山东省临沂市莒南县第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

莒南二中2023-2024学年高一下学期5月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若为实数,且 ,则（ ） A． B． C． D． 2.是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（ ） A． B． C． D． 3.某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 4.平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 3221183429    7864540732    5242064438    1223435677    3578905642 8442125331    3457860736    2530073286    2345788907    2368960804 3256780843    6789535577    3489948375    2253557832    4577892345 A．623 B．328 C．253 D．007 6.袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件 C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件 7.如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8.在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创造的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解．引进虚数概念后，代数方程的求解问题才得以解决．设是方程的根，则（    ） A． B． C．是该方程的根 D．是该方程的根 10.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（    ） A．估计被调查者中约有15人吸烟 B．估计约有15人对问题2的回答为“是” C．估计该地区约有3%的中学生吸烟 D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟 11.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有_______人. 13.A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只． 14.在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知向量,,其中,且. (1)求和的值; (2)若,且,求角. 16.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220) ，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下： (1)求直方图中的值； (2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ 17.在中，角、、的对边分别是、、，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的取值范围． 18.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为，，），2支为二等品（记为，），从中随机抽取2支进行检测. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率. 19.如图，四棱锥中，，平面平面． (1)求证：； (2)设，点N在棱上， ，求多面体的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莒南二中2023-2024学年高一下学期5月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若为实数,且 ,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意可得 ,故选D. 2.是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 画对应的轴，轴，使，如下图所示， 结合图形，的面积为， 作，垂足为， 则，， 所以的面积， 即原图和直观图面积之间的关系为， 所以，的面积为. 故选：A. 3.某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据统计图，以及平均数、众数、中位数的定义来计算m、n、的值即可比较大小，得出答案. 【详解】由统计图可知，测试成绩按从高到低的顺序排好后，中间的两个测试成绩为80分，90分， 故中位数（分）， 众数分， 平均数（分）， 则. 4.平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由求解即可. 【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故. 故选：D. 5.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 3221183429    7864540732    5242064438    1223435677    3578905642 8442125331    3457860736    2530073286    2345788907    2368960804 3256780843    6789535577    3489948375    2253557832    4577892345 A．623 B．328 C．253 D．007 【答案】A 【分析】根据随机数表法依次读数即可. 【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457， 下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个是623. 故选：A. 6.袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件 C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错； 不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确； 事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错； 事件与事件为对立事件，故D错. 故选：B. 7.如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值. 【详解】解:由题知,平面ABC与平面的夹角即为平面与平面的夹角, 取的中点O,连接,如图所示: 因为正三棱柱的所有棱长都为2, 所以所以, 同理可得:,所以, 又,所以, 所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角, 又,所以, 因为,所以, 故选:C． 8.在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式建立方程，求出，再由三角形面积范围求出角A的范围，利用三角函数即可求解. 【详解】，，， ， 即， 即，解得， 又因为， 所以，即，， ， 故选：D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创造的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解．引进虚数概念后，代数方程的求解问题才得以解决．设是方程的根，则（    ） A． B． C．是该方程的根 D．是该方程的根 【答案】AD 【分析】求出方程的两根，利用根与系数的关系可判断AB选项；利用代入法可判断C选项；计算得出，可判断D选项. 【详解】解方程，即，解得， 所以，与为方程的两根. 对于AB选项，由韦达定理可得，，A对B错； 对于C选项，因为， 故不是方程的根，C错； 对于D选项，若，则， 若，则， 所以，是该方程的根，D对. 故选：AD. 10.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（    ） A．估计被调查者中约有15人吸烟 B．估计约有15人对问题2的回答为“是” C．估计该地区约有3%的中学生吸烟 D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟 【答案】BC 【分析】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解. 【详解】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为， 回答问题2且回答的“是”的人数为， 从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为， 估计被调查者中吸烟的人数为. 故选：BC． 11.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 【答案】ACD 【分析】利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到，判断出P的位置，对四个选项一一验证，得到正确答案. 【详解】因为O是的重心，所以， 所以, 所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心） 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有_______人. 【答案】102 【分析】先求出随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生人数，利用样本估计整体即可求解. 【详解】解：根据题意，随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生有人， 故该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有人. 故答案为：102. 13.A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只． 【答案】 【分析】由均值定义得，再根据方差公式求得. 【详解】依题意得， 设，，，，的平均数为， 根据方差的计算公式有 ， ∴， 即，又， ∴． 故答案为：． 14.在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 解析：由题意知，所以，即即，所以，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知向量,,其中,且. (1)求和的值; (2)若,且,求角. 【答案】(1)，；(2). 【解析】(1)∵,∴,即. 代入,得, 又,则,. 则. . (2)∵,,∴. 又,∴. ∴==. 由,得. 16.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220) ，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下： (1)求直方图中的值； (2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ 【答案】(1) (2)5 户 【分析】（1）根据小矩形的面积和为1求解即可； （2）根据分层抽样的方法求解即可. 【详解】（1）解：由直方图的性质可得： ，解方程可得： 所以， （2）解：由直方图可得： 月平均用电量为[220，240)的用户有   户， 月平均用电量为[240，260)的用户有 户， 月平均用电量为[260，280)的用户有 户， 月平均用电量为[280，300]的用户有 户， 抽取比例为 ， 所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取 户． 17.在中，角、、的对边分别是、、，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. （1） 解：由可得， 所以，， 由正弦定理得， ， 、，则，所以，，故. （2） 解：由正弦定理可得，则，， ， ，则，所以，， 故. 18.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为，，），2支为二等品（记为，），从中随机抽取2支进行检测. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率. 【答案】(1)，，，，，，，，，. (2) 【分析】（1）直接写出样本空间即可； （2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率. 【详解】（1）试验的样本空间为：，，，，，，，，，. （2）抽取的2支圆珠笔都是一等品有，，3种情况，故概率. 19.如图，四棱锥中，，平面平面． (1)求证：； (2)设，点N在棱上， ，求多面体的体积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用线线垂直的判定定理证明即可（2）过作的延长线交于点，连接，在过作交于点，结合（1）的结论，找出四面体的高和相应底面图形的面积，代入公式计算即可 【详解】（1）因为 所以为等腰三角形，为的中点 所以, 由平面平面，且平面平面= 又平面 所以平面 所以. （2）因为 所以 由， 所以平面 所以, 因为 所以 过作的延长线交于点，连接， 在过作交于点，如图所示， 则由平面，平面 所以且 所以平面， 所以为四面体的高 又由， 所以四边形为正方形，四边形为矩形， 所以,， 所以在直角中， 所以 在中，， 所以 在中，由 所以 将，代入计算得： 所以 在直角中， 所以 即多面体的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $$