个解，故D错误； 对C，又因为，， 所以只有一解，在区间内. 所以在上单调递增，且， 所以在上无零点.故C正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式以及题意即可求解. 【详解】由题意可知，故， 所以. 故答案为：3. 13. 用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共___项． 【答案】． 【解析】 【分析】写出和时的式子，比较可得． 【详解】时，不等式为，时，不等式为， 右边增加，项数有． 故答案为：． 14. 已知，，对任意的都有，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】把转化成，设，通过分析函数的单调性，得到，再分离参数，转化成，设，转化为恒成立问题，求函数的最小值即可. 【详解】∵∴ 令，则 ，当时， ∴在上单调递增 ∴， 令，则，由， 所以在上单调递减，在， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是把转化成，然后设，通过分析函数的单调性，得到恒成立问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为q，由已知条件列方程组求和，可得数列的通项公式，再由得的通项公式； （2）由数列的通项，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的前项和公式求. 【小问1详解】 设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. 【小问2详解】 ， 所以 . 16. 已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接得到的通项公式，由作差得到，从而求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， ∵①， 当时，②， ， ，， ∵， ∴， 且在①式中令或（舍去），∴， 综上可得，． 【小问2详解】 由（1）可得， ∴ ． 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法可求. 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 18. 已知函数，的定义域为． （1）求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数存在唯一极小值点，求的取值范围． 【答案】（1）是的极小值点，无极大值点 （2）当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可得函数极值点. （2）求导，对参数的值分类讨论，可得函数的单调区间. （3）设，明确的解析式，求导，分类讨论，确定函数的单调性以及极值点的函数值符号，判断函数的零点个数. 【小问1详解】 的定义域为，， 令得；令得. 故在单调递减，在单调递增． 所以是的极小值点，无极大值点. 【小问2详解】 的定义域为， 若，在上恒成立，所以在上单调递减； 若，令得；令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 令，则． 令，则 ①当时，在上恒成立， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意． ②当时，在恒成立，在单增，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以F有唯一极小值点，满足题意． ③当时，令，得； 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 则令，得 当时，在上恒成立，由②可知有唯一极小值点，满足题意. 当时，，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以存在唯一实数，使得，， 又， 故当时，；当时，； 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值点为，，不唯一，不满足题意． 综上，的取值范围为 【点睛】思路点睛：涉及含参数的函数的单调区间问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、极值，结合函数零点的存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间： （2）若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 【答案】（1） 当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递增区间为，递减区间为. （2）①； ②有两个不同的零点，， 两式作差得，，要证，及证， 即证：，同除，得到 不妨设，令，则， 则证明，即证， 令，则， 则在上增，且，，.得证. 【解析】 【分析】（1）写出，求导，根据的正负判断的符号，进而求出单调区间. （2）①分离参数求导，有两个交点即可；②把变成整式，作差得到，把中换掉，变量集中，令，得到，求导证明即可. 【小问1详解】 ，定义域为， 当时，，在递增； 当时，，，，， 递增，在递减. 综上所述：当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 ①有两个不同的零点，有两个根，即有两个根， 令，则， 则时，，递增；时，，递减， 极大值为，当时，，当时，， 的范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $