专题3.1导数的运算及几何意义（八大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题3.1导数的运算及几何意义 题型一 导数的定义及四则运算 题型五 求切点坐标 题型二 复合函数求导 题型六 与切线有关的最值问题 题型三 求切线的斜率与倾斜角 题型七 利用切线（斜率）求参数范围 题型四 求切线方程 题型八 公切线问题 知识点1导数的概念 导数的概念：一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即. 【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率. 知识点2导数的计算 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的运算法则 若存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 3.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 题型一 导数的定义及四则运算 例1．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例2．下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）下列结论中不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 练习4．若函数，则 . 题型二 复合函数求导 例3．若，则（    ） A．0 B．2 C． D． 例4．（多选）以下求导运算正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 练习1．函数，且，则a等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．已知函数的导函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）下列函数的求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． 练习4．（多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点3导数的几何意义及切线方程 1.导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2.切线方程 ①求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点是切点时，切线方程为． (2)当点不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过点的切线方程； 第三步：将点的坐标代入切线方程求出； 第四步：将的值代入方程可得过点的切线方程．　 ②已知斜率求切点： 已知斜率，求切点，即解方程. ③利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 题型三 求切线的斜率与倾斜角 例5．曲线在点处的切线斜率为（    ） A．4 B．16 C．8 D．2 例6．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．函数在点处的切线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 练习2．若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 练习3．函数，其中，函数的图像在点处的切线的斜率为 ． 练习4．若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角范围为 （填锐角、钝角或直角）. 题型四 求切线方程 例7．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 例8．已知曲线，求： (1)曲线上与直线平行的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 练习1．已知为奇函数，则在处的切线方程为 练习2．曲线在点处的切线方程为 ． 练习3．已知函数则曲线在点处的切线方程为 ． 练习4．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求曲线过点的的切线方程. 题型五 求切点坐标 例9．已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的坐标为 ． 例10．过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 练习1．过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 练习2．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 练习3．已知直线与曲线相切，则切点的坐标为 ；m的值为 ． 练习4．设，函数，其导函数是奇函数.若曲线的一条切线的斜率为，则切点的坐标为 ． 题型六 与切线有关的最值问题 例11．已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（    ） A．的最小值为6 B．的最大值为6 C．的最小值为4 D．的最大值为4 例12．已知曲线在处的切线为l，点到切线l的距离为d，则d的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 练习1．函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是　 A．10 B．9 C．8 D． 练习2．若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为 . 练习3．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数，其中a，b，，.若的图象上存在两点处的切线互相垂直，则的最大值为 . 题型七 利用切线（斜率）求参数范围 例13．若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 . 练习1．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习2．已知函数 （1）若函数的导函数为偶函数，求的值； （2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围 练习3．若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 练习4．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是 ． 题型八 公切线问题 例15．已知直线是曲线与的公切线，则 ． 例16．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习1．函数与函数公切线的斜率为 . 练习2．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 练习3．若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 练习4．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 一、单选题 1．下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 3．函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．11 B．7 C． D． 5．过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 8．若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则a的值为（    ） A． B．0 C． D． 10．过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，下列选项中，的可能取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，．若，则 ． 13．已知三次函数有三个零点，则的值是 .（是的导函数） 14．若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 四、解答题 15．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 16．（1）已知，求及； （2）在曲线上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 17．①；②．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．已知直线：，． (1)证明：直线不可能是曲线的切线； (2)若直线与曲线________相切，求实数的值． 18．已知函数. (1)若，，求曲线在处的切线方程； (2)当时，曲线过点的切线有三条，求的取值范围. 19．已知函数，． (1)若直线为曲线的一条切线，求出b与k的函数关系式； (2)当时，过点的的切线l也与曲线相切，试求直线l的条数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1导数的运算及几何意义 题型一 导数的定义及四则运算 题型五 求切点坐标 题型二 复合函数求导 题型六 与切线有关的最值问题 题型三 求切线的斜率与倾斜角 题型七 利用切线（斜率）求参数范围 题型四 求切线方程 题型八 公切线问题 知识点1导数的概念 导数的概念：一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即. 【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率. 知识点2导数的计算 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的运算法则 若存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 3.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 题型一 导数的定义及四则运算 例1．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为, 所以. 故选：C. 例2．下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，故A选项错误； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项错误； 对于D选项，，D正确. 故选：D. 练习1．已知函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，所以， 由导数定义可知. 故选：D. 练习2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为, 因为. 故选：D. 练习3．（多选）下列结论中不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若，则，故D错误. 故选：ACD 练习4．若函数，则 . 【答案】2023！ 【详解】设， 则， ， . 故答案为： 题型二 复合函数求导 例3．若，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，求导得，则， 所以. 故选：B 例4．（多选）以下求导运算正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】A项，，则，A正确； B项，，，B错误； C项，，，C正确； D项，，，D正确． 故选：ACD 练习1．函数，且，则a等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，则， 解得：（负值舍去）． 故选：A 练习2．已知函数的导函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， ， ． 故选:C． 练习3．（多选）下列函数的求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】，.故BD错误，显然AC正确. 故选：AC. 练习4．（多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 知识点3导数的几何意义及切线方程 1.导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2.切线方程 ①求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点是切点时，切线方程为． (2)当点不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过点的切线方程； 第三步：将点的坐标代入切线方程求出； 第四步：将的值代入方程可得过点的切线方程．　 ②已知斜率求切点： 已知斜率，求切点，即解方程. ③利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 题型三 求切线的斜率与倾斜角 例5．曲线在点处的切线斜率为（    ） A．4 B．16 C．8 D．2 【答案】A 【详解】函数的导数为， 所以函数在处的切线斜率． 故选：A． 例6．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，． 设，则曲线在点P处的切线的斜率为，， ，． 故选：A. 练习1．函数在点处的切线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 设在点处的切线倾斜角为， 则有，由，则. 故答案为：A. 练习2．若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】曲线在处的切线方程为， 则运用导数几何意义，知道. 故选：D. 练习3．函数，其中，函数的图像在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以． 所以函数的图像在点处的切线的斜率为. 故答案为：81． 练习4．若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角范围为 （填锐角、钝角或直角）. 【答案】钝角 【详解】， ， ,,,， 故函数图象在点处的切线的倾斜角范围为，为钝角. 故答案为：钝角. 题型四 求切线方程 例7．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 例8．已知曲线，求： (1)曲线上与直线平行的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设切点为，由得， 因为切线与平行，所以， 所以，所以，所以切点为. 则所求切线方程为，即； （2）设切点，则切线方程为， 又切线过点， 所以，即. 所以切线方程为，即. 练习1．已知为奇函数，则在处的切线方程为 【答案】 【详解】因为 ， 所以， 因为为奇函数， 所以对恒成立， 所以，代入函数表达式得， 所以，则， 所以在处的切线方程为，即. 故答案为：. 练习2．曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，求导得，则， 解得，于是，， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 练习3．已知函数则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】当时，，当时，， 求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即． 故答案为： 练习4．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求曲线过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)切线不存在 【详解】（1）由得，可知所求切线的斜率， 故所求切线的方程为，即. （2）设切点坐标为，，可知所求切线的斜率 因为切线过点和点，所以， 化简得，无解，所以切线不存在. 题型五 求切点坐标 例9．已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设切点坐标为， 根据导数的几何意义可知，，得， 所以切点坐标为. 故答案为： 例10．过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】，设切点为坐标， 则， 即，则， 由题意知有两解，分别为m，n， 故， 故选：D. 练习1．过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 练习2．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】， 设曲线与直线相切的切点为， 结合已知条件，得，解得， ∴切点的坐标为. 故答案为：. 练习3．已知直线与曲线相切，则切点的坐标为 ；m的值为 ． 【答案】 【详解】记，则． 因切线的斜率是， 所以，解得． 因为， 所以切点在第三象限，坐标为， 将代入直线，解得m的值为． 故答案为：；. 练习4．设，函数，其导函数是奇函数.若曲线的一条切线的斜率为，则切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】为奇函数，. 由,所以.或（舍）， 所以切点的横坐标为，故纵坐标为. 故答案为：. 题型六 与切线有关的最值问题 例11．已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（    ） A．的最小值为6 B．的最大值为6 C．的最小值为4 D．的最大值为4 【答案】C 【详解】，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为4． 故选：C 例12．已知曲线在处的切线为l，点到切线l的距离为d，则d的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】对求导，得， 所以切线l的斜率为， 又， 所以切线l的方程为，即， 所以， 当且仅当时取等号， 故d的最大值为． 故选：D． 练习1．函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是　 A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，由题意可知，， ， 当，且，解得：， 所以的最小值是9. 故选：B 练习2．若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为 . 【答案】3 【详解】， 因为曲线存在与直线平行的切线， 所以在有解.即在有解. 设，， 则， 当且仅当，即时等号成立，即. 所以，即的最大值为. 故答案为：3 练习3．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 练习4．已知函数，其中a，b，，.若的图象上存在两点处的切线互相垂直，则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：因为， 故设， ， 所以， 若的图象上存在两点处的切线互相垂直， 即存在使得， 则只需要即可， 则，所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型七 利用切线（斜率）求参数范围 例13．若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，则，有， 即，即， 又为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立.， 故的取值范围是. 故选：C. 例14．若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】求出导函数，只需有正解，分离参数可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】函数定义域为，导函数为， 使得存在垂直于y轴的切线，即有正解，可得有解， 因为，所以，当且仅当““时等号成立， 所以实数a的取值范围是 故答案为： 练习1．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，， 曲线在切点处的切线方程为， 整理得，所以． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．故， 则的取值范围是． 故选：C. 练习2．已知函数 （1）若函数的导函数为偶函数，求的值； （2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）∵， 由题因为为偶函数，∴，即 （2）∵曲线存在两条垂直于轴的切线， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，即，∴. ∴a的取值范围为. 【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根. 练习3．若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. 练习4．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知，曲线在点处的切线斜率都是2， 所以关于的方程有两个不相等的正实数根， 解法一：令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 解法二：可得关于的方程有两个不相等的正实数根， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型八 公切线问题 例15．已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 例16．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为， 如果两条曲线存在公共切线，那么． 又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可． 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．    故选：D． 练习1．函数与函数公切线的斜率为 . 【答案】1或 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为； 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即 又易知，整理可得， 即，即，解得或； 因此可得斜率为或. 故答案为：1或 练习2．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 【答案】3 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 练习3．若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，，则，， 可得，，，， 因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率， 所以，解得，所以. 故选：D. 练习4．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 设设直线与的切点为， 则切线方程为, 即， 又因为 所以， 解得，， 所以切线方程为：， 因为， 所以， 设直线与的切点为， 所以①， 又因为切点在直线上， 所以②， 由①和②可得， 所以， 解得 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数研究两个函数的公切线问题，解题的关键是根据函数解析式设出切点坐标，然后利用函数在切点横坐标处的导数即为斜率以及切点在切线上求解即可. 一、单选题 1．下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D，，故D正确， 故选：D． 2．设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【详解】由于，则. 故选：C. 3．函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从函数 的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0， 根据导数的几何意义可得：，即， 故选：C 4．已知函数，则（    ） A．11 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 令，可得， 解得，即， 所以. 故选：A. 5．过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【详解】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即， 解得，故过坐标原点的切线共有1条． 故选：A． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】根据条件得到表示的是曲线上两点的距离的平方. ∵，∴，由，可得，此时. ∴曲线在处的切线方程为，即：. 直线与直线的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为2. 故选：D. 7．已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】设切点为， 由，得， 由题意可得， 所以， 又， 所以，解得或， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以实数的所有可能的值之和为. 故选：C. 8．若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则切线方程分别为，， 所以 由①得， 代入②得． 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以， 又当时，， 所以的值域为， 所以的取值范围是． 故选：D． 二、多选题 9．已知，且，则a的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】CD 【详解】由题意可得：， 则，整理可得，解得或. 结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 10．过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】求导得，设切点为， 则，切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或. 当时，，切线方程为. 当时，，切线方程为. 故选：BC. 11．若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，下列选项中，的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】令，则， 因为的斜率为， 令，，即，解得或（舍）， 因为， 则过点且与直线平行的切线为，即， 该直线与直线的距离为， 所以曲线上任意一点到直线上任一点的距离最小值为， 即. 故选：ACD 三、填空题 12．已知函数，．若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以. 因为，所以，即， 所以，又因为，所以. 故答案为：. 13．已知三次函数有三个零点，则的值是 .（是的导函数） 【答案】0 【详解】依题意，设，其中互不相等， 则， 故，， ， 所以 . 故答案为：0. 14．若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 【答案】 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得， 所以，， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 15．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以； （2） （3） ． 16．（1）已知，求及； （2）在曲线上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 【答案】（1），；（2），切线方程为 【详解】（1）， ． ； （2）设切点坐标为由题意可知． 又，，解得，此时． 即切点坐标为，切线方程为． 17．①；②．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．已知直线：，． (1)证明：直线不可能是曲线的切线； (2)若直线与曲线________相切，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）令，则， 若切线的斜率为，则，解得，与的定义域不符合， 所以直线不可能是曲线的切线； （2）若选①：记，则，令， 解得，，所以切点，， 代入直线，解得，． 又因为，故． 若选②：记，则，令， 解得，，所以切点，， 代入直线，解得，． 又因为，故． 18．已知函数. (1)若，，求曲线在处的切线方程； (2)当时，曲线过点的切线有三条，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，则， 从而， 故所求切线方程为，即. （2）设过点的切线的切点为, 因为，所以，则， 故切线的斜率. 又，所以， 整理得，即. 因为曲线过点的切线有三条， 所以关于的方程有3个不同的实根， 所以关于的方程有两个不同的，且不为0的实根， 则，解得或或， 即的取值范围为. 19．已知函数，． (1)若直线为曲线的一条切线，求出b与k的函数关系式； (2)当时，过点的的切线l也与曲线相切，试求直线l的条数． 【答案】(1) (2)1条 【详解】（1）设切点为，则，，则切线方程为， 整理可得，可得，， 则，可得， 故b与k的函数关系式为． （2）过点的切线方程为， 整理可得直线l的方程为． 设直线l与曲线相切于点，可知， 且，，可变为， 结合切线l的方程可得，整理可得． 如图所示，画出与的图像， 可知当时，只有一个交点，即在上只有一个解， 则切线l也只有一条． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$