抛物线的平均性质及其应用 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

抛物线的平均性质及其应用 一性质 抛物线是高中阶段一种非常重要的圆锥曲线,具有众多的性质.借助这些性质求解一些试题往往可以化繁为简,实现解题的高效.在诸多性质中,有一条性质为抛物线的平均性质. 性质:对称轴为轴方向的抛物线的任意一条割线与抛物线的两个交点的横坐标的几何平均数为该直线与抛物线对称轴交点的横坐标.特别地,若该交点恰好为抛物线的焦点,则这条割线与抛物线的两个交点的横坐标的几何平均数为. 二应用 例1.已知直线与抛物线交于两点,且经过抛物线的焦点,点的坐标为,求线段的中点到准线的距离. 解析:易知线段的中点到准线的距离为,其中. 由于,所以.故线段的中点到准线的距离为. 简析:由于弦过焦点,所以,解出. 例2.已知直线与抛物线交于两点,若直线的斜率之积为,求直线与轴的交点坐标. 解析:设,. 由得, 即. 解得.故. 设直线与轴的交点为,则,所以. 简析:借助,求出点的坐标. 例3.已知抛物线的焦点为,直线过且依次交抛物线及圆于,,,四点,求的最小值. 图1 解析:如图1,.由已知可得,. 则. 由抛物线的焦半径公式可得,, 所以. 由于直线过,所以,故. 简析:借助基本不等式和,求出的最小值. 例4.已知抛物线的顶点是原点,点在轴的正半轴上,经过点的直线与抛物线交于两点,如果,求抛物线的方程. 图2 解析:如图2所示,设抛物线方程为,,. 由得. 由,得. 又,故. 因此有,解得. 故抛物线方程为. 简析:由于直线经过焦点,所以. 例5.已知为抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴两侧,且(为坐标原点),求与面积之和的最小值. 图3 解析:如图3所示,设,,弦与轴交点为. 由得. 由,得. 即,解得,. 故. ,. 故. 所以与面积之和的最小值为. 简析:由于,所以. 例6.已知抛物线与圆()相交于四个点.(1)求的取值范围.(2)当四边形的面积最大时,求对角线,的交点坐标. 图4 解析:如图4所示. (1)由得. 根据对称性可知,抛物线与圆有四个交点等价于上述方程有两个不相等的正实根. 即,解得. (2)设四个交点的坐标分别为,,,. 由第一步知,. 设四边形的面积为,则. . 令,.则. 根据三个正数的平均值不等式有 . 当且仅当,即时,有最大值. 由于点是抛物线的弦与轴的交点, 故. 故. 简析:由于,所以. 例7.已知抛物线:的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另外一点,交轴于正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.(1)求的方程.(2)若直线且与有且只有一个公共点.证明直线过定点,并求出定点坐标.的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 图5 解析: (1)的方程为,过程略. (2)如图5所示,设,,. 由,得,故. 由得, 将其代入得, 即. 由得,故. 设直线与轴交点为,则由得. 故直线过定点,即为焦点. 由,,,, 得,, 故, 即, , , 故. 由基本不等式有,当且仅当即时取等号. 简析:由得;由得. 不难发现,抛物线中涉及到弦与轴相交于点的问题,往往可以借助进行处理.在解题中要注意观察题目条件,结合图形,充分挖掘题目中隐含的几何元素之间的关系,顺利求解.对于同一道题目,有时候要反复使用该性质解决问题. 三练习 练习1:已知抛物线:和圆:,直线经过的焦点,自上而下依次交和于四点,则的值为 解析:设,. 则,; 同理有. 故. 练习2:设抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线相交于两点,与抛物线的准线相交于点,,则与的面积之比为 解析:易知与的面积之比为. 作垂直于准线,垂足为,作垂直于准线,垂足为. 则. 由,得, 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$